Пример 6
Кредит вьщается под простую ставку 26% годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40 ООО ООО руб.
Решете
По формуле (1.9) (операция дисконтирования) имеем
Р = 40 ООО ООО /(1 + 250/365 • 0,26) = 33 955 857 (руб.). Из формулы (1.4) получаем
/ = 40 ООО ООО - 33 955 857 = 6 044 143 (руб.).
2.2. Простые учетные ставки
При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т. е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (рши ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом.
Дисконт - это доход, полученный по учетной ставке, т. е. разница между размером кредита и непосредственно вьшаваемой суммой.
Пусть теперь
d{%) - простая годовая учетная ставка;
d - относительная величина учетной ставки;
Ог - сумма процентных денег, выплачиваемая за год; 1
D - общая сумма процентных денег;
S - сумма, которая должна бьггь возвращена;
Р - сумма, получаемая заемщиком.
Тогда, согласно определениям, имеем следующие формулы:
100% ~ 5 .D=nD= ndS;
P = S-D=S{\-nd) = S[\-{d/K)d\.
(2.1) (2.2) (2.3) (2.4)
Преобразуя последнее выражение, получаем формулу для определения наращенной суммы:
1 -nd
(2.5)
Из этой формулы легко видеть, что в отличие от случая простых ставок ссудного процента простые учетные ставки не могут принимать любые значения. Именно для того, чтобы выражение (2.5) имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби в правой части бьш строго больше нуля, т. е. (1 - > О, или d < 1/п. Правда, со значениями d, близкими к предельным, вряд ли можно встретиться в жизни.
На практике учетные ставки применяются главным образом при учете (т. е. покупке) векселей и других денежных обязательств. Вопрос получения дохода по векселям будет подробно рассмотрен в разделе 2.8.
Из приведенных формул можно вывести еще две формулы для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях:
(2.6)
S-Р S-Р
(2.7)
Пример 7
Кредит вьщается на полгода по простой учетной ставке 20%. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если требуется возвратить 30 ООО ООО руб.
Решение
По формуле (2.4) получаем
= 30 ООО ООО (1 - 0,5 • 0,2) = 27 ООО ООО (руб.).
Далее
£) = 5 Р = 30 ООО ООО - 27 ООО ООО = 3 ООО ООО (руб.). Пример 8
Кредит в размере 40 ООО ООО руб. вьщается по простой учетной ставке 25% годовых. Определить срок, на который предоставляется кредит, если заемщик желает получить 35 ООО ООО руб.
Решение
Расчет проводится по формуле (2.6): п = (40 ООО ООО - 35 ООО 000)/(40 ООО ООО • 0,25) = 0,5 года.
Пример 9
Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение 9 ООО ООО руб., если сумма в 10 ООО ООО руб. вьщается в ссуду на полгода. ,,,, ,,
Решение ,
По формуле (2.7): d= (10 ООО ООО - 9 ООО 000)/(10 ООО ООО • 0,5) = 0,2 = 20%.
2.3. Сложные ставки ссудных нроцентов
Если после очередного интервала начисления доход (т. е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.
Пусть
с - относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;
кн.с - коэффициент наращения в с;гучае сложных процентов;
- номинальная ставка сложных ссудных процентов (ее определение будет дано в дальнейшем).
Если за интервал начисления принимается год, то по прошествии первого года наращенная сумма в соответствии с формулой (1.7), составит
5, = Р{\ + д.
Еще через год это выражение применяется уже к сумме
и так далее. Очевидно, что по прошествии п лет наращенная сумма составит
S = P{\ + kf. (3.1)
Множитель наращения к соответственно будет равен
н.с = (1 + с)" (3.2)
При начислении простых процентов он составил бы по формулам (1.5) и (1.7): ... ,,
Сравнивая два последних выражения для коэффициентов наращения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.
Эту разницу можно наглядно представить с помощью графиков, изображенных на рис. 1. Здесь, как и на всех последующих рисунках, по горизонтальной оси откладываются годы, по вертикальной - тысячи рублей. Первоначальная сумма составляет 1000 руб., процентная ставка - 30% годовых. Верхняя линия соответствует наращению денежной массы в случае применения сложной процентной ставки. Она представляет собой пример экспоненциального роста (чем больше л, тем круче кривая уходит вверх), в то время как нижняя линия (соотаетствующая случаю простых процентов) является прямой с очень небо;щшим углом наклона.
Поэтому, когда возникает возможность выбора между низкой сложной процентной ставкой и более высокой простой, следует отдавать предпочтение первому варианту. Естественно, если в нашем распоряжении более или менее значигельный период времени. Сумма, наращенная по сложной процентной ставке, уже через небольшое (в зависимости от разницы в величине процентных ставок) количество интервалов начисления превысит сумму, наращенную по простой ставке (см. рис. 1). Подробно этот вопрос рассматривается в разделе 2.5.
14DDD 12DDD 1DDDD BDDO 6DDD 40DD 20DD D
Рис. 1. Наращение вложенной суммы по простой и сложной процентным ставкам (/ = k = 30%)
Если срок ссуды п в годах не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:
Vc = (1+ +«6 g,
(3.3)
(3.5)
где n = па+ пь;
Па - целое число лет; •
пь - оставшаяся дробная часть года.
На практике в данном случае часто предпочитают пользоваться формулой (3.1) с соответствующим нецелым показателем степени. Но нужно иметь в виду, что с точки зрения сущности начисления процентов этот способ является приблизительным, и погрешность при вычислениях будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин. Наибольшее расхождение мы получим при п/, = 1/2, как раз в том случае, когда очень удобно применить формулу (3.1), ведь на всех калькуляторах есть операция извлечения квадратного корня (т. е. возведения в степень 1/2). Следует учитывать, что приблизительный метод дает меньший, чем в действительности, результат.
Таким образом, в современной ситуации, когда номиналы денежных сумм достаточно велики, от этого метода лучше отказаться вовсе. В конце раздела будет приведен пример, позволяющий оценить разницу в результатах при двух способах вычисления множителя наращения по формулам (3.2) и (3.3).
Предположим теперь, что уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления.
Пусть «], «2, «уу ~ продолжительность интервалов начисления в годах; /], /2, уу - годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам. Тогда наращенная сумма в конце первого интервала начисления в соответствии с формулой (1.7), составит
В конце второго интервала: .
5 = /(1+«, /,)(1 + «2/2) 1
и Т. д.
При Л" интервалах начисления наращенная сумма в ковдевсего периода начисления составит
г= 1
(3.4)
Если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, формула (3.4) принимает вид:
Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j - годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.
При т равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке J эта величина считается равной J/m.
Если срок ссуды составляет и лет, то, аналогично формуле (3.1), получаем выражение для определения наращенной суммы:
S„=F(l+j/m)
(3.6)
где тп - общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.
Если общее число интерватов начисления не является целым числом {тп - целое число интервалов начисления, / - часть интервала начисления), то выражение (3.6) принимает вид:
S= F{l+J/ т)""{1 + lj7m). (3.7)
Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (3.1), а для оставшейся части - формула простых процентов (1.7).
В России в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными.
В мировой практике часто применяется также непрерывное начисление сложных процентов (т. е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, & т - к бесконечности).
В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение:
S= Flim{l+J/m)"r (3.8)
Для расчетов можно использовать известную в математике формулу;
/ 1 л" 1+- =е, т
m -> ~
где е= 2,71828...
Из этой формулы следует:
Навигация
