назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [ 55 ] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]


55

Согласно модели рационального ожидания, критическое время 4 не обязательно указывает на время краха, а лишь является наиболее вероятным моментом, когда этот крах может произойти.

Ои/тщ статштинескдй э\

прямърспрскдэаний

Статистическая достоверность \рулетки"крахов

Но давайте теперь проявим консератизм и будем считать, что два ложных предсказания на самом деле были неудачами. Каким образом мы можем оценить статистическую значимость предсказаний? Сформулируем проблему более четко. Для начала разделим время на месячные интервалы и узнаем, какова вероятность того, что крах произойдет в тот или иной Месячный промежуток времени. Пусть будет iV месячных интервалов. Последний Пфиод выборки, на основе которой мы делали анализ, длился с января 1996 года по декабрь 2000 года, что соответствует iV = 60 месяцев. За эти = 60 месяцев произошло Пс = Ъ краха, тогда как iV - = 57 месячных периодов без крахов. За этот пятилетний интервал времени, мы сделали г = 5 предсказаний и Л = 3 из них были успешными, аг-к = 1 - ложными. Какова вероятность того, что наш успех бьш случайным?

Этот вопрос имеет четкий математический ответ, и сводится к хорошо известной проблеме комбинаторики, ведущей к так называемой гипергеометрическому распределению.

Как объясняется в книге В. Феллфа (Feller) [131], эта проблема похожа на такую шру: среди имеющегося количества iV шаров Пс - фасные, а N-itc -чфные. Случайным образом выбирается фуппа из г числа шаров. Какова вероятность того, что выбранная таким образом фуппа будет включать имешю к фасных шаров?

Чтобы продвинуться в решаши этой задачи, нам надо определить количестю С(п,т), которое есть число офеделенных способов выбора т элементов феди п элементов, независимо от порядка выбора элементов т. Комбинаторный фактор С(п,т) имеет простое математическое выражение С(п, т)= п!/т!(п - т)! где т., под назвашем факториал т, офсделяегся как т! = ш X (т- 1) X (т-2) X ...X 3 X 2 X 1. С(п = 52, т= 13) = 635,013,559,600 дает, нафимер, число возможных вариантов сдач фи шре в бридж, а С(п = 52, ш = 5) = 2,598,960 - число возможных сдач фи игре в покф. Теперь мы можем использовать С(п,т), чтобы оценить вфоятность Рк. Если среди г выбранных шаров есть к фасных шаров, то г-к - это число чфных шаров. Таким образом, существует С(Пок) различных вариантов выбора фасных шаров и C(N-nc,r-k) вариантов выбора чфных шаров. Общее число вариантов выбора г шаров из числа N есть C(N,r). с51едовательно, вероятность Рк того, что фуппа из г шаров, выбранных таким образом, будет состоять точно из к фасных шаров есть фоизведение С(По к) х С(М-ПоГ-к) числа способов, соответствующих выбору точно к фасных шаров из г, делешюе на общее число C(N, г) возможных вариантов выбора г шаров (в данном случае мы просто используем, так называемое, "частотное" офсделение вероятности

(26)

определенного события как соотношения числа состояний, соответствующих данному событию, деленного на общее число собьттий):

р C(n.,k)xC(N-n,r-k) C(N,r)

Р/с является, так называемой, гипфйеомефической функцией. Чтобы оценить статистическую достовфность, Nlbi должны задаться несколько иным вопросом: какова вероятность Рк /того, что феди г шаров есть хотя бы it* фасных шаров? Очевидно, ответ получается путем суммирования Рк по всем юзможным значениям к, начиная с Л* и до максимального значения п: и г. В самом деле, число фасных шшюв не может бьпъ больше г и не может февьштать общее число Пс имеющихся шаров.

В нашем случае, количестю месячных интфвалов iV = 60, число Пс реальных фахов равно числу к вфпых федсказании Пс = к = 3, N-Пс = 57, общее число сделанных федсказании г = 5, а количестю ошибочных федсказании есть г-к = 2.

С(3 3)хС(57 2)

Так как Пс = к, Рк=з = Рыз = ----- = 0.03%: вероягаость того, что

С(60,5)

верные федсказания явились результатом случайного попадания составляет 0.03%, что соответствует очень сильной статистической значимости 99.97%. Отсюда, можно заключить, что даже фи наличии небольшого числа случаев, наши результаты имеют больш}то значимость.

Чтобы понять насколько чувствительна данная оценка удачных и неудачных федсказании, давайте федставим, что вместо к=Ъ фавильно федсказанных фахов, верными были только два из пяти сделанных федсказании. Это соответствует iV=60, Пс =3, N-iic =57, г =5, к =2, а. г-к = Ъ. Вероятность

случайности данных результатов составляет - Pi + Рз-С(3,3)хС(57,2)

С(3,2)хС(57,3)

С(60,5)

= 1.9% + 0.03%; вероятность того, что результаты были

С(60,5)

случайными все еще очень низкая и равна фиблизительно 2%, что соответствует

высокой статистической значимости 98%. Хоть и не столь впечатляюще, но два

верных предсказания против трех ошибочных также характфизуются высокой

степенью статистттческой значимости. Следовательно, можно сделать вьгеод о

надежности наших достижений.

Что произойдет, если в следующем году мы сделаем еще одно

федсказание, которое окажется невфным? В таком случае, достижения будут

иметь следующий вид: N = 2, Пс =3, N-tic =69, г =6, к =3, г-к =3. Вероятность

С(3,3)хС(69,3) „,

случайных результатов тогда Рк =-= 0.033%, что указьгеает на

С (72,6)

незначительное стшжение статистической значимости: фи верных предсказания и фи ошибочных за 72-месячныхй период остаются в высшей степени



неслучайными. Таким образом, мы доказьгоаем неслучайность наших результатов и высокую степень их значимости.

Необходимо подчеркнуть, что это контрастирует с мнением, чго три успеха и две неудачи или наоборот соответствует приблизительно вероетности один к двум, создающим впечатление, что мастерство предсказания ничем не отличается от угадьгоания краха при помоши подкидЬшания монеты. Подобное умозаключение бьшо бы очень наивным, поскольку оно не учитьгоает основной элемент метода прогнозирования, который заключается в определении (короткого) временного окна (один месяц), когда крах наиболее вероктен: главная сложность в составлении предсказания - это, на самом деле, вьщеление нескольких месяцев из шестидесяти, когда существует риск краха \

Статистическая значимость отделенного успешного предсказания с точки зрения теоремы Байеса

Рассмотрим наше предсказание разворота тренда японского индекса Nikkei в январе 1999 года в период антипузыря. Это единичный случай предсказания фазы антипузыря. В рамках стандартного "частотного" подхода к проблеме вероятности [224] и установлению статистической достоверности, оно не имеет никакого веса и должно рассматриваться лишь как фантазии. Однако, "частотный" подход не в состоянии оценить качество столь уникального эксперимента в области предсказания глобального финансового индикатора. Теория Байеса является в данном случае более подходящим фундаментом. Согласно этой теории, вероятность того, что гипотеза верна, может бьтть оценена, несмотря на то, что это исключается толкованием стандартной формулировки частотного подхода, в которой говорится, что можно просчитать лишь вероятность того, что нулевая гипотеза неверна, что, однако, не доказьгоает, что верной является альтернативная (предварительные разъяснения см. также в [279, 98]). Мы представляем простое применение теоремы Байеса для того, чтобы дать качественную оценку воздействия, которое имело наше предсказание [216].

Байесовский взгляд на качество предсказания при данном одном успешном предсказании: можно подойти к проблеме значимости отдельного успешного предсказания, используя фундаментальный результат теории вероятности, известной как теорема Байеса. Согласно этой теореме

P{H,\D) =

P{D\H,)xP{H,)

(27)

где сумма знаменателя охватывает все различные, конфликтующие гипотезы. Другими словами, уравнение (27) дает ощнку вероятности того, что гипотеза Н, является верной притом, что данные D пропорциональны вероятности Р(Ь\ Н,) данных, при условии, что гипотеза Hi перемножена с предыдущими суждениями P(Hj) в гипотезе Н/, разделенной на вероятность данных.

Рассмотрим наше предсказание разворота тренда по индексу Nikkei в январе

P(H,\D) =

0.95x10

0.95 • 10""+0.05 х(1-10~")

(28)

Для п- 1, мы видим, что последующее суждение в нашей модели увеличилось по сравнению с предыдущим на коэффициент ~7, соответствующий

Р(Н, Р(Н

0)70%. Для п=2, коэффициент увеличения ~16 и, следовательно, D)16%. Для больших значений п (очень скептический подход), мы видим, что последующее суждение в нашей модели было увеличено по сравнению с предыдущим на коэффициент 0.95/0.05 =19. В качестве альтернативы рассмотрим нейтральный подход в теории Байеса, где предыдущее суждение Р(Н/)=/2; то есть априори, оно указывает на то, что наша модель с равной вероятностью может быть как верной, так и ошибочной. В данном случае, предыдущее суждение превращается в последующее суждение равное

0.95

Р(Я, D) =

0.95-- + 0.05 2 2

= 95%.

(29)

Это означает, что этого единичного случая достаточно, чтобы убедитл нейтрально настроенного сторонника теории Байеса.

Необходимо подчеркнуть, что это специфичное применение теоремы Байеса относится лишь к небольшой части модели - предсказанию разворота тренда Она не устанавливает значимость количественного описания десятилетних данных при помоши предложенной модели в пределах относительного диапазона ошибки ~ ± 2%.

Диаграмма ошибок и процесс принятия решений

При оценке предсказаний и их влияния на принятие решений относительно инвестиций, необходимо взвешивать относительную стоимость ложных предсказаний по отношешю к выгоде, получаемой от верных предсказаний.

1999 года. В данном контексте, мы используем только две гипотезы Hi и Нъ что модель верна и что модель ошибочна. В качестве данных мы берем изменение медвежьего тренда на бычий. Теперь мы хотим оценить, насколько случайньш было наше предсказание. Мы оцениваем общую атмосферу неверия в восстановление экономики Японии значением P(D\H2)=5% вероятности того, что индекс Nikkei изменит тренд на фоне недоверия нашей модели. Мы оцениваем классический уровень достоверности P(D\Hi) =95% вероятности того, что индекс Nikkei изменит тренд на фоне доверия к нашей модели.

Давайте предположим, что согласно скептической теории Байеса, с предыдущими вероятностями (или суждениями) Р(Н,) =10", п>1, что наша модель верна. Из (27) мы получаем



Диаграмма Ньюмана-Пирсона (Neyman-Pearson), которая также назьгоаегся диаграммой качества решений, используется для оптимизации стратегии принятия решений при помогци лишь статистики, лежащей в основе критерия. Предполагается, что набор событий или функция плотности вероятности действительны как для верных сигнапов (крахов), так и для фонового шума (ложных предсказаний); В таком случае, подходящая статистика в основе критерия должна быть способна оптимально разграничивать их. Используя данную статистику (или дискриминирующую функцию), можно ввести разграничение, разделяющее область принятия гипотезы (с преобладанием верньж предсказаний) от области непринятия гипотезы (с преобладанием ложньтх предсказаний). Диаграмма Ньюмана-Пирсона выстраивает контаминацию (ошибочно классифицированные собьпня, то есть, расцененные как предсказания, на самом деле являющиеся ложными сигналами) против потерь (ошибочно классифицированные собьттия, то есть, расцененные как фон или неверные сигналы), как доли общей выборки. Идеальная тестовая статистика соответствует диаграмме, где "принятие предсказания" выстраивается как функция "принятия ложньтх сигналов", в которой принятие близко к 1 для реальных сигналов и близко к О для ложных сигналов. Возможны несколько стратегий: "либеральная" стратегия отдает предпочтение мтшимальным потерям (то есть высокая степень принятия сигнала, то есть почти полное отсутствие пропусков реальных собьттий, но много ложных предсказаний), "консервативная" стратегия отдает предпочтение минимальной контаминации (то есть высокая степень чистоты сигнала и почти полное отсутствие ложных сигналов при множестве возможных пропущенных реальных собьттий).

Молчан (Molchan) показал, что задача предсказания того или иного собьттия в непрерывное время может бьтть отображена по методике Ньюмана-Пирсона. Он ввел "диаграмму ошибок", которая выстраивает коэффициент непредсказания (число пропущенных собьттий, деленное на общее число собьттий за полный временной интервал) как функцию коэффициента тревожньк сигналов (общее время тревожных сигналов, деленное на общее время, другими словами доля времени, когда мы заявляем о приближении краха) [303, 304]. Наилучший предсказатель соответствует точке, близкой к началу диаграммы с почти полным отсутствием непредсказаний и небольшим промежутком времени, объявленным опасным: другими словами, эта идеальная стратегия не пропускает ни одного события и не дает ложных сигналов тревоги! Эти размьппления учат нас тому, что сделать предсказание эго одно, а использовать его это совсем другое. Это связано с проблемой оптимального управления [303,304].

Теория пртшятия решений предлагает полезный принцип решения данной проблемы. Пусть С; это неверное предсказание краха как не-краха, а Сг это неверное предсказание не-краха (спокойного времени) как краха. Предположим, что обусловленная историческими данными о прошлом X, наша модель дает вероятность 7t=Pr(Y=I\X) для юзникновения краха (F=l). Если крах происходит, средние затраты составляют Ci=cil-n), что выражает вероятность неверного предсказания. Если крах не происходит, средние затраты составляют C2=cin, что выражает вероятность того, что крах все же бьш нами предсказан. Сравнив эти две

величины затрат, становится ясно, что Ci>C2, если 7г<1/(1+(с/ сг)), а Ci<C2, если п>1/(1+(с/с2)). Таким образом, оптимальным предсказанием (с точки зрения минимизации общих ожидаемых затрат) является "крах" (F=l), когда Pr(Y=l\X)>l/(l+(c/c2)), и "отсутствие краха" (F=0), в обратном случае (см. также [345, стр. 19, 58]). Следовательно, если два возможных неверных предсказания одинаково дорого обходятся, с/с2=1, мы бы предсказали, что крах произойдет при Pr(Y=l\X)>0.5. Однако, если неверное предсказание краха в два раза дороже предсказания его отсутствия, с/а=2, оптимальным решением будет предсказание краха всякий раз, когда Pr(Y=l)>l/3. Применяя подобную теорию принятия решений, мы можем сравнить результаты использования модели с данными и дать оценку успешности в предсказаниях. Ключевьм моментом является то, что значение c/cz должно определяться независимо от данньтх и развития модели. Модель также должна предоставлять предсказания в вероятностных терминах. Таким образом, в данной области остается еще широкое поле для будущих исследований.

JtpaiqnxmcKQe воздействие ш различные торговые стратегии

Значительная часть профессиональных инвесторов и менеджеров и, в частности, менеджеров хеджевых фондов, используют разнообразные стратегии, чтобы улучшить качество своей работы. Очевидно, что два обширных класса стратегий, следование тренду и выбор времени для операций на рьшке, вьшфали бы от выявления предполагаемьк надвигающихся крахов.

Фаш (Fung) и Хсайя (Hsieh) [147] недавно разработали полезную и простую классификационную схему стратегий, которую мы приюдим здесь. Они учитьгоали так назьгоаемые стратегии долгосрочного инвестирования, выбора времени и следования тренду.

Инвесторы, выбираютцие определенное время для своих операций, как и те, кто следует тренду на рьшке, стремятся получить выгоду от движений цены. Грубо говоря, выбирающие время прогнозируют направлеппе движения цены на акцию, покупая, чтобы зафиксировать рост цен, и продавая, чтобы зафиксировать падение ценьт Следующие за трендом стремятся зафиксировать тенденцию на рьшке, то есть последовательные корреляции в изменениях цены, заставляющую цену упорно двигаться в одном направлении в течение определенного временного интервала (для положительных корреляций цены).

Вот простая модель подобных стратегий. Пусть р р„ит и />„,„ будут изначальной ценой акции, конечной ценой акции, максимальной и минимальной ценой соответственно, достигнутой за определенный интервал времени. Давайте рассмотрим стратегии, которые реализуют одну сделку в течение данного временного интервала.

Стратегия инвестирования "кушш-и-держи" состоит в покупке акции в начале по цене />,• и ее продаже в конце по цене рр зарабатьгоая при этом, или теряя Pf-pi. В данном примере, стратегия выбора времени для совершения операции заключается в попьттках зафиксировать движения цены между />,• и

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [ 55 ] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]