назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [ 155 ] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


155

Этап 2. Осуществляется проверка, удовлетворяют ли найденные значения у ограничению по вместимости склада. Если это так, вычисления

заканчиваются, при этом значения у, i = 1, 2, л являются оптимальными. В противном случае следует перейти к этапу 3.

Этап 3. Ограничение по вместимости склада должно удовлетворяться в форме равенства. Используется метод множителей Лагранжа для определения оптимальных объемов заказа для задачи с ограничением.

На этапе 3 строится функция Лагранжа

ЦЛ,у1,у2,...,уп) = ТСи(у1,у2,...,у„)-л(£а1у,-А\ =

КД , h,y, -.У, 2 где Я (< 0) - множитель Лагранжа2.

Поскольку функция Лагранжа является выпуклой, оптимальные значения у, и Я находятся из следующих уравнений, которые представляют собой необходимые условия экстремума функции Лагранжа.

-Чг- + - -Яа= 0, 2

= -£ад.+А = 0.

Второе уравнение показывает, что ограничение по вместимости склада в оптимальной точке должно удовлетворяться в форме равенства. Из первого уравнения следует, что

гкр.

Полученная формула показывает, что у* зависит от оптимального значения Я* множителя Лагранжа. Кроме того, при Я* = 0 значение у] является решением задачи без ограничения.

Значение Я* может быть найдено следующим образом. Так как по определению в поставленной выше задаче минимизации Л < 0, мы последовательно уменьшаем Я на достаточно малую величину и используем ее в данной формуле для вычисления соответствующего значения у*. Искомое значение X приводит к значениям у*, t = l, 2, п, которые удовлетворяют ограничению по вместимости склада в форме равенства.

Пример 11.2.3

В разделе 20.1.1 детально рассмотрен метод множителей Лагранжа. Применение метода в данном случае является корректным, так как здесь функция ТСЩух, уг,уп,) выпуклая, задача имеет единственное линейное ограничение и, следовательно, выпуклое пространство решений. Метод может оказаться некорректным при Других ограничениях или при наличии более одного ограничения (см. раздел 20.1.2).



Рассмотрим задачу управления запасами, исходные данные для которой приведены в следующей таблице.

Товар i К, (долл.) D-, (единиц в день) Л, (долл.) а; (кв. футы)

1 10 2 0,3 1

2 5 4 0,1 1

3 15 4 0,2 1

Общая площадь склада = 25 футов2

Вручную производить вычисления в этой задаче утомительно, поэтому воспользуемся шаблоном chllConstrainedEOQ.xls.

На рис. 11.6 показан рабочий лист этого шаблона с исходными данными для рассматриваемой задачи. Исходные данные содержат все необходимые параметры для каждого вида запаса (товара). Начальное значение Л (ячейка СЮ) обычно устанавливается равным нулю, шаг изменения Л задается в ячейке СИ. Это начальное значение Л и шаг изменения определяют точность вычисленного значения Л и объем выполненных вычислений.

Constrained multi-item EOQ -

[sum(ay)<A

Input data:

Nbr. of items =

Constraint RHS, A =

Enter 0 if sum(ay), 1 if sum(afy)

Iteml

Item2

Item3

Setup cost, К =

Demand rate. D =

Holding cost, h =

Parameter, a =

Initial X =

Я decrement =

Output:

Calculations:

Last low gives the appioximate optimum

0 000000

11 55

20.00

24.49

-0 100000

8 94

11.55

17.32

-0.200000

7 56

8.94

14.14

-0.300000

6.67

7.56

12.25

-0.400000

6.03

6.67

10.95

Рис. 11.6. Решение в Excel задачи примера 11.2.3

Шаблон рассчитан на решение задач, содержащих не более 10 видов запаса. С помощью этого шаблона можно находить решение задач, где ограничение представлено в форме



Такой тип ограничения может возникнуть в различных ситуациях, одна из них показана в упражнении 11.2.3.4. Для решения задач с таким типом ограничений следует ввести в ячейку G4 значение 1.

Данные в столбце М показывают, что значение Я* находится в интервале от -0,3 до -0,4. Шаблон позволяет получить значение Л с любой наперед заданной точностью. Для этого надо ввести в ячейку СЮ новое начальное значение -0,3 для Я и новое значение шага изменения, например 0,05. После ввода этих значений рабочий лист пересчитывается автоматически, в результате чего получаем новый (меньший) интервал, содержащий значение Л. После нескольких подобных пересчетов я получил значение X = -0,348, вычисленное с точностью 0,0005. Это значение Я* дает

у* = 6,34 единицы, у\ ~ 7,09 единицы, у\ ~ 11,57 единицы.

УПРАЖНЕНИЯ 11.2.33

1. Приведенные ниже данные относятся к задаче управления запасами для пяти видов продукции.

Продукция / К, (долл.) D, (единиц в день) п, (долл.) а, (кв. футы)

1 20 22 0,35 1,0

2 25 34 0,15 0,8

3 30 14 0,28 1,1

4 28 21 0,30 0,5

5 35 26 0,42 1,2

Общая площадь склада = 25 футов2

Определите оптимальный объем заказа.

2. Решите задачу из примера 11.2.3, предполагая, что сумма средних запасов всех предметов должна быть меньше 25 единиц.

3. Решите предыдущее упражнение, предполагая, что единственным ограничением является денежная сумма в 10 000 долл., которая может быть потрачена на приобретение запасов продукции. Стоимость закупки единицы продукции вида 1, 2 и 3 равна соответственно 100, 50 и 100 долл.

4. Приведенные ниже данные относятся к задаче управления запасами для четырех видов продукции. Компания желает определить экономичный объем заказа для каждого из четырех видов продукции таким образом, чтобы суммарное количество заказов в год (365 дней) было не более 150.

Продукция /

К, (долл.)

D, (единиц в день)

hi (долл.)

При выполнении этих упражнений рекомендуем использовать шаблон chllConstrainedEOQ.xls.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [ 155 ] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]