назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [ 9 ] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]


9

лежат "вне" того, что является возможным для остальной части всего множества приращений, то есть принадлежат ;фугой союкупности событий.

Табл.2

Хдней

Вероятность

1 в N событиях

Ка1ендарное время ожидания

0.317

Здня

0.045

1 месяц

0.0027

1.5 года

6.3x10-

15787

63 года

5.7x10-

1.7x10

7 тысяч лет

2.0x10

5.1x10

2 миллиона лет

2.6x10"

3.9x10"

1562 миллиона лет

1.2x10

8.0x10*

3 триллиона лет

2.3x10

4.4x10

17721 триллион лет

1.5x10"

6.6x10

260 миллионов триллионов лет

Насколько вероятно наблюдение приращения, большего по амплитуде (то есть, в абсолютном значении), чем некоторая величина, равная X, умноженная на стандартное отклонение? В этой таблице ответ дается для Гауссовского мира. Левая колонка дает список величины X от 1 до 10. Вторая колонка дает вероятность, что абсолютное значение приращения будет большим, чем X раз стандартных отклонений. Третья колонка переводит эту вероятность в число периодов (дни в нашем примере), которые, обычно, нужно ждать, чтобы явиться свидетелем такой амплитуды. Четвертая колонка переводит это время ожидания в календарное время, используя преобразование, в котором один месяц содержит, приблизительно 20 торговых дней и один год - приблизительно, 250 торговых дней. Для сравнения, возраа вселенной, как полагают, составляет (лишь только) порядка 10-15 миллиардов лет.

В действительности, распределения тфиращений цен не является гауссовским, как показано на Рис. 17. Если бы это было так, то должно было проявиться в виде перевернутой параболы на этом полулогарифмическом графике. Линейная аппроксимация наблюдаемой зависимости скорее может интерпретироваться как зависимость, приближающаяся к экспоненциальному закону. В этом новом улучшенном представлении, мы можем снова вычислить вероятность наблюдения амплитудь! приращения большей, чем, скажем, 10 стандартных отклонений (10% в нашем гфимере). Результат - 0.000045, который соответствует одному событию за 22,026 дня или 88 лет. Рост цен 20 октября 1987, в свете этого, становится менее экстраординарным. Однако, падение цен на 22.6% 19 октября 1987 соответстювало бы одному случаю за 520 миллионов лет, что позволяет интерпретировать его как " выброс".

Таким образом, согласно экспоненциальной модели, величина приращения цены в 10% не может бесспорно быть интерпретировано как " выброс". Кроме того, мы видим, что наше различие между нормальными и аномальными приращениями зависит от нашего выбора типа распределения: Определение того, что является правильным описанием частоты распределения, особенно для больших положительных и отрицательных приращений, является тонкой проблемой, которая

все еще является горячей областью для исследования. Из-за недостатка уверенности в правильности выбора закона распределения, этот подход, основанный на предварительно высказанном предположегаш о типа распределения частоты событий, не кажется наиболее адекватным для характеристики аномальных, редко встречающихся, событий.

До сих пор, мы только смотрели на распределение или частоту появления тех или ifflbix приращений цен. Однако, сложный временной ряд приращений цен имеет много других структур, не характеризуемых частотой появления приращений цен (законом их распределения). Мы уже обсудили дополнительные диагностические процедуры в терминах функции корреляции, показанной на Рис. 18. Тепфь мы представляем другой диагностический подход, который позволяет нам характеризовать фазы анормального рьшка гораздо более точным и непараметрическим способом, то есть без указания специфического типа распределения частот приращений цен различной величины.

Просадки

Опрелениепросад(П{

Существует одна характеристика временного ряда, идущая дальше простой частотной статистики и линейных корреляций, и которая появляется благодаря анализу статистики "просадок" (drawdowns). "Просадка" определяется как монотонное падение цены актива в течение нескольких последовательных дней. Просадка, как показано на Рис. 21 является, таким образом, совокупной потерей от последнего (прошлого) максимума до последующего мшшмума цены. Просадки -это индикаторы, о которых мы должны беспокоиться, так как они непосредственно измеряют совокупную потфю, от которой могут пострадать инвестиции. Они также количественно определяют худший сценарий, когда инвестор покупает на локальном максимуме и продает на следующем локальном минимуме. Таким образом, заслуживает внимания вопрос - есть ли какая-либо структура в распределении просадок, отсутствующая в распределении ценовых приращений.

Просадки воплощают в себе довольно тонкую зависимость, так как они построены на последовательностях тех же самьж вариаций знаков приращений цен (см. ниже). Таким образом, их распределение, может содержать объяснение того, как последовательные падения цен могут влиять на друг друга исоздавать поддерживающийся процесс. Это постоянство не может бьпъ измерено распределением приращений цен потому, что по его точному определению, при расчете распределения теряется информация об относительных положениях конкретных ценовых приращений, подсчитьшается лишь частота появления приращений той или иной величины. То есть, при характеристике временной последовательности приращений цен при помощи распределения их частот стирается" временная информация о последовательности появления событий. Информация, связанная с последовательностью появления событий во временном ряду также не может бьпъ обнаружена при использовании функции автокорреляции (двухточечной). Известно, что такая функция измеряет среднюю линейную



зависимость всего временного ряда, в то время как такая зависимость может проявляться только в отдельные интфвалы времени. Например, для очень больших временных интервалов, как мы демонстрируем ниже, эта особенность будет убираться глольной усредняющей процедурой.

DJIA

2800

2600

2400

2200

2000

1800

1600

1987.77 1987.79 1987.81 1987.83

Time (decimal years)

1987.85

Рис. 21. Определение просадки. Пример краха, который произошел 19 оетября 1987, показывает три просадки, соответствуюцие совокупным потерям от последнего (прошлого) максимума до следуюцего минимума цены. Самая большая просадка с полной потерей -30.7% состоял из четырех последовательных ежедневных снижений: 14 октября 1987 (1987.786 в десятичных годах), DJIA-индекс - упал на 3.8%; 15 октября рынок упал на 6.1%; 16 октября рынок просел на 10.4%. После уик-энда и падения в Черный понедельник 19 октября 1987 получается совокупная потеря или просадка на 30.7%. В терминах последовательных ежедневных потерь, это создает ряд 3.8%, 2.4%, 4.6% и 22.6% (обратите внимание, что возврацения не просто суммируются, так как они - ценовые изменения, нормализованные по цене, которая сама изменяется).

Нелинейная модель с нулевой корреляцией, но высокой предсказуемостью. Чтобы лучше понять, как измерять с помощью просадок едва различимые зависимости в последовательных вариациях цены, давайте сыграем в следующую игру, в которой приращение цены определяется правилом:

5p(t) = E(t) + £(t-l)£(t-2) (5)

где E(t) - процесс, назьшаемый "белым" шумом с нулевой модой и единичной дисперсией. Например, £(t) может бьтть равно либо +1 или -1 с вероятностью 1/2. Определение (5) означает, что сегодняшнее приращение цены контролируется тремя случайными бросками монеты - один бросок для "сегодня", один - для

"вчера" и один - для "позавчера". Очевидно, что положительный бросок монеты сегодня, а также два положительных броска вчера и позавчера означают движение цены вверх. Аналогично, отрицательный бросок сегодня, а также два различных броска вчфа и позавчфа, двигают цену вниз.

Легко провфить, что среднее E(6p(t)), а также двухточечная корреляция E(Sp(t),5p(t)) для 1фг равна нулю и, таким образом, dp(t) также является белым шумом. Интуитивно, такой вьшод возникает из того факта, что в эту характеристику временного ряда вводится нечетное число бросков монеты, чье среднее равняется нулю ((1/2) X (+1) + (1/2) X (-1) = 0). Однако, трёхточечная корреляционная функция E(Sp(t - 2) 8p(t - 1) ф(ф не равна нулю, но равна 1 и ожидание величины ф(4 требующее знания двух предыдущих приращений ф(if - 2) и фС - i) не равно нулю, а равно E(Sp(t) Sp(t -2), ф(Г -l))=6p(t - 2)Sp{t -1). Это означает, что возможно предсказать изменение цены сегодня с большей, чем 50% вероятностью, если знать изменение цены вчфа и позавчера!

В то время, как частота распределения приращений цен и двухточечная функция корреляции строятся для этой сфуктурной зависимости, распределение просадок показьгоает специфическую характфистику временного ряда. Для упрощения анализа и четкости понимания, давайте снова офаничимся случаем, когда £ (t) может принимать лишь два значения ±1. Тогда 5p(t) может принимать только фи значения О и ±2 и соответственно:

E(t-2),£(t-l),£(t)

5p(t)

+ + +

+ + -

+ - +

- + +

- + -

-- +

где левая колонка дает фи последовательных значения e(t-2), £(t -1), e(t), а правая колонка - соответствующее приращение цены С помощью этой четкой консфукции мы явно видим, что (t) - это белый шум. Таким образом, существует явная предсказуемость и распределение просадок офажает это: не существует просадок длительностью больших, чем два шага (интфвала) времени. В самом деле, самая худшая из тозможньк просадок соответствует следующей последовательности е: - + -. Это соответствует последовательности приращений цены +2, -2, -2, которая либо останавливается на +2, если последующее £ это +, или последовательностью нулей, прфванной появлением +2 при перюм е = +. В то время, как просадки процесса eft) мотут, в принципе, бьтть бесконечной длительности, просадки p(t) таковыми бьтть не мотут. Это показывает, что структура процесса dp(t) определяемого (5) имеет драматическую характеристику в распределении просадок в p(t). Этот факт иллюсфирует то, что просадки являются более адекватной и эластичной к масштабу времени,



характеристикой ценоюго движения, чем еженедельные или ежедневные приращения, или любые другие приращения на фжсированной временном масщтабе.

JtpocadKVL и выявление выбросов

Чтобы лучще продемонстрировать новую информащпо, содержащуюся в просадках и сравнить ее с приращениями на фиксированном временном масиггабе, рассмотрим гипогегическую ситуащпо краха на 30%, происходящего за три дня тремя последовательными падениями, каждое, в точности равное 10%. Таким образом, крах определяется как общее падение или просадка на 30%. Вместо того, чтобы рассматривать просадки, последуем общему подходу и исследуем ежедневные данные, в частности, распределение ежедневных приращений. 30% просадка теперь видится как три ежедневньж падения на ЮУо. Важно понимать, что в построении распределения ценовых приращений учитьшаегся лшиь количестю дней, в течение которых данное приращение было наблюдаемо. Таким образом, крах будет состоять из трёх дней с 10% снижением цен, опуская информацию о том, что три падения произошли последовательно! Чтобы увидеть к чему может привести потеря данной информации, рассмотрим рынок, на котором падение на 10% в течение одного дня, обычно, происходит раз в четыре года (это довольно правдоподобные цифры для индекса Nasdaq-композит в нынешние времена высокой волатильносги). Считая, что в году приблизительно 250 торговых дней, имеем 1000 рабочих дней и одно событие в течение этого периода. Таким образом, это соответствует вероятности такого исхода (дневного падения на 10%) 1/1000=0.001. Крах на 30% получается рассеченным на три собьпия, которые не столь примечательны (каждое с относительно коротким средним временем повторения равным четырем годам). Какова вероятность трех последовательных падений на 10% в течение дня согласно данному описанию? Простая теория вероятности говорит нам, что это будет вероятность одного дневного падения на 10%,умноженная на вероятность одного дневного падения на 10% и снова умноженная на вероятность одного дневного падения на 10%. Правило расчета вероятности сохраняется, если три события рассматривается как независимые. Эти расчеп>1 дакгт 0.001x0.001x0.001= 0.000,000,001=10". Это соответствует одному случаю на 1 миллиард торговых дней! Мы должны, таким образом, ждать приблизительно 4 миллиона лет, чтобы быть свидетелем такого события!

Что же пошло не так, как надо? Просто, взгляд на дневные приращения и их распределение разрушил информацию о том, что такие исходы могут быть коррелированны в определенные времена! Этот крах походит на мамонта, который был рассечен на части без сохранения сведений о связях между частями, и нам оставили то, что напоминает мьш1ей (такое небольшое преувеличение)! Наша оценка события из трёх последовательных потерь по 10% как невозможного, основывалась на неправильной гипотезе о том, что эти три события являются независимыми. Независимость между последовательными ценовыми приращениями - хорошо проверенный факт для большей части времени. Однако, может быть большие падения не являются независимыми. Другими словами, может быть, существуют "вспышки зависимости", или, гоюря по-другому, "отрезки

предсказуемости".

Очевидно, что просадки будут содержать точную информацию, относящуюся к идентификации юзможной юпьшжи местной зависимости, ведущей к необычайно большим совокупным потфям.

Ожудаемое распределение "нормальныnpocadot{

Перед тем, как вернуться к данным, мы должны спросить себя о том, что можно ожидать на основе гипотезы случайных блужданий. Если ценовые изменения независимы, положительные (+) и отрицательные (-) шаги следуют друг за другом подобно "орлам" и "решкам" рыночного броска монеты. Для симметричных распределений ценовых изменений, начинающихся с плюса, +, вероятность получить минус, -, равна 1/2. Вероятность получить два минуса в ряду -1/2x1/2=1/4; вероятность получить три минуса в ряду - 1/2 х 1/2 х 1/2 = 1/8, и так далее. Для каждого дополнительного отрицательного приращения мы видим, что вероятность делится надвое. Это определяет так называемое экспоненциальное распределение, описывающее тот факт, что увеличение длительности просадки на одну единицу времени делает ее вдвойне менее вероятной. Этот показательный закон также известен, как закон Пуассона и описывает процессы, не имеюцще

памяти: для последовательности +----, тот факт, что четыре минуса произошли

кряду, не изменяет вероятность для ноюго события, которая остается равной 1/2, и для плюса, и для минуса. Такой не имеющий памяти процесс может казаться протиюречащим интуиции (множестю людей предпочли бы ставить на решку после последовательности из десяти орлов, что часто именуется "ошибкой азартного игрока"), но он точно отражает то, что мы подразумеваем под полной случайностью: в справедливом броске монеты, может случиться так, что выпадут десять орлов кряду. Одиннадцатое событие по-прежнему имеет вероятность 1/2 того, что вьшадет орел. Отсутствие памяти в таких случайных процессах может бьпъ постулировано следующим образом: учитывая прошлое наблюдение из п последовательных минусов, вероятность для следующего минуса не изменяется от безусловного значения Ш, независимо от величины п. Любое отклонение от этого показательного распределения просадок будет сигнализировать о некоторой корреляции в процессе и, таким образом, о возможности предсказания будущих событий.

Поскольку, в случайной модели без памяти, существует больше половины просадок с продолжительностью большей, чем один временной период, то удобно визуализировать эмпирическое распределение этих просадок на рьшке акций в логарифмическом масштабе, где ожидаемое показательное распределение становится прямой линией. Это весьма эффекгавный метод проверить действительность гипотезы: отклонения от прямой линии будут сигнализировать некоторое отклонение от показательного распределения и, таким образом, от гипотезы об отсутствии памяти.

Свидетельства, представленные ниже, относительно наличия "выбросов" ю временном ряду ценовых приращений не полагаются на справедливость этого закона Пуассона. Фактически, мы уже идентифицировали небольшие отклонения от него в распределении просадок, что предполагает необходимость отхода от

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [ 9 ] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]