назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [ 51 ] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]


51

как экономика, финансы, погода и климат. Это, вероятно, самая сложная, но в то же время и самая интересная и полезная задача. Две известные стратегии моделирования, а именно аналитические теории и прямые числовые вычисления, приводящие к огромным алгебраическим системам, не способны предоставить эффективное решение большинства конкретных проблем. Этап моделирования разрывов страдает от большого количества разнообразных погрешностей, включая неверное описание модели и неточное числовое представление математической модели, что особенно важно для прогнозирования редких экстремальных ситуаций [232].

Следующий пример, позаимствованный из области климатологии, хорошо иллюстрирует данный вопрос. Принимая во внимание все большее единогласие в вопросе глобально потепления, поучительно вспомнить, что в 1970-х годах ученые были обеспокоены похолоданием на земле, которое, по прогнозам того времени, могло закончиться новым ледниковым периодом, похожим на тот, что бьш зафиксирован в 1400-1800, а возможно, и более суровым [61, 368, 429, 155]! Теперь, когда проблема глобального потепления является общепризнанной, оглядываясь в прошлое, мы понимаем, насколько недальновидными бьши эти прогнозы. По сути, в настояцще дни ситуация мало в чем изменилась: оценки незначительных изменений в будущем или прогнозы по темпам экономического роста достаточно хороши, но предсказания сильных рецессии и крахов почти всегда крайне ненадежны. Например, полное единодушие относительно реальности и значимости проблемы глобального потепления основывается на ярко вьфаженной тенденции в течение всего двадцатого века, которая, в конце концов, позволила преодолеть уровень неопределенности. Мы подчеркиваем, что этот консенсус касается не предсказания разворота или смены режима. Другими словами, ученые способны распознать тендентщю, если находятся внутри ее: нам понадобились данные за 100 лет, чтобы извлечь из них четкий сигнал о присутствующей тенденции глобального потепления. В противоположность этому, доступная на сегодняшний день ученым технология не подходит для прогнозирования большинства изменений трендов.

В сфере экономики и финансов, ситуация, возможно, еще хуже, поскольку ожидания людей, их жадность и страх переплетаются, создавая неопределенность в будущем. На тему предсказаний, управляющий Федеральными Резервами США Алан Гринспен [177] сказал: "Узнавайте все, что можно узнать, собирайте все имеющиеся данные, перемалывайте все цифры, прежде чем сделать предсказание или финансовый прогноз. И даже тогда примите и поймите, что никто не может предсказать будущее, когда оно зависит от людей. Поведение людей не изменилось; люди непредсказуемы. Если вы ошиблись, исправьте свои ошибки и двигайтесь дальше". Нечеткость, возникающая в результате ожиданий и подсчетов будущего, заложенных в сиюминутных решениях инвесторов, может быть обозначена в еще одной известной цитате Гринспена, выступавшего перед

Банковским Комтггетом Сената 20 июня 1995 года: "Если то, что я говорю по этому поводу вам полностью понятно, значит я, вероятно, сделал ошибку".

Неточность предсказаний внутренне заключена в сложности задачи. Тем не менее, предсказания имеют определенную пользу. Наттример, прогнозы погоды далеко не всегда верны, но это все же лучше, чем полное неведение, поскольку, когда человек знает, чего можно ожидать в ближайшее время он предпринимает соответствующие меры. Предсказания можно сравнивать с наблюдениями и корректировать их, чтобы в будущем получать более точные результаты. Этот процесс называется ассимиляцией данных в прогноз. Таким образом, важно учитьгоать величину ошибки и оценивать степень неопределенности, связанной с тем или иным прогнозом: твердые значения в прогнозах обманчивы; только распределение вероятности несет в себе значимую информацию. Наводнение в Гранд Форкс, вызванное разливом северной части Красной реки, является хорошей иллюстратщей. Весной 1997 года, когда уровень воды в реке поднимался до своего рекордно высокого уровня, горожане и власти полагались на прогнозы ученых относительно максимального уровня воды. Прогнозируемые 49 футов внушили городу ложное чувство безопасности, поскольку прогноз бьш необоснованно четким. На самом деле, диапазон вероятностей бьш значительно больше; в конце концов, вода достшла уровня 54 фута, заставив 50,000 человек в спешке бросить свои дома. Если бы бьш рассмотрен полный спектр вероятностей и сценариев хода собьпий, возможно, бьши бы приняты контрмеры, и многим людям удалось бы сохранить свое имущество. В данном случае, важно то, что 49-ти футовый прогноз не бьш неправильным. Просто, к сожалению, отсутствовали возможные отклонения от наилучшего предположения. Вероятностный прогноз, допускающий хотя бы два исхода, бьш бы гораздо полезнее. Его можно бьшо бы выразить как "существует 50% вероятности того, что уровень воды в реке не превысит 49-ти футового порога и 90% вероятности, что максимальный уровень составит 52 фута". Обратите внимание, что в перюй части утверждения передается та же информация о наилучшем предположении (в общем смысле) относительно максимального уровня, тогда как вторая часть дает оценку степени неточности. В этом случае, в принципе, есть возможность взвесить стоимость мер, направленных на уменьшение риска, и отреагировать на любые приведенные отклонения от наилучшего предположения. Главное помнить о сосуществовании нескольких возможных сценариев (а не одного лучшего, или среднего) с определенной степенью вероятности.

