-►5,

Рис. 7. Будущая стоимость аннуитета пренумерандо

7n+)TZ г """ наращенная сумма S, уведичивается в (1 + g раз. Следовательно, для всей суммы имеем

ii-:

(7.11)

Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо получаем следующее соотношение: 5

= /,« •(! +> (7.12)

Можно также заметить, что для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета пренумерандо. Поэтому каждая современная величина Лд. будет больше в (1 + О раз. Таким образом.

(7.13)

А для коэффициента приведения получаем

<« = «/,«а + <:)- (7.14)

Для нахождения размера платежа и срока аннуитета пренумерандо можно по формулам (7.11) и (7.13) найти для заданных значений и Ап соответствующие значения 5 и Л и пользоваться далее формулами, выведенными для аннуитета постнумерандо. /ДД Для определения коэффициентов наращения и приведения обыкновенного аннуитета существуют таблицы, которыми удобно пользоваться в практических

вычислениях. Максимальные процентные ставки в таких таблицах обычно не превышают 30-40%, что значительно ниже размера процентных ставок, применяемых в России в настоящее время. Но нужно иметь в виду, что п в данном случае - не число лет, а число периодов одинаковой продолжительности (день, месяц, квартал и т. д.), в которых принята данная процентная ставка. Таким образом, если задана годовая процентная ставка, можно найти эквивалентную ей ставку на более коротком интервале и рассматривать далее п как число таких интервалов.

Если срок аннуитета п не ограничен, мы получаем случай вечного аннуитета. Для аннуитета постнумерандо выражения для наращенной суммы и современной величины приобретут следующий вид:

А°° = ШР-

(1 + д"-1

1 - (1 + сГ"

(7.15)

Для аннуитета пренумерандо, соответственно, получаем 5~ = Urn р. (1 + ~=°о;

A = ]imP.~\\l+i)=P + f.

(7.16)

(7.17)

(7.18)

л 00 с с

Таким образом, различие между двумя типами вечных аннуитетов, естественно, сказывается на определении их современной величины.

Не менее важен случай, когда последовательность платежей изменяется по некоторому закону, и, следовательно, также может быть описана с помощью математических средств.

Рассмотрим обьжновенный аннуитет, в котором платежи постоянно увеличиваются на определенную положительную величину h, т. е. являются членами арифметической прогрессии с первым членом fli = Р и разностью h. Т. е. платежи представляют собой ряд:

Р, Р+ h,P+ 2h, ... Р+{п- l)h. Для наращенной суммы всего аннуитета получаем следующее выражение:

S= Д1+ /•/- + iP + h){l+ if- + (? + 2Л)(1+ -3 +...+ [P+{n-Щ.

Умножим обе части данного равенства на (1 + /) и вычтем первое выражение из полученного после умножения:

S- i,= P{l+ if- [P+{n~l)h]+ /1(1+ -+ /1(1+ -V..+ /1(1+ Видно, что часть полученного равенства представляет собой су\шу членов геометрической прогрессии, где а\ = А(1 + Q; q = = (1 + /с). После несложных преобразований получаем:

Найдем теперь современное значение аннуитета А.

(7.19)

Л = £ Л = Р/{\+ /с) + (P+h/{\+ icf + ...+ [Р + («-l)/i]/(1+ /с)"

А:=1

Умножим обе части равенства на (1 + i)". A{\+if = Л1+/)"-+ (Р+ /2)(1+/,)"-2 + ... +[р+(„-1щ = S.

Как видим, в данном случае верна формула (7.6), полученная ранее для обыкновенного аннуитета:

A(l+i,f=S,

отсюда

:(1+;;)"

(7.20)

Возможен также случай, когда платежи постоянно возрастают в q раз, т. е. являются членами геометрической прогрессии:

P,Pq,Pq,...,P(f-\ Тогда для наращенной суммы аннуитета имеем

S= Р[{\+ - + (1+ -2 + (1+ if- +...+ q"-\ В квадратных скобках мы получили геометрическую прогрессию с первым членом = (1 + if и знаменателем q/{\ + 4). Используя опять формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем выражение для S:

SP[cr-{\ + ify\q-{\ + i]. Очевидно, чтобы найти современное значение аннуитета А. здесь также можно применить формулу (7.6):

Л = Р1/(1 + - 1]/[-(1 + д]. Теперь \а>1 имеем возможность решить пример по определению потока платежей произво;0)НОй величины. 122

Пример 27

Найти современную величину потока платежей, определяемого следующим образом: первый год - поступления 500 ам. долл., второй ГОД - поступления 200 ам. долл., третий год - вьшлата 400 ам. долл., далее в течение семи лет - доход по 500 ам. долл. Ставка дисконтирования - 6% годовых.

