5 ПРИМЕР П-3
[ По архивным данным, число аварий на крупном предприятии - 2 в день. Кроме того, [ определено, что число аварий описано распределением Пуассона со средним зна-чением 2,0. Смоделируйте показатели аварийности на предприятии за 5 дней. Чи-I тайте случайные числа из столбца 1 и 2 таблицы 17п-1.
• Решение:
h Сначала получим показатели совокупного распределения из таблицы С в приложе-" НИИ для среднего значения 2,0. Распределим значения по диапазонам;
| Совокупная | Диапазоны |
| вероятность | случайных чисел |
| 0,135 | ООО до 134 |
| 0,406 | 135 до 405 |
| 0,677 | 406 до 676 |
| 0,857 | 677 до 856 |
| 0,947 | 857 до 946 |
| 0,983 | 947 до 982 |
| 0,995 | 983 до 994 |
| 0,999 | 995 до 998 |
| 1,000 | |
Затем получим трехзначные числа из таблицы 17п-1. Читая из столбца 1 и 2, полу- чим: 182, 251, 735, 124 и 549. Г
Наконец, преобразуем случайные числа в показатели числа аварий, в соответствии ; с полученным значением диапазонов. Так как 182 попадает во второй диапазон, оно ? означает 1 аварию в 1 -ый день. Второе случайное число 251 попадает в тот же диа- 5 пазон, означая 1 аварию во 2-ой день. Третье случайное число 735 попадает между 677 и 856 , показывая три аварии в 3-ий день. 124 соответствует О аварий в 4-ый день, а 549 соответствует 2 авариям в 5-ый день. *
; ПРИМЕР П-4 1
i Было определено, что время, необходимое для выполнения задания, можно описать
? нормальным распределением со средним значением 30 минут и стандартным от-
i клонением 4 минуты. Смоделируйте время трех заданий, используя первые три зна-
1 чения в столбце 1 таблицы 17п-2. %
f Решение:
Первые три значения: 1,46, -1,05 и 0,15. Значения моделирования: I
I Для 1,46 30+ 1,46(4)= 35,84 минут j
? Для-1,05 30 - 1,05(4)= 25,80 минут
Для 0,15 30 + 0,15(4)= 30,60 минут 1
Необходимо учитывать, что последннй пример использовал непрерывные переменные (continuous variables), тогда как в предыдущем примере использовались дискретные переменные. (Н е забудьте, что дискретные переменные обычно имеют только целые значения, тогда как непрерывные переменные Moiyr иметь как целые так и дробные значения.) Модель с непрерывными переменными может моделировать и целые, и дробные числа.
Другой непрерывный тип распределения - равномерное распределение, при котором значения могут располагаться где угодно, в диапазоне между двумя границами, анЬ, как это показано на рисунке 17п-1.
Таблица 17п-2. Нормально распределенные случайные числа
| | | | | | | | | | |
| 1,46 | 0,09 | -0,59 | 0,19 | -0,52 | -1,82 | 0,53 | -1,12 | 1,36 | -0,44 |
| -1,05 | 0,56 | -0,67 | -0,16 | 1,39 | -1,21 | 0,45 | -0,62 | -0,95 | 0,27 |
| 0,15 | -0,02 | 0,41 | -0,09 | -0,61 | -0,18 | -0,63 | -1,20 | 0,27 | -0,50 |
| 0,81 | 1,87 | 0,51 | 0,33 | -0,32 | 1,19 | 2,18 | -2,17 | 1,10 | 0,70 |
| 0,74 | -0,44 | 1,53 | -1,76 | 0,01 | 0,47 | 0,07 | 0,22 | -0,59 | -1,03 |
| -0,39 | 0,35 | -0,37 | -0,52 | -1,14 | 0,27 | -1,78 | 0,43 | 1,15 | -0,31 |
| 0,45 | 0,23 | 0,26 | -0,31 | -0,19 | -0,03 | -0,92 | 0,38 | -0,04 | 0,16 |
| 2,40 | 0,38 | -0,15 | -1,04 | -0,76 | 1,12 | -0,37 | -0,71 | -1,11 | 0,25 |
| 0,59 | -0,70 | -0,04 | 0,12 | 1,60 | 0,34 | -0,05 | -0,26 | 0,41 | 0,80 |
| -0,06 | 0,83 | -1,60 | -0,28 | 0,28 | -0,15 | 0,73 | -0,13 | -0,75 | -1,49 |
Рис. 17п-1. Равномерное распределение
Моделированное значение = а + (Ь - а)(Случайное число как %)
(17П-2)
Преобразование случайного числа в процентный показатель происходит просто перенесением десятичной точки на 2 разряда влево. Например 77 становится 0,77.
