Пример 17

Срок уплаты по долговому обязательству - полгода, учетная ставка равна 18%. Какова доходность данной операции, измеренная в виде простой ставки ссудного процента?

Решение

Используем формулу (5.1): г.-

/ = 0,18/(1 - 0,5 • 0,18) = 0,198 = 19,8%.

Пример 18

Рассчитать эффективную ставку сложных процентов, если номинальная ставка равна 24% и начисление процентов происходит ежемесячно.

Решение

Вычисление проводим по формуле (5.7):

/с = (1 + 0,24/12)2 - 1 = 0,268 = 26,8%.

Пример 19

Определить, под какую ставку процентов выгоднее поместить капитал в 10 ООО ООО руб. на пять лет;

а) под простую ставку процентов 30% годовых;

б) под сложную ставку в 25% при ежеквартальном начислении? Решение

В данном случае не обязательно считать величину наращенной суммы, получаемой при различных процентных ставках. Поэтому не важна величина первоначального капитала. Достаточно найти, например, простую процентную ставку, эквивалентную данной сложной ставке, воспользовавщись формулой (5.5);

/ = [(1 + 0,25/4)2° - 1] /5 = 0,472 =47,2%. Так как простая процентная ставка (47,2%), которая дала бы одинаковый с данной сложной процентной ставкой результат, значительно превышает предложенную (30%), ясно, что гораздо выгоднее использовать сложную процентную ставку. Посчитаем теперь наращенные суммы, получаемые в обоих случаях, чтобы выяснить, насколько более выгодна сложная ставка. Используем для этого формулы (1.7) и (3.6):

а) 5 = 10 ООО ООО (1 + 5 0,3) = 25 ООО ООО (руб.).

б) 5= 10 ООО ООО (1 + 0,25/4)2° = 33 618 521 (руб.). ,

J\ Ощутимая разница в результатах подтверждает сделанный ранее вывод. Можно заметить, что решение примера с использованием эквивалентных процентных ставок требует в два раза меньше вычислений.

Пример 20

Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в 26%, если начисление процентов происходит ежемесячно.

Решение ?

По формуле (5.8) получаем 12

У = 12 ( "VI+0,26-Л) 0,34 = ?3.4%. „

Пример 21 i

Капитал, взятый в кредит, вложен под сложную ставку ссудного процента 22% годовых. Для расчета с кредиторами необходимо выплатить 30 ООО ООО через два года или 36 ООО ООО через три года. Какой вариант предпочтительнее?

Решение

По формуле (5.13) найдем уравнивающую процентную ставку /д:

/о = -ШШШ/зоШШ-1 = 36 ООО 000/30 ооо ооо - i =

= 0,2 = 20%.

Данная нам ставка 22% больше найденной, следовательно, современная величина второй (большей) суммы оказывается меньше, предпочтительнее отдать ее через три года.

2.6. Учет инфляционного обесценения денег в принятии финансовых решений

Инфляция характеризуется обесценением национальной валюты (т. е. снижением ее покупательной способности) и общим повышением цен в стране. Очевидно, что в различных случаях влияние ин-фляхдтонного процесса сказывается неодинаково. Так, если кредитор (инвестор) теряет часть дохода за счет обесценения денежных средств, то заемщик может получить возможность погасить задолженность деньгами сниженной покупательной способности.

Во избежание ошибок и потерь в условиях снижения покупательной способности денег рассмотрим механизм влияния инфляции на результат финансовььх оператщй и проведем несложные математические расчеты и преобразования.

Пусть 5ц- сумма, покупательная способность которой с учетом инфляции равна покупательной способности суммы при отсутствии инфляции. Через А5 обозначим разтшцу между этими суммами.

Отношение AS/S, выраженное в процентах, называется уровнем инфляции.

при расчетах используют относительную величину уровня Инфляции - темп инфляции а. .

AS . i

Тогда для определения S получаем следующее выражение:

S = S+AS= S+Sa= Sil + а). (6.1)

Величину (1 + а), показывающую, во сколько раз 5„ больще S (т. е. во сколько раз в среднем выросли цены), называют индексом инфляции /„.

/и = 1 + а. (6.2)

Динамика индекса инфляции за несколько лет отражает изменения, происходящие в инфляционных процессах. Понятно, что повыщение индекса инфляции за определенный период по сравнению с предьшущим таким же периодом указывает на ускорение инфляции, снижение - на уменьщение ее темпов.

Пусть а - годовой уровень инфляции. Это значит, что через год сумма S будет больще суммы Ув (1 + а) раз. По проществии еще одного года сумма S будет больше сумлп,! в (1 + а) раз,

т. е. больше суммы 5в (1 + а) раз. Через и лет сумма S" вырастет по отношению к сумме S в {I + а)" раз. Отсюда видно, что инфляционный рост суммы 5при годовом уровне инфляции а - то же самое, что наращение суммы S по сложной годовой ставке процентов а.

Разу-меется, те же рассуждения применяются, если вместо года берется любой другой временной интервал (квартал, месяц, день и т. д.).

Очень важно запомнить данную аналогию со сложным процентом, так как одна из наиболее часто встречающихся ошибок, связанных с расчетом уровня инфляции за некоторый период, связана именно с неучетом данного обстоятельства.