Решение

В данном примере поток платежей в течение последних семи лет представляет собой постоянный аннуитет. По формуле (7.5) мы можем рассчитать его современную величину Aq. Нельзя забывать, что это будет современная величина на момент начала четвертого периода:

= 500 . 5,58 = 2791 (ам. долл.) (коэффициенты приведения находим по таблице 4 Приложения 2). Далее, используя формулу (3.11), находим современные значения на момент начала потока платежа для всех оставшихся платежей и величины а:

а] = 500 . 0,953 = 471,5 (ам. долл.); а2 = 200 0,89 = 178 (ам. долл.); аз, = -400 . 0,840 = -336 (ам. долл.); а4 = 2791 . 0,840 = 2344,44 (ам. долл.). Складьгеая получившиеся величины, находим современную величину всего потока платежей:

а =ai + а2 + а + а = 2657,94 ам. долл.

471,5 178,0 -336,0

2791,0

2344,0 2657,9

Современная величина аннуитета

/Ай Во всех случаях, когда в произвольном потоке пла-тежей встречаются серии, которые могут быть описаны как постоянные или изменяющиеся по некоторому за-

кону аннуитеты, следует обращать внимание на начальный момент и срок этих аннуитетов, не совпадающие с начальным моментом и сроком полного потока платежей.

Следующий этап нащего изучения - конверсия аннуитетов.

Под конверсией аннуитета понимается такое изменение начальных параметров аннуитета, после которого новый аннуитет был бы эквивалентен данному.

Два аннуитета считаются эквивалентными, если равны их современные величины, приведенные к одному и тому же момешу времени.

На практике необходимость рассчитать параметры эквивалентного аннуитета чаще всего возникает при изменении условий выплаты долга, погашения кредита или займа и т. п. При этом конверсия может произойти как в момент начала аннуитета (на этот момент и рассчитываются современные величины эквивалентных аннуитетов), так и после выплаты некоторой части аннуитета. В последнем случае все расчеты производятся на остаток долга в момент конверсии.

Рассмотрим наиболее распространенные случаи конверсии постоянных аннуитетов.

1. Через некоторый промежуток времени Яд (о" может быть равен и 0) после начала аннуитета весь остаток долга может быть выплачен за один раз (выкуп аннуитета). Очевидно, что в этом случае величина вьшлачиваемой суммы будет равна современной величине остатка аннуитета, рассчитанной для срока л, = л - Яд-

2. Может возникнуть задача, обратная предыдущей: задолженность погашается частями, в виде выплаты постоянного аннуитета, и требуется определить один из параметров аннуитета при заданных остальных. Поскольку здесь известна сумма долга, т. е. современная величина аннуитета, для нахождения неизвестного параметра используем формулы (7.8) или (7.10).

3. Период выплаты долга может быть изменен при сохранении прежней процентной ставки. Величину платежа для срока л) находим, используя уравнения эквивалентности (приравниваются современные значения аннуитетов):

Р = Р

Отсюда 124

1-(1+д-"

Очевидно, что, если срок аннуитета увеличится, значение Р сократится, и наоборот.

4. Может возникнуть ситуация, когда величина платежа /должна бьггь изменена в ту или другую сторону. Рассмотрим данный случай на примере 28.

Пример 28

Для погашения кредита, вьщанного под сложную процентную ставку 4% годовых, в течение 10 лет должны вноситься ежегодные платежи в размере 5 ООО ам. долл. Изменившиеся условия дают возможность с самого начала вносить по 7 500 ам. долл. Определить новый срок л), за которьгй долг будет полностью выплачен.

Решение

Рассчитаем сначала современную величину имеющегося аннуитета (которая и представляет собой величину долга на начальный период).

По формуле (7.5) получаем

Л = 5 ООО [1 - (1 + 0,04)"V0.04 = 40554,5 (ам. долл.). Далее для изменившегося Р найдем коэффициент приведения аннуитета по той же формуле:

а,. „ = А/Р = 40554,5 ам. долл./ 7500 ам. долл. = 5,4.

Используя таблицу 4 Приложения 2 найдем значение л), более всего подходящее данному коэффициенту при процентной ставке 4%, округляя его в меньшую сторону: = 6. Поскольку значение л] найдено приближенно, необходимо рассчитать современное значение нового аннуитета:

Л, = 7 500 [1 - (1 + 0,04)-V0,04 = 39 316 (ам. долл.).

Если величины платежей изменяться не могут, недостающая сумма Ло = 40 554,5 - 39 316 = 1238,5 (ам. долл.) должна бьггь выплачена кредитору сразу. (Пример, когда в такой ситуации корректируются величины платежей, рассматривается в конце этого раздела).

5. Начало вьшлаты задолженности при заданной процентной ставке может быть отсрочено:

а) при сохранении размера платежа;

б) при сохранении срока выплаты. - ,

Очевидно, что в первом случае должен увелич1ггься срок аннуитета, а ю втором - величина платежа.