Третий вид непрерывного распределения - экспоненциальное распределение. Мы будем иметь дело с моделированными значениями обратного экспоненциального распределения, как это показано на рисунке 17п-2.
F(t)
Рис. 17п-2. Обратное экспоненциальное распределение
При обратном экспоненциальном распределении высока вероятность того, что случайная переменная будет иметь значение близкое к 0. Эта вероятность уменьшается по мере увеличения выбранного значения случайной переменной. Уравнение 17п-3 показывает вероятность того, что случайная переменная будет иметь значение большее, чем некоторое определенное значение Т. При этом переменная должна быть описана экспоненциальным распределением со средним значением, равным 1/.
P{t >Т) = е- (17п-3)
I ПРИМЕР П-5
I Время выполнения производственной операции равномерно распределено в диапа-
J зоне 10-15 минут. Используя значения из таблицы 17п-1, смоделируйте сроки вы-
; полнения 4 производственых операций. Читайте числа из столбца 9, сверху вниз.
I Решение:
j а =10 минут
I b = 15 минут
J b-a = 5 минут
i а. Получим случайные числа; 15, 88, 57 и 28
I б. Преобразуем их в значения моделирования.
i Случайное Вычисление Моделированное j число значение (мин)
1 15 10 + 5(0,15)= 10,75
i 88 10 + 5(0,88)= 14,40
I 57 10 + 5(0,57)= 12,85
28 10 + 5(0,28)= 11,40
ПРИМЕР П-6
Время между поломками оборудования определенного типа описано экспоненциальным распределением со средним значением 5 часов. Смоделируйте время между 2 поломками. Читайте двузначные случайные числа из столбца 3 таблицы 17П-1.
Решение:
Среднее значение, 1/ Х-5 часов. Случайные числа 84 и 05. Используя формулу 17п-4, получим следующие значения смоделированного времени:
Для 84 t = -5 [1п(0,84)] = -5 [-0,1744] = 0,872 часа. Для 05 t = -5 [1п(0,05)] = -5 [-2,9957] =14,979 часов.
Обратите внимание; чем меньше значение случайного числа, тем больше смоделированное значение t.
Применение моделирования
Моделирование находит применение в широком спектре проблем управления производством. В одних случаях модели достаточно просты, в других - очень сложны. В любом случае, использование моделирования зависит от того, насколько менеджер в
Для моделирования экспоненциальных распределений мы выбираем случайное число и переносим десятичную точку на 2 разряда влево. Подставим это значение как вероятность Р(Т) и решим уравнение 17п-3 для t. Результатом будет смоделированное значение из экспоненциального распределения со средним X.
Мы можем получить выражение для t, взяв натуральный логарифм обеих частей равенства. Так, при Р(Т)= .RN (для случайного числа), мы имеем;
In(.RN) = ln(er-)
Натуральный логарифм от степени е равен показателю степени, т. е. -Xt. Тогда;
1=1п(.ЯМ) (17П-4)
Это представлено на рисунке 17п-2.
Значения случайных чисел можно получить из таблицы 17п-1, как это показано в примере П-6.