назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [ 136 ] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


136

Аналогично

*2 + z2x3 + 22Х4 = 3 2 (пРоизв°Дя1Чая *УстРока) записывается в виде

v(0+i)v(0+Ata=(3+2-)-

Следовательно, в данном случае отсечение имеет вид

--х --х + - <0 22*3 22 4 + 2

Любое из трех отсечений может быть использовано на первой итерации метода отсекающих плоскостей. Поэтому нет необходимости строить все три отсечения перед выбором одного из них.

Выбирая (произвольно) отсечение, порожденное х2-строкой, записываем его следующим образом.

~г\ХЪ~22ХА + $\=~2 51 ~° (отсечение

Это ограничение добавляется в качестве дополнительного в оптимальную симплекс-таблицу задачи.

Базис

Решение

63/22

31/22

66,5

7/22

1/22

-1/22

3/22

«1

-7/22

-1/22

-0,5

Таблица представляет оптимальное, но недопустимое решение. Для восстановления допустимости решения применим двойственный симплекс-метод (см. раздел 4.4), что приведет к следующей симплекс-таблице.

Базис

Решение

-1/7

-22/7

Из-за дробных значений переменных х, и х3 последнее решение все еще нецелочисленное. Выберем хустроку в качестве производящей, т.е.

vKh+(-+fh=K)-

Соответствующее отсечение имеет вид

~4xa~7s,+s2=~i s2~° (отсечение2).



Присоединяя отсечение 2 к последней симплекс-таблице, получаем следующее.

базис

Решение

-1,7

-22/7

-1/7

-6/7

-4/7

Применение двойственного таблице.

симплекс-метода

приводит к

следующей

симплекс-

Базис

Решение

Оптимальное решение (jc, = 4, хг = 3, г - 58), определяемое последней симплекс-таблицей, является целочисленным. То, что все элементы данной симплекс-таблицы являются целочисленными, не случайность. Это типичное явление при использовании дробных отсечений.

Важно подчеркнуть, что применение дробного отсечения предполагает целочис-ленность всех переменных, включая дополнительные. Это значит, что данный метод применим только к решению полностью целочисленных задач.

Важность этого продемонстрируем на следующем примере. Рассмотрим ограничение

1 13

х. +-х2 <-,

1 3 2 2

jc,, хг> О и целые.

С точки зрения решения соответствующей задачи ЦЛП это ограничение преобразуется в уравнение путем введения неотрицательной дополнительной переменной s,, т.е.

1 13

1 3 - 1 2

Применение дробного отсечения предполагает, что ограничение имеет допустимое целочисленное решение по всем переменным, т.е. xv хг и s,. Рассмотрев это уравнение, можем сказать, что оно может иметь допустимое целочисленное решение переменных хх и х2 лишь в том случае, если переменная s, принимает нецелочисленные значения. Следовательно, применение дробного отсечения приведет к недопустимому целочисленному решению, так как все переменные xlt х2 и s, не могут одновременно быть целочисленными. Тем не менее ограничение имеет допустимые целочисленные решения для рассматриваемых переменных лг, и х2.



Есть две возможности исправить эту ситуацию.

1. Можно умножить все ограничения на соответствующую константу для устранения дробей. Например, приведенное выше ограничение умножается на 6, что приводит к неравенству 6л:1 + 2х2 < 39. Любое целочисленное решение переменных х, и х2 автоматически дает целочисленное значение дополнительной переменной. Однако этот тип преобразования применим лишь для простых ограничений, так как значения необходимых целочисленных коэффициентов в некоторых случаях могут быть чрезвычайно большими.

2. Можно использовать специальные отсечения, именуемые частично-целочисленными. Они ориентированы на решение задач, в которых лишь часть переменных должна принимать целочисленные значения, а остальные (включая дополнительные) остаются непрерывными. Детальное изложение таких отсечений в этой главе не рассматривается (см. [3]).

УПРАЖНЕНИЯ 9.2.3

1. В примере 9.2.2 покажите графически, может ли каждое из следующих ограничений служить в качестве правильного отсечения.

a) xt + 2х2 < 10.

b) 2х, + х2<10.

c) Зх2<10.

d) Зх1+х2<15.

2. В примере 9.2.2 покажите графически, как следующие два правильных отсечения могут привести к оптимальному целочисленному решению.

Отсечение I. х, + 2х2 < 10.

Отсечение II. Зхх + х2 < 15.

3. Запишите отсечения I и II в примере 9.2.2 через уравнения для переменных х, и х2 и покажите, что они совпадают с отсечениями, которые графически показаны на рис. 9.12.

4. Покажите, что дробное отсечение не приводит к допустимому решению в приведенной ниже задаче, если не устранены все дроби в ограничении.

Максимизировать z = хх + 2х2

при ограничениях

1 13

X. + -Х, <-,

1 2 - 4 х,, х2 > 0 и целые.

5. Решите следующие задачи методом отсекающих плоскостей и сравните оптимальное целочисленное решение с решением, полученным путем округления соответствующего оптимального непрерывного решения.

а) Максимизировать г = 4х, + 6х2 + 2хъ

при ограничениях

4х, - 4х2 < 5,

-х, + 6х2< 5,

-х, + х2 + х3< 5,

х,, х2, х3> 0 и целые.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [ 136 ] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]