При непрерывном начислении процентов S рассчитывается по формуле:

S= P/lim (1-f/m)"". (4.7)

m -> о»

Из полученных формул путем преобразований получаем формулы для нахождения первоначальной суммы, срока начисления и величины учетной ставки:

p=S(i-d,r,

In (1 - d)

In F/S mln(l - f/m)

(4.8) (4.9) (4.10)

(4.11) (4.12)

Мы рассмотрели различные способы начисления процентов. В заключение составим таблицу, дающую возможность наглядного представления результатов, получаемых при этих способах для одной и той же первоначальной суммы, одинаковых по величине процентных ставок и периодов начисления «.

Таблица 1. Величина наращенной суммы в зависимости от вида процентной ставки

Р = 10 ООО ам. долл., величина процентной ставки - 10%

Результаты вычислений, вероятно, будут неожиданными для больщинства читателей - наибольщий рост капитала мы имели бы в случае начисления процентов по простой учетной ставке. (Следует заметить, что на практике она не применяется на длительных, больще года, периодах начисления.)

Однако, для того, чтобы выбрать в каждом конкретном случае наиболее выгодную процентную ставку, не обязательно считать получаемые суммьт Можно воспользоваться эквивалентными процентными ставками, о которых пойдет речь в следующем разделе.

Пример 15

Первоначальная сумма долга равняется 25 ООО ООО руб. Определить величину наращенной суммы через три года при применении декурсивного и антисипатавного способов начисления процентов. Годовая ставка - 25%.

Решение

По формулам (3.1) и (4.1) получаем:

5, = 25 ООО ООО (1 + 0,25) = 48 828 125 (руб.); Sj = 25 ООО 000/(1 - 0,25) = 59 255 747 (руб.). Данный пример наглядно демонстрирует ощутимость различия в результатах при разных способах начисления процентов. Разница составляет больще 10 млн. руб.

Пример 16

Определить современное значение суммы в 120 ООО ООО руб., которая будет выплачена через два года, при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.

Решение

Производим расчет по формуле (4.8):

Р= 120 ООО ООО (1 - 0,2) = 76 800 ООО (руб.).

2.5. Эквивалентность процентных ставок различного типа

Часто при расчетах, проводимых по различным финансовым операциям, возникает необходимость в определении эквивалентных процентных ставок.

Эквивалентные процентные ставки - это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные процентные ставю! необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой оперции и требуется инструмент для корректного сравнения раз-Л1-1ЧНЫХ процентных ставок.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности, принцип составления которьк заключается в следующем. Выбирается величина, которую можно

рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма S). На основе равенства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.

Вспомним обозначения, использованные ранее:

/ - простая годовая ставка ссудного процента;

d - простая годовая учетная ставка;

ic - сложная годовая ставка ссудного процента;

dc - сложная годовая учетная ставка; v

j - номинальная ставка ссудного процента;

/ - номинальная учетная ставка.

Повторим формулы для определения наращенной суммы при различных способах начисления процентов, полученные в предыдущих параграфах этой главы;

S=P(l + ni); (1.7)

S= P/{l-nd);

S = P({ + i,)"; S,„= Pil+j/m)"";

S= P/(\-d,)"; S= Р/(1 - f/m)"".

(2.5) (3.1) (3.6) (4.1) (4.5)

Приравнивая эти формулы попарно, можно получить соотношения, выражающие зависимость между любыми двумя различными процентными ставками. Рассмотрим несколько случаев. Приравнивая соотношения (1.7) и (2.5), получим, >.

\-nd

откуда

\-nd

1 + л I

Из формул (1.7) и (3.1) имеем , 1 + «/=(1 + ;

/=[(1 + -1]/«;

(5.1) (5.2)

(5.3)

> • г гс = l+ni - 1.

Приравнивание формул (1.7) и (3.6) дает : • 1 + иг= (1 + j/m)"\

{\+j/mf"-\ .

