функции (первая таблица) и значений правых частей неравенств ограничений (вторая таблица). Например, текущее оптимальное решение сохраняется до тех пор, пока доход на тонну краски для внешних работ составляет от 2000 до 6000 долл. Текущее оптимальное решение также будет сохранено, если ежедневные поступления сырья Ml будут находиться в пределах от 20 до 36 тонн. Такой же результат получен графическим способом в примерах 2.3.1 и 2.3.2.

Теперь рассмотрим информацию, приведенную в столбцах Reduced Cost (Приведенная стоимость) и Dual Price (Двойственная цена) таблиц раздела Sensitivity Analysis.

Начнем с приведенной стоимости. С точки зрения экономиста, переменные в модели ЛП можно рассматривать как числовые характеристики интенсивности определенных видов деятельности (или процессов), в результате которых потребляются ресурсы ("вход" модели) в целях получения прибыли ("выход" модели). Из этой интерпретации вытекает следующее определение.

Если приведенная стоимость какого-либо процесса положительна, то отсюда следует, что стоимость потребленных ресурсов больше возможного дохода (все на единицу интенсивности процесса), поэтому такой процесс экономически не приемлем. Это обусловливает нулевое значение соответствующей переменной в оптимальном решении. Если же экономически привлекательный процесс имеет нулевую приведенную стоимость, то это означает, что достигнута точка равновесия, когда "выход" (единичный доход) равен "входу" (единичной стоимости ресурсов). В оптимальном решении, показанном на рис. 2.9, обе переменные хх и хг имеют положительные значения и нулевые приведенные стоимости.

Приведенная стоимость на4} (Стоимость потребленных4} (Доход иа единицу4

ресурсов на единицу - интенсивности интенсивности процесса у J процесса у ,

Теперь рассмотрим определение двойственной цены. Двойственная цена - это просто еще одно название стоимости единицы ресурсов, определенной в разделе 2.3.3. Она равна вкладу, который привносит в значение целевой функции изменение на одну единицу лимита, определяющего доступность ресурса. Термин "двойственная цена" произошел от названия "проблема двойственности" из теории линейного программирования (см. главу 4). Для обозначения стоимости единицы ресурсов такие термины, как теневая цена (shadow price) и симплексный мультипликатор (simplex multiplier), применяются значительно реже. Хотя название "стоимость единицы ресурсов", введенное в разделе 2.3.3, лучше отображает смысл, вкладываемый в это понятие, мы все же будем использовать термин "двойственная цена" (dual price), так как он применяется во всех коммерческих программах решения задач ЛП.

На рис. 2.9 видно, что двойственные цены для сырья Ml и М2 равны соответственно 0,75 и 0,50 (т.е. 750 и 500 долл.) за тонну. Такие же результаты получены графическим способом в примере 2.3.3 и справедливы только при условии, что 20<М,<36 и 4<М2<20/3 (здесь через Мх и М2 обозначено количество сырья Ml иМ2 соответственно). Отсюда следует, что если, например, доступное количество сырья Ml возрастет от текущего уровня в 24 т до 28, то оптимальное значение целевой функции увеличится на 750 х (28 - 24) = 3000 долл. Но если доступное количество сырья Ml возрастет до 40 т (т.е. выйдет за интервал осуществимости), необходимо искать новое оптимальное решение.

единицу интенсивности процесса j

Title: Problem 2.5a-2

Final iteration No: 4

Objective value (max) =63000.0000

1 (<) 60000.0000 0.0000-

2(<) 2000.0000 1500.0000-

3 (<) 6000.0000 0.0000-

*** SENSITIVITY ANALYSIS *** Objective coefficients -- Single Changes:

Variable Current CoefF Min CoefF Max CoefF Reduced Cost

xl Juice 18.0000 0.0000 27.0000 0.0000

x2 Paste 9.0000 6.0000 infinity 0.0000

Right-hand Side - Single Changes:

Constraint Current RHS Min RHS Max RHS Dual Price

1 (<) 60000.0000 48000.0000 96000.0000 0.7500

2(<) 2000.0000 500.0000 infinity 0.0000

3(<) 6000.0000 1500.0000 7500.0000 3.0000

Objective Coefficients - Simultaneous Changes d:

Nonbasic Var Optimality Condition

sx3 0.7500+ 0.0417 dl >= 0

sx5 3.0000+ 1.0000d2+ -0.3333 dl >=0

Right-hand Side Ranging - Simultaneous Changes D:

Basic Var Value/Feasibilty Condition

x2 Paste 6000.0000+ 1.0000 D3>=0

xl Juice 500.0000 + 0.0417D1 + -0.3333 D3>=0

sx4 1500.0000+ -0.0417D1 + 1.0000 D2+ 0.3333 D3>=0

Рис. 2.9. Выходные результаты программы TORA

*** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY ***

Двойственные цены для третьего и четвертого ограничений в данной модели равны нулю при изменении значений правых частей этих неравенств от -1,5 до со и от 1,5 до со соответственно. Это означает, что ограничения, налагаемые рынком на структуру производства (ограничение на производство краски для внутренних работ до 2 т и т.п.), в данной ситуации не оказывают влияния на оптимальное решение.

2.4.2. Решение задач ЛП с помощью Excel

Покажем на модели Reddy Mikks, как надо располагать данные на рабочем листе, чтобы было удобно использовать средство Excel Поиск решения (файл рабочей книги ch2SolverReddyMikks.xls5). В верхней части рис. 2.10 показано табличное представление этой модели. Здесь содержится 4 типа данных:

1) входные данные (затененные ячейки В5:С9 и F6:F9),

2) значения переменных и целевой функции (ячейки в прямоугольнике B13:D13),

3) формулы, по которым вычисляются значения целевой функции и левых частей ограничений (ячейки D5:D9) и

4) поясняющие заголовки и надписи.

- £=В5*В$13+С5*С$13

Б С Р~1 Е Модель Reddy Mikks

Всего Ограничении

Up--

Поиск решения

□ Установить целевую ячейку:

Равной: <!" максимальному значению

<** минимальному значению Изменяя ячейки:

<~ значению:

Выполни!

Закрыт-

Параметр!

Восста • Га

Рис. 2.10. Решение задачи ЛП в Excel

Для средства Поиск решения требуется информация только первых трех типов - поясняющие заголовки и надписи необходимы только для того, чтобы сделать таб-

6 Рабочие книги Excel, которые упоминаются в первых девяти главах, русифицированы и содержатся на прилагаемом к книге компакт-диске. Их названия совпадают с названиями исходных файлов, перед которыми стоит слово "Копия". Например, русифицированный вариант данной рабочей книги имеет название Копия ch2SolverReddyMikks.xls. - Прим. ред.