То, насколько важно умение работать с несколькими сценариями, проиллюстрировано на Рис. 154, где представлена эволюция группы траекторий, подчиняющихся набору уравнений (теперь известному под названием системы Лоренца), предложенная метеорологом Лоренцом (Lorenz) [270] как пародия на атмосферную динамику.



5.00

4.50

4.00

3.50

3.00

2.50

2.00

1.50

1.00

0.50

Рис. 154. Эволюция функции плотности вероятностей, представленная в проекции для переменной v в полной системе уравнений Лоренца, обеспечивающих упрощенную модель атмосферной динамики. Переменная v изображена вдоль горизонтальной оси так, что центром симметрии является начальное условие. Время t изображено вдоль вертикальной оси. По ходу увеличения времени (вверх), изначально "контрастное" распределение в t=0 расширяется, но затем демонстрирует повторное появление контрастности (на t=0,4), увеличиваясь и заостряясь. Позднее, распределение разбивается на две ветви: переменная v либо значительно выше, либо ниже изначального значения, тогда как прогноз в среднем предсказывает значение посередине, чего на самом деле, почти никогда не происходит. Это иллюстрирует фундаментальные офаничения прогнозов, основанных на одном репрезентативном значении. Источник [388].

Отметим, что изучение данной системы 01сазалось инсфументом развития теории хаоса в 1970-ых и в 1980-ых годах. Вертикальная ось представляет собой ближайшее значение метеорологической переменной, скажем, скорости вефа v. Вертикальная ось есть время, которое в данном случае охватывает интервал от О до 5. Для каждого значения времени, фетье измерение, в перспективе, показывает

распределение вероятностей скорости вефа v: максимум начального колоколоподобного распределения относится к наилучшим начальным тфедположением относительно текущего состояния системьт Ширина колоколообразной фивой дает оценку начальной неточности наших наблюдений: мы делаем первоначальное измерение скорости вефа, и при этом мы знаем, чго любые измерения несут в себе определенную долю неточности, в данном случае, количественно определяемые при помощи вероятности того, что реальные условия отклоняются от натшучшей оценки, соответствующей вфшине. Чтобы создать это распределение, 4096 начальных условий, выбранных наугад, просчитываются согласно уравнениям движения Лоренца. Таким образом, каждое из этих 4096 условий определяет вероятностную фаекторию. В выбратшый момент времени вычисляется значение v для каждой из фаекторий, а обьединение 4096 значений дает статистику, согласно которой можно построить распределение v. На начальных стадиях распределение расширяется: обратите внимание, что амплитуда пиков уменьшается, а распределение становится шире. Это говорит о том, что через некоторое время, степень неточности значения v начинает увеличиваться и, следовательно, уфачивает прогностическую способность. До времени t=l,5, можно увидеть чередующееся ухудшение и улучшение характеристик прогаоза, поскольку функция распределения попеременно заосфяется и расширяется. Это первый, довольно неинтуитивный урок: в хаотической динамике присутствуют периоды уменьшения неточности [388]. Расширение горизонтов прогноза не всегда ведет к дефадации предсказания, что кошрастирует со стандартным мнением относительно хаотической динамики. После отметки времени t=l,5, функция распределения распадается на две отдельные ветви. При t=2,5 уже четко видно, что скорость вефа будет иметь либо сильные положительные, либо офицательные отклонения от первоначальной оценки, но оптимальный прогноз, составленный путем усреднения всех возможных фаекторий, близок к пфвоначальному. Это и есть фундаментальный недостаток подобной стандартной техники предсказания в нелинейной системе [388], что подчфкивает необходимость учета распределений или набора сценариев, в отличие от среднего, сводного или репрезентативного прогноза. Во время t=2,5 ни одна отдельно взятая фаектория не является надежным Офажением сложности динамики. Из-за сфуктуры динамики в данном примере, должны учитьгоаться хотя бы два основных сценария.

Помнить о том, что предсказания по сути своей связаны с сопутствующей им неточностью, еще более важно, если принимать во внимание комбинатдаю неточности наблюдений и ошибку модели. Ошибка модели относится к тому факту, что, в общем, мы не знаем точных уравнений динамики системы, которую хотим прогнозировать. У нас есть лишь приблизительное представление о ее сложности, а модели, используемые для прогнозирования, всего лишь часть общего процесса. Данная ошибка модели определенно накладывает резкие ограничеттия на то, что мы можем сказать в отнощении будущего системы. Работать с фуппой фаекторий для каждой модели, где модель является частью фуппы моделей - один из способов

3622



сократить эти фундаментальные офаничения [368].

Ниже дается описание того, как эти идеи могут бьггь применены к предсказаниям финансовых фахов. Различные модели относятся к различным реализациям теории фитических точек с логопфиодическим степенным законом. Дтя каждой модели будут сгенфированны отдельные сценарии, при помощи различных решений, полученных путем подбора соответствий.

Как разрабатывать и интерпретировать статистические тесты логопериодичности

Прежде чем рассмафивать проблему предсказаний, необходимо вфнуться к юпросу о возможной необьективности при подгонки финансовых временных рядов, представленных в главах 7 и 8. Выбирая временные окна на основе существования (1) изменения режима и ускорения роста рьшочных цен и (2) фаха или сильной коррекции в конце, мы, по чистой случайности, могли так сократить данные, что это, возможно, фивело к соответствию с логопериодическим степенным законом. Данный вопрос должен