, (5.4)

(5.5)

. - у = /и("ТТТТ-1). г (5.6)

Для различных случаев сложных процентов получаем уравнение эквивалентности, приравнивая формулы (3.1) и (3.6): (1 + д« = (1+; «)"; " " i,= {\ + j/m)" - \; (5.7)

; = /и( Tm;- 1). (5.8)

Полученная по формуле (5.7) годовая ставка сложных процентов, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов.

Эффективную ставку сложных процентов полезно знать, чтобы оценить реальную доходность финансовой операции, или сравнить процентные ставки в случае, когда используются различные интервалы начисления. Очевидно, что значение эффективной процентной ставки больше значения номинальной, а совпадают они при т= \. Далее из формул (3.1) и (4.1) имеем

,„ 1 . - -о. ... ...

(1 + if =

(1 - df

1 +/.

(5.9) (5.10)

Аналогичным образом получаем зависимости между любыми другими эквивалентными процентными ставками.

/7VQ Проанализировав полученные формулы, можно сделать два замечания.

1. Эквивалентность различных процентных ставок никогда не зависит от величины первоначальной суммы р (для данного рассматриваемого случая, когда первоначальная сумма р предполагается одинаковой).

2. Эквивалентность процентных ставок всегда зависит от продолжительности периода начисления за исключением

случая эквивалентности между собой сложных процентных ставок разного вида (если период начисления один и тот же).

Используя для вычислений формулы (3.1) и (4.1), можно построить таблицу, отражающую зависимость между эквивапентны-ми сложными учетными ставками и ставками ссудных процентов (табл. 2). Видно, что небольшие учетные ставки имеют эквивалентные ставки ссудного процента, сопоставимые по величине, но с ростом учетных ставок разница увеличивается очень быстро.

Таблица 2. Зависимость между эквивалентными сложными учетными ставками </с(%) и ставками ссудных процентов /с(%)

Можно определить также процентную ставку, эквивалентную данной, когда начальные условия полностью или частично не совпадают. Данная ситуация может возникнуть, например, если есть юзможность выбора между различными коммерческими предложениями.

Рассмотрим следующую задачу:

Какова должна быть сложная учетная ставка d, чтобы сумма Pi, вложенная под эту ставку на лет, достигла той же величины, что и сумма Pj, вложенная под сложную ставку ссудного процента /g на «2 лет?

Поскольку финансовые результаты обеих операций должны быть равны, составляем следующее уравнение эквивалентности:

,p,a + icf=PiAi-dS..,,,,\ ,/ V

Отсюда . ,

Можно решить уравнение относительно /, тртщ.,

(5.11)

„(5.12)

Аналогачные зависимости можно получать для любых видов процентных ставок.

Принцип эквивалентности также используется при решении вопросов финансовой эквивалентности платежей.

ВСак определить, что вьподнее, заплатить сумму Si через «i лет или сумму через rij лет? Будем считать, что Si < и «!< «2 (иначе задача имеет тривиальное решение).

В зависимости от размера процентной ставки (возьмем для примера сложную ставку ссудного процента), под которую могут быть вложены деньги, суммы Si и S2 имеют различные современные величины Pi и Pj.

Pi=Si/a + i,)"\ P2=s2/a + ic)".

Очевидно, что для О Si= Pi и SjPj-

В этом случае выгоднее выплачивать меньшую сумму Si. Поскольку «!< «2) для достаточно больших будет выполняться Pl>P2 (см. рис. 4). Тогда найдется Iq, уравнивающая ставка, при которой современные величины обеих сумм совпадут.

Т. е.

откуда

Рис. 4

5,/(1 + /о) = 52/(1 + /о),

(5.13)

Для всех /g < Iq предпочтительнее вариант с меньшей суммой и меньшим сроком. Для /g> - с большими. При iq финансовые результаты обеих операций эквивалентны.

Аналогичные формулы могут быть получены для всех видов процентных ставок.