Например, если цены каждый месяц растут на 2%, то за годовой уровень инфляции, недолго думая, принимают 2% 12 - 24%. Такие расчеты часто используют банки и финансовые компании, привлекая клиентов вкладывать средства, к примеру, под 25% годовых. Между тем, если уровень инфляции составляет 2% в месяц, это значит, что за месяц1ены вырастают в (1 -h 0,02) = 1,02 раза, а за год - в 1,02 = 1,268 раза. Значит годовой темп инфляции

составляет 1,268 - 1 = 0,268, т. е. годовой уровень инфляции достигает 26,8%. После такого расчета процентная ставка 25% годовых теряет свою инвестиционную привлекательность и может рассматриваться лишь в плане минимизации потерь от инфляции.

Рассмотрим теперь различные случаи задания уровня инфляции.

Если известен годовой уровень инфляции а, то за период в и лет (при том, что « = «о + И/, и Ид - целое число лет, и/, - оставшаяся нецелая часть года) индекс инфляции, очевидно, составит следующую величину:

4 = (1+ а)"(1 + «а). (6.3)

В некоторых случаях может быть задан уровень инфляции а„ за короткий (меньше года) интервал. Тогда за период, составляющий т таких интервалов, индекс инфляции будет равен

/„=(1 + аХ (6.4)

Теперь можно приложить изложенные в предыдущих параграфах варианты начисления процентов к условиям инфляционной экономики.

Если в обычном случае первоначальная сумма Р при заданной ставке процентов превращается за определенный период в сумму S, то в условиях инфляции она должна превратиться в сумму S, что требует уже иной процентной ставки. .

Назовем ее ставкой процентов, учитывающей инфляцию.

Пусть

/о - ставка ссудного процента, учитывающая инфляцию;

da - учетная ставка, учитывающая инфляцию;

ja - номинальная ставка сложного процента, учитывающая инфляхщю;

/а - номинальная сложная учетная ставка, учитывающая инфляцию.

Зададим годовой уровень инфляции а и простую годовую ставку ссудного процента /. Тогда для наращенной суммы S, превращающейся в условиях инфля1Ц1и в сумму S, используем формулу (1.7):

5«=Р(1 + /«).

Для данной суммы можно записать еще одно соотношение: S= Р{\ +0(1 + о), а затем составить уравнение эквивалентности:

(1 + g = (1 + о (1 + а),

из которого следует, что

= / + а + г а. (6.5)

Мы получили, таким образом, известную формулу И. Фишера, в которой сумма (а + / а) является величиной, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. Эта величина называется инфляционной премией.

Зная формулу И. Фишера, можно избежать еще одной распространенной ошибки. Часто для подсчета процентной ставки, учитывающей инфляцию, к величине реальной ставки доходности просто прибавляют величину темпа инфляции, т. е. если / - 25% и а = 15%, то за процентную ставку, учитывающую инфляцию, принимается сумма (/ -I- а) = 25 + 15 = 40%. Но нужно помнить, что существует еще произведение (1а), величина которого тем больше, чем больше значения / и а. В нашем примере оно составляет 0,15 0,25 = 0,0375 = 3,75%. Наверное не стоит пренебрегать даже такой, на первый взгляд, небольшой величиной. Ведь когда счет идет на десятки миллионов, каждый процентный пункт -это сотни тысяч рублей.

* Рассмотрим теперь различные случаи начисления процентов с учетом инфляции. При этом всегда удобно пользоваться значением индекса инфляции за весь рассматриваемый период. Ддя простых процентных ставок по формуле (1.7) получаем

Sa = Pil + nia). В то же время должно выполняться равенство;

Sa= Р(1 + ni)h. Составим уравнение эквивалентности: *,...,!

I + nia= (I + ni) 1м, - ji„

из которого получаем

(1 + «/)4-1

(6.6)

Для простых учетных ставок аналогичное уравнУйие эквивалентности будет иметь вид: "

1 1 -л

1 +л

4«

(6.7)

it/-

Для случая сложных процентов используем формулу (3.1):

Уа = (1 + са)";

- - 5« = (1 + дЧ-

Отсюда

;, i,=ii+i,)4i;-L и (6.8)

Если начисление процентов происходит несколько (т) раз в году, используем формулу (3.6):

{l+Jjm)"" = {\+j/m)"U.

Отсюда . ,

Ja = "[a+JM"- (6.9)

Таким же образом получаем две формулы для случая сложных учетных стаюк:

(6.10)

г /1 1 ~f/tn ч

(6.11)

Используя полученные формулы, можно находить процентную ставку, компенсирующую потери от инфляции, когда заданы процентная ставка, обеспечивающая желаемую доходность финансовой операции, и уровень инфляции в течение рассматриваемого периода. Эти формулы можно преобразовать и получить зависимость / от или любую другую. Например, из формулы (6.6) можно получить формулу, позволяющую определить реальную доходность финансовой операции, когда задан уровень инфляции и простая ставка процентов, учитывающая инфляцию:

I = -

(6.12)

Из формулы (6.8) получаем аналогичную формулу для случая сложных щ)оцентов:

iJ--l (6.13)

Подставив в последнюю формулу вместо индекса инфляции выражение {\ + а)", получим простую формулу:

"l+a

(6.14)

отражающую несколько очевидных соображений: