назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [ 53 ] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]


53

Выявление степенного закона Bite - tf действительно очень чувствительно к шуму и удаленности исследуемых данных от tc.

Этот факт хорошо известен экспериментаторам и многим ученым, рабагаюптим над критическими явлениями, и вложившим много сил в разработку надежных экспериментов, способных исследовать систему настолько близко к критической точке 4, насколько эго возможно, чтобы получить надежные значения tc и тг. Типичное эмпирическое правило заключается в том, что ошибка меньше 1 % в определении t может привесш к 0.1%-ой ошибке в определении критической экспоненты тг- Хотя ситуация улучшается после добавления логопериодического компонента, поскольку подгонка может фиксироваться на осцилляциях, на качественном уровне проблема остается той же. Нахождение за год до критического времени соответствует ситуации, когда исследователь критических явлений будет пьггаться получить надежные оценки для экспоненты тг и f„ отбрасьгоая последние 15% данных, которые, конечно же, самые важные - задача становится почти невыполнимой.

Так что мы предупреждаем читателя, что игра в предсказания может оказаться рискованной и дезориентирующей: в данном случае затрагивается серьезная проблема оптимизации, трующая обширного тестирования, как на истории, так и в реальное будущее. Более того, рассмотренные здесь формулы, всего лишь приближения первого порядка, тогда как уже разрабатьгеаются новые улучшенные методы, которые здесь не опубликованы. И, наконец, всегда нужно помнить, что существование краха, отчасга, остается на воле случая! Это согласуется с моделью рационального ожидания, описанной в главе 5.

Иерархия схем предсказания

JtpocmoU экдпонтцшшмый эакдн Концепция того, что крах связан с критической точкой, предполагает вьшолнение степенного закона

log[p(r)] = A + 5(r,-0

(17)

для цены или логарифма цены. Соответствие логарифму индекса S&P500 перед крахом в октябре 1987 года дает tc =87,65, fi =0,72, / = 107, А=327иВ = -79, при использовании данных за период с 1985,7 по 1987,65. Обратите внимание, что значение 4, полученное в результате, полностью зависит от значений последних данных, использованных в подгонке. Причина в том, что информация о 4, в основном в них и содержится или зависит от ускорения в последних точках данных. В противоположность этому, логопериодические структуры содержат информацию о 4 в своих колебаниях, которые развиваются значительно раньше 4.

Все попытки сделать предсказание, используя формулу (17) были неудачными, потому что практически невозможно отличить этот закон от некритического экспоненциального роста при зашумленных данных. Плавный рост, как (17) является, как хорошо известно, очень неудачным для определения времени

Предсказание пузырей, крахов и антипузырей

4 в зашумленных временных рядах. Именно поэтому наши усилия при проведении опытов были направлены на логопериодические формулы.

Линейная логопериодинесщя формула

Здесь мы еще раз приводим уравнение (15), которое ранее использовалось для составления соответствий ценам финансоюго временного ряда в терминах логарифма цены:

\og[p{t)\ = A + B{t-tY{\ + C cos[uJ log(f - О + 0]} (18)

Оказьгеасгся, что для временной шкалы в два года или меньше, амплитуда колебаний цены недостаточно велика для выявления значительной разницы между степенью согласия для различных соответствийp(t} и hg[p(t)].

Для практической реализации подгонки такой формулы к финансовым временным рядам, очень важно особо отметить, что А, В яС вюдятся линейно в уравнение, когда четыре переменных tcfi,C0H уже определены и зафиксированы. Лучше всего определить их аналитическим путем, при помощи так назьшаемого метода вычисления наименьших квадратов и вставления их в целевую функцию, чтобы вьгеести концентрированную целевую функцию, которая зависит только orf Д <у и .

Из-за шумоюй природы данных и того факта, что мы выполняем подгонку по четырем крайне нелинейным параметрам, следует, что существует несколько локальных минимумов. Наилучшей стратегией является вьшолнение перюго поиска по сетке данных, а затем оптимизация (например Левенберга-Маркарда (Levenberg-Marquanlt)) из всех локальных оптимизаций сетки. Наилучший результат, получающийся после схождения данных, принимается за глобальный оптимум.

Априорные ограничения накладываются на значения параметров, чтобы обеспечить их достоверность. Значение экспоненты fi должно находится в интервале от О до 1, чтобы цена увеличивалась и оставалась конечной. Более узкий диапазон 0,2< у?<0,8 представляется еще более предпочтительным, для того чтобы избежать осложнений, связанных с конечными точками интервала О и 1. Вспомним, что угловая логопфиодическая частота со офеделяет коэффициент масштабирования Л последовательных временных интфвалов между локальными максимумами Чфез следующее отношение: Х=". Опьтт, накопленный в различных офаслях, а также некоторые теоретические аргументы говорят о том, что коэффициент X должен, как фавило, находиться в диапазоне 2-3. На практике же, мы использовали офаничения 5<<о<15, что соответствует 1,5<у1<3,5. Очевидно, что 4 должно быть больше, чем последняя дата выборки данных, приводимых в соответствие. Для фазы нет значимых офаничений.

Нелинейная логопериодинесщя формула

Нелинейная логопериодическая формула используется в подгонке под самые длинные финансовые временные ряды, осуждавшиеся в главах 7 и 8 [397].



\og[p{t)] = A + B-

1 + Ccos

a>log(f,-f) + log

(19)

Использование того же метода наименьших квадратов, как и в линейной логопериодической формуле, позволяет отойти от линейных переменных А,ВяСя образовать целевую функцию, зависящую только от tc, fi, со я ср, как и раньше, а также от двух дополнительных параметров At и А. Поскольку А, представляет собой время перехода между двумя режимами, данный переход должен присутствовать в наборе данных, и поэтому мы устанавливаем для него временные рамки от 1года до 20 лет. Как и прежде, нелинейность целевой функции приводит к возникновению множественных локальных минимумов, а предварительный поиск по сетке данных используется для определения начальных точек оптимизации.

ЛТрансформацш Шенщ иерархии Щ)а1опер11апгта<;рго времени

Фундаментальная идея, стоящая за возникновением логопериодичности, заключается в существоватши иерархии характфистической шкальт Соответственно, любая логопфиодическая сфуктура подразумевает присутствие иерархии характеристической временной шкалы. Ифархия временной шкалы определяется положительным локальным максимумом такой функции, как log[p(t)]. Она получается из

log я

т ос ехр

Х = е"

tan"

jSlogA

(20)

(21)

(22)

Расстояние между последовательными значениями t„ приближается к нулю, поскольку п увеличивается, и t„ переходит в 4- Подобная ифархия шкалы tc -1„ не является универсальной и зависит от специфичности системьт Считается

унивфсальным соотношение

t.. -г..

= . Взяв фи, полученных подряд

значений парамефа t„, скажем, t„ t„+i, и 4+2 мы имеем

t,. =•

(23)

К этому равенству применимо так назьгоаемая фансформация Шенка

(Shank), чтобы ускорить конвфгенцию ряда. В случае точных геомсфических рядов, фех значений вполне достаточно для того, чтобы точно сойтись на асимптотическом значении 4- Обратите внимание, что это отношение является ршвариантом по отношению к произвольному временному сдвигу. Кроме того, следующее время 4+j предсказывается на основе пфвых фех значений при помощи

I - -

(24)

Слабое место данного метода заключается в идентификации характфцстического времени 4, которое может быть достаточно субъективным.

Пргшенение к краху в октябре 1929 года

Рассмафивая индекс Доу-Джонса неюоруженным взглядом, мы можем попытаться определить "характеристическое" время как последовательньге фунно сфуктурированные локальные максимумы, образующие геомефический ряд. Мы предполагаем, что ti =1926,3, tz =1928,2, а ts =1929,1. Подставив эти цифры в уравнение (23), мы получаем предсказание 4 = 1929,91. Этот прогноз не совпадает с реальной датой фаха меньше, чем на месяц. Несмофя на положительный результат, данный метод все же несколько нестабилен, так как изменение на один месяц или 0,1 в парамефах , tz, и t может отодвинуть прогнозируемую дату еще на месяц или более. Вот почему это может быть не более чем указание, к которому следует относиться с долей скептицизма. По фавнению с подгонкой полной математической формулой, этот метод фокусрфует внимание лтш1ь на специфичном времени и, вероятно, пропускает другую полезную информацию.

Применение к краху в октябре 1987 года

Рассмафивая индекс S&P500, мы определяем характфистическое время как последовательные фупно Сфуктурированные локальные максимумы, образующие геомефический ряд. При этом ti =1986,5, t2 =1987,2, а =1987,5 или 1987,55. Подставив эти данные в уравнение (23), мы получаем прогноз 4 =87,725 и 87,900 соответственно. Реальная дата фаха находится между этими значениями - 87,800.

Прямые предсказания

Как мы уже говорили ранее, только предсказания вперед представляют собой надежное тестирование, позволяющее избежать многих ловушек, статистической субъективности и подтасовки данных.

Мы намерены изложить здесь предсказания вперед, сделанные А. Йохансеном и автором этой кииги за последние несколько лет. В частности, мы проводили исследования нескольких основных индексов в реальном времени, в частности, непрерьгоно с 1996 года Мы также предприняли попьттки применить методологию, описанную вьш1е, чтобы предсказать фах, сильную коррекцию или даже депрессию (названную в 7 главе антипузьфсм). В данном контексте, слово



"предсказание" используется в своем прямом значении, поскольку будущее неизвестно в то время, когда делается прогноз. Термин предсказание "вперед" еще раз подчеркивает этот факт. Напротив, так называемые ретроспективные предсказания делаются путем искусственного отсекания части наиболее недавнего прошлого в зарегистрированном временном ряду, чтобы составить прогноз для этой отсеченной части прошлого. Подобные ретроспективные прогнозы, описанные в предыдущих разделах, очень полезны для провфки возможностей системы предсказания, позволяя проводить более бысфые и обширные тестирования, которые недоступны, если приходится долгое время ожидать подтвфждения или опровержения результата прогноза. Но все же, они никогда в полной мере не воссоздают ситуации реальной жизни в реальном времени, как это делают предсказания вперед.

Мы описьгеаем случаи, как успешных предсказаний, так и неудачных, чтобы федоставить читателю юзможность делать самостоятельные вьгеодьт Бьшо сделано фи успешных прогноза (фах на фондовом рьшке США в 1998 году, на японском фондоюм индексе Nikkei в 1999 году и на индексе Nasdaq в апреле 2000 года), а также два неудачных прогноза (фах на фондовом рьшке США в 1997 году и на индексе Nasdaq в октябре 1999 года) и один наполовину успешный прогноз (по фондовому рьшку США в октябре 1997 года).

Из всех успешных предсказаний, бьшо опубликовано и публично объявлено только одно, по индексу Nikkei в 1999 году. Два остальных (фондовый рьшок США, август 1998 года и Nasdaq афель 2000 года) были сделаны за месяц до того, как фахи на самом деле произошли, но не были опубликованы.

Полууспешное предсказатше относится к прогнозу фаха на фондоюм рынке США в октябре 1997 года, бьшо зарегисфировано официальным агентством за месяц. Как бьшо показано в главе 7, это федсказание может считаться полууспешным или полунеудачным, кому как больше нравится, поскольку что-то на рынке все-таки произошло, так как затронуло инвесторов и комментаторов рьшка. Основные рьшочные индексы упали на 7% за день, о чем свидетельствуют многочисленные отчеты по этому собьпию. Однако, его масштабы не достаточно большие, чтобы это собьттие можно бьшо бы рассмафивать как фах, поскольку рьшок быстро восстановил свои начальный уровень. Другие фзшпы также анализировали это собьпие [129] и предсказывали его при помощи похожего логопериодического анализа.

Успешное предскдзание воэникювения антипрыря для индекёа !Ni%ei в 1999

Следуя общим направлениям, описанным вьште (см. также [214]), 25 января 1999 года бьшо сделано публичное предсказание в виде фсфинта на Интернет-сервфе в Лос-Аламосе, см. http: xxx.lanl.gov/abs/cond-ma9901268. Данный препринт позднее бьш издан как [213]. В федсказании говорилось, что индекс Nikkei должен бьш восстановиться после своего 14-ти летнего минимума (13232,74 на 5 января 1999 года) и достичь отметки ~ 20,500 год спустя, что соответствует =50% роста индекса. Это предсказание упоминалось в популярном журнале по физике за май 1999 года [413].

В частности, бьша вьшедена следующая формула, основанная на оценке

фетьего порядка "Ландау" (Landau), обобщающем нелинейную логопериодическую формулу (19):

\og{p{t))A + -

,4«

(25)

5 +С cos

ftjlogT +-log

/ л

4а Л

1-1-

V ;

описьгеающей эволюцию во времени индекса Nikkei p(t), где т = t-tc, а 4 =31 декабря 1989 года, то есть время достижения индексом максимально рекордного уровня. Уравнение (25) бьшо фиведено в соответствие с индексом Nikkei за пфиод времени с начала 1990 года до конца 1998 года, что в общей сложности составляет 9 лет. Продлив фивую за отметку 1998 года, мы получили количественное предсказание будущего развития данного индекса. Оригинальный фафик, опубликованный в [213], и ставший основой для федсказания, федставлен на Рис. 115 в главе 7.

На Рис. 155 фавнивается реальная и прогнозируемая эволюция индекса на 1999 год и далее [216]. Индекс Nikkei не только испьттал разворот фонда, но и количественные изменения совпадают с данными предсказания с впечатляющей точностью. В частности, фогноз роста индекса на 50% подгвфдился полностью. Также абсолютно точно бьш федсказан еще один разворот тренда, появившийся в начале 2000 года, что также совпадает с прогнозрфуемым временем разворота. Предсказанный и фактически достигнутый максимум очень близки. Важно отметить, что ошибка между фиюй и реальными даттными не увеличилась после того, как последние данные за 1999 год были использованы в подгонке. Эго говорит о том, что федсказание хорошо вьшолнялось более, чем в течение года. Более того, поскольку относительная ошибка меящу соответствием и действительностью находилась в пределах ±2% в течение 10-ти лет, не только предсказание было успешным, но и модель, лежащая в его основе.

Вьшолнение этого предсказания еще более удивительно, чем фавнение между фивой и данными, потому что оно включает прогноз изменения фонда: в то время, когда бьшо опубликовано предсказание, рьшок падал и не подавал никаких физнаков возможного роста. Многие экономисты были настроены очень пессимистично и даже не могли себе представить, когда Япония и ее рынки начнут восстанавливаться. Нафимф, известный экономист П. Кругман (Р. Krugman) писал 14 июля 1998 года, во время банковского скандала:

"Основная проблема Японии в настоящий момент заключается в недостатке спроса - пофебители и корпорации делают слишком много сбережений и бфут слишком мало федитов... Захват этих банков и введение более ответственной системы управления, если к чему и приведет, так это к дальнейшему софащению расходов; и конечно, это не окажет на экономику

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [ 53 ] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]