назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [ 7 ] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]


7

представляется формулой

т. =

B{t,t)

Где каждое B(i,t) представляет собой фактор, вьфаженный в терминах корреляционного коэффициента C(t,t) и, обычно, назьшаегся коэффициентом (i,t) инверсной корреляционной матрицы. Формула (1) выражает тот факт, что каждое прошлое изменение г,- влияет на будущее изменение г, пропорционально величине этого изменения и коэффициенту B(i,t)/B(t,t), который не равен нулю только, если существует ненулевая корреляция между моментами времени i и t С помощью формулы (1) мы получаем наилучший линейный прогноз, в том смысле, что мы можем минимизировать ошибку в предсказании (минимизация вариации). Принимая на вооружение эту линейную модель, можно получить мощную торговую стратегию: покупать, если iHt > О (ожидаемый рост будущих цен) и продавая, если т, < О (ожидаемое падение будущих цен).

Рассмотрим предельный случай, когда B(t,t) и B(t,t-I) не равны нулю и ожидаемое время между транзакциями приблизительно равно исследуемым интервалам корреляции, в нашем случае - 5 минут. Смысл состоит в том, что вы не xoTirre торговать слишком часто, в противном случае придется оплатить слишком значительные транзакционные издержки. Средняя доходность в пределах единичного временного интервала корреляции, которую вы можете получить, используя эту стратегию, при условии, что исполнение ордера осуществится именно в этом 5 минутном интервале, равна 0.03% (чтобы учесть ошибки предсказания, мы используем более консфвативную оценку, чем масштаб 0.04% на 1 минуту, использованный ранее). В течение дня это дает средний вьшгрьпи 0.59%, что в год составит 435% с реинвестированием или 150% без реинвестиций. Такая малая корреляция приводит к существенному доходу, если не учитывать транзакционные издержки и не существует эффекта проскальзывания (проскальзьшание возникает в результате того факта, что рьшочные ордера не всегда выполняются по цене, указанной в ордере, вследствие ограниченной ликвидности рьшков и времени, требуемого для исполнения ордера). Ясно, что даже малые транзакционные издержки, как в нашем случае, 0.03% или $3 на $10000 инвестиций, достаточны, чтобы разрушить ожидаемую прибыль при трейдинге в соответствии с применяемой стратегией. Проблема состоит в том, что вы не можете торговать редко для того, что бы снизить транзакционные затраты, потому что если вы это сделаете, то вы потеряете возможность прогноза на основе корреляции, работающую только внутри 5 минутного горизонта. Отсюда можно сделать следующий вьшод, что разностной корреляции недостаточно для того, чтобы стратегия, описанная выше, была прибыльной, вследствие несовершенства рьшочных условий. Другими словами, ликвидность и эффективность рьшка управляют уровнем корреляции, что сравнимо с отсутствием ближайших арбитражных возможностей.

Гипотеза эффективного рынка и теория случайных

блужданий

Подобного рода исследования проюдились в течение длительного периода времени. Основы современной теории финансов заложены в тезисах докторской диссертации Луи Башелье (Bachelier), представленной в Пфиже в 1900г. и его последующих работах особенно в работах 1906 и 1913г.г. [25]. Для описания наблюдаемого хаотического движения цен акций он предположил, что траектория цены идентична случайному блужданию.

Случайные бхрфтия

Концепция случайных блужданий проста, но богата сюими приложениями не только в финансах, но и в физике, и в описании естественных процессов. Бесспорно, это одна из наиболее важных фундаментальных концепций, как в современной физике, так и в современных финансах, как являющаяся основанием теории элементарных частиц, представляющих собой строительные блоки Вселенной, так и описывающая сложные процессы вокруг нас. В простейшей вы бросаете монету, в результате чего двигаетесь ввфх, если вьшал "орел" или вниз -если выпала "решка". Где вы окажетесь после множественного повторения таких подбрасываний? Ответ на поставленный вопрос многозначен: в среднем вы остаетесь в той же самой позиции, так как среднее от одного шага вверх и одного шага вниз эквивалентно отсутствию какого-либо движения. Однако, ясно, что существуют флуктуации вокруг этого нулевого среднего значения, которые увеличиваются с увеличением числа подбрасываний. На Рис. 19 представлена траектория синтетически случайной рьшочной цены, смоделированная компьютером, для определения конечного ценового сдвига в результате многократного изменения "цен". В данном случае, шаг или приращение имеет случайный "знак", а амплитуды приращений последовательных распределены согласно так назьшаемому закону распределения Гаусса, фафически изображаемого в виде хорошо известной колоколообразной кривой.

На глаз, очень сложно увидеть разницу между синтетической кривой и реальной кривой траектории цены, представленных, например, на Рис. 8 - Рис. 9, за исключением момента краха, ведущего к резкому падению цены или случая появления сильного рыночного тренда, как на Рис. И или Рис. 12. Это плохие новости с точки зрения инвестиционных задач: если изменения цены в действительности подобны случайному подбрасьшанию монеты, то по-видимому, неюзможно узнать какое направление цена будет имсть между сегодня и завтра, или между двумя любыми другими интфвалами времени.

Определение свойства масштабируемости случайных блуязданий. Для

количественной оценки того, насколько теория случайных блужданий может представлять модели динамики рьшочных цен акций, рассмотрим временные ряды приращений цен представленные на Рис. 13, Рис. 14 и Рис. 15 для трех различных временных масштабов (минута, день и месяц). Наиболее важное следствие прогноза на основе модели случайных



блужданий состоит в том, что квадрат флуктуации текущей позиции должен возрастать пропорционально времени. Это утверждение эквивалентно высказыванию о том, что амплитуда изменений цены пропорциональна корню квадратному от временного масштаба. Это означает, например, что если мы смотрим на изменения на четырехминутном временном масштабе, то амплитуда типичного приращения цены, по сравнению с минутным интервалом, будет удваиваться (а не возрастать в четыре раза). Этот очень тонкий и глубокий результат: так как частица, описываемая моделью случайного блуждания, имеет равную вероятность для положительных и отрицательньтх приращений цены, в среднем, ее позиция остается той же самой. Интуитивно понятно, что поскольку приращения аккумулируются случайно, то текущая позиция отклоняется от среднего значения и, чем больше период времени, тем больше отклонение от среднего значения.

! 1 1 1

400 600

Time

1000

Рис. 19. Синтетически случайная рыночная цена (или позиции случайного блуждания), полученная бросанием "компьютерной монеты" для определения направления изменения цены вверх или вниз. В этой модели шаг или интервал приращения имеет случайный знак и амплитуду, распределенную согласно, так называемому распределению Гаусса с 1% стандартным отклонением. Те же самые приращения использованы при построении Рис. 16: синтетическая траектория, построенная здесь, таким образом, есть не что иное, как нарастающая сумма приращений, представленных на Рис. 16.

Вместо движения с постоянной скоростью, когда значение текущей координаты увеличивается пропорционально времени, частица, движение которой описывается моделью случайного блуждания, совершает хаотические движения, в котором тршичная флуктуация её положения увеличивается медленнее, чем по линейному, во времени, закону, фактически, пропорционально корню квадратному от времени. Результат замедления

обусловлен множественными повторяющимися шагами вверх и вниз от текущего положения для всех анализируемьтх временных масштабов. Поскольку каждый шаг имеет случайный знак +/-, его квадрат всегда положителен и, следовательно, сумма квадратов последующих шагов возрастает пропорционально количеству шагов во фемени. Благодаря случайности знака на каждом шаге квадрат общего смещения равен сумме квадратов флуктуации на каждом шаге. Следовательно, можно сделать вывод о том, что квадрат амплитуды изменений цены в модели случайных блужданий возрастает пропорционально времени.

Посмотрим, следует ли такой прогноз из анализа данных. Осноюполагающая идея состоит в том, что приращения на дневном масштабе есть сумма приращений в каждую минуту этого дня. Соответственно, месячные приращения представляют собой сумму дневных приращений этого месяца. Так как динамика приращений основана на модели случайных блужданий, то ранее рассмотренный закон "квадратного корня" должен выполняться. Для подтверждения, рассмотрим Рис. 13, где типичная амплтттуда изменений на 1-мнутном временном масштабе составляет около 0.04% (причем, это справедливо для большинства значений). На Рис. 14, такие же визуальные оценки могут привести к типичной амплитуде флуктуации, равной около 1%. Теперь 1% разделим на 0.04% и получим значение 25, которое достаточно близко к корню квадратному равному 20.25 из числа минут торгового дня (обычно 410). Подобным образом, оценим из Рис. 15 типичную амплитуду изменений на месячном интервале равную около 5%. Отношение месячного значения равного 5% к дневному значению равному 1% эквивалентно 5, что совсем близко к корню квадратному из числа торговых дней в месяце, обычно это 20-24 дня. Теория случайных блужданий, таким образом, достаточно адекватно описьшает типичные изменения на рьшке акций во времени и на разных временных масштабах. Однако, она не дает обьяснения большим приращениям, не являющимися типичными, как эго можно увидеть на Рис. 14 и Рис. 15.

Концепция о том, что ценовые изменения фактически непредсказуемы бьша обоснована и расширена множестюм экономистов, в том числе и Нобелевским лауреатом, Полем Самуельсоном (Samuelson) [357, 358]. В двух словах, Башелье [25] и Самуельсон, а также фмии экономистов-последователей, пришли к вьшоду, что даже для наилучших инвесторов, в среднем, сложно установить факт их большей успешности на длительном интервале времени, по сравнению с той доходностью, которую демонстрируют рьшочные индексы, например, S&P500 или, даже больше, чем просто при фавнении со случайным выбором акций со фавнимой волатильностью. Из чего, по-видимому, следует, что относительные изменения цены (за исключением ожидаемых выплат дивидендов) практически Неотличимы от случайных чисел, основанных на компьютерном моделировании подбрасьшания монеты или рулетки. Предполагается, что эта случайность возникает вследствие активных действий многих инвесторов, ожидающих увеличения вложенных инвестиций. Эта толпа инвесторов активно анализирует всю информащпо относительно собственной позрщии и формирует инвестиционные



решения на этой основе. Как следствие, Башелье и Самуельсон утверждают, что какая-либо преимущественная информащм, которая может привести к получению прибыли быстро исчезнет из-за обратной связи, которую вызывают действия инвесторов. Их точка зрения состоит в том, что ценовые изменения во времени не являются независимыми от действий трейдеров, а наоборот являются результатом их действий. Если такие обратные действия возникают мгновенно, в идеальном мире идеального рьшка "без трения", с отсутствием затрат на торговлю, то цены должны отражать всю доступную информацию и невозможно извлечь прибыль на основе доступной всем торгоюй информации (поскольку прибыль уже учтена). Эта фундаментальная концепция, введенная Башелье, сегодня называется "гипотезой эффективного рьшка" и имеет как сторонников, так и противников: чем более активен и эффективен рьшок, тем более интеллектуальной и трудной становится работа инвесторов; как следствие более случайной становится последовательность изменения цен, порождаемая таким рьшком. Наиболее эффективный рьшок для всех - это тот, в котором ценовые изменения случайны и непредсказуемы.

Существует интересная аналогия с информацией закодированной в ДНК с помощью молекулярньк строительных блоков наших хромосом. Здесь закодирована наша генетическая информация с помощью определенной последовательности из четырех постоянных составляющих, располагающихся вдоль ДНК, подобно словам, использующим четырехбуквегшый алфавит. ДНК обычно организована в, так назьшаемые, кодирующие секции и некодирующие секции. Кодирующая секция содержит информацию о том, каким образом синтезируются протеины и как работает вся наша биологическая машина. Современный анализ упомянутых проблем можно найти в работах [444, 286, 14]. В то же время некодируюшле части ДНК, по-видимому, имеют крупномаснгтабные корреляции в отличие от кодирующих частей, которые обладают мелкомасштабной корреляцией или вообще отсутствием корреляции. Заметим интересный парадокс: наличие информации приводит к случайности, а недостаток информации ведет к регулярности. Причина этого в том, что кодирующая область может появляться случайно, так как все составляющие ДНК содержат полезную, следовательно, различную информацию. Если существует некоторая корреляция, то это будет означать возможность кодирования информации в меньшем количестве составляющих и кодирующая область, следовательно, не будет оптимальной. Наоборот, некодируюшце области содержат мало или никакой информации и могут, таким образом, бьпъ сильно коррелированными. В самом деле, не существует почти никакой информации в последовательности вида 1И1111..., но может бьггь много информации в последовательности 429976545782.... Этот парадокс, состоящий в том, что сообщение, имеющее информацию должно быть некоррелировано, в то время как сообщение, не имеющее информации, должно иметь высокую корреляцию, и лежит в основе теории случайных последовательностей. Точнее, случайные последовательности чисел или символов -это те последовательности, в которых содержится максимально возможная информация. Другими словами, невозможно определить более короткий алгоритм, содержащий ту же самую информацию [73]. Условием для этого является полное отсутствие корреляции последовательностей, так что каждый новый символ несет

новую информацию.

Интересно заострить внимание и рассмотреть более детально эту удивительную концепцию, которая на практике приводит к тому, что чем интеллектуальней и труднее работа инвесторов на рьшке, тем более случайны последовательности изменений цены, генерируемые таким рьшком. В частности, следует подчеркнуть фундаментальное различие между финансовым рьшком и окружающим нас миром. Последний открыт всем для исследования и наблюдения и ученые имеют возможность производить умозаключения, строить теории, которые совершенно независимы от действий исследователей. Напротив же в социальных и финансовых системах исследуемые процессы и исследователь создают, так называемые, обратные связи. Приводимая ниже притча является хорошей иллюстрацией этого.

Jtputrm. о том, щклтыучитывают информацию, разрушая тем самым, потенциальные "бесплатные обеды"

Предположим, что сегодня добрая половина всех инвесторов информирована о том, что цены завтра вьфастут от сегодняшней цены ро, естественно не гарантированно, а с некотх:р)й неопределенностью, которая характеризуется достаточно высокой вероятностью, например 75% (в этом случае все-таки остается 25% вероятность того, что цены завтра упадут). Вторая половина инвесторов осталась не информированной об этом факте и их, в этом случае, можно назвать "шумовыми трейдерами", как прекрасно описал Блэк (Black) [40], назьшая их индивидуалами, торгующими на основе той информации, которую они считают информативной и которая, в действительности, является "шумом". Эти "шумовые трейдеры" будут покупать и продавать безотносительно учета движений рынка, хотя они будут верить в то, что "информация", которой они обладают, имеет отношение к делу. Для "шумоюго трейдера" продажи могут быть вызваны потребностью в наличных или другими мотивами; важно, что мотивы абсолютно не связаны с возможным изменением рьшка. Мы промоделируем такое поведение подбрасьшанием монеты, обозначив часть "шумовых трейдеров", которые хотят продать, через J. Соответственно, часть "шумовых трейдеров", которая хочет купить может бьп-ь выражена через 1-у. Важно заметить что "шумовые трейдеры" являются нечувствительными, по определению, к текущей цене или к цене транзакции.

Напротив, информированные трейдеры хотят купить, потому что они рассматривают возможность получения прибыли с высокой степенью вероятности (в 3 случаях из 4). Для того чтобы купить, они вьшуждены делать предложение (бид) центральному агенту, "маркет-мейкеру". Роль мфкет-мейкера - свести все ордера на покупку и продажу и привести цену к такому уровню, при котором может бьпъ выполнено максимальное количестю транзакций. Такая ситуация формирует баланс между спросом и предложением.

Однако, информированные трейдеры, не будут покупать при любой цене, потому что они будут использовать имеющуюся у них специальную информацию для оценки возможной будущей прибыли. Если цена, при которой они хотели бы купить выше, чем та, которую они рассчитали, естественно, они не будут иметь желания покупать. Назовем величину <ф+> условно ожидаемой прибьшью (когда

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [ 7 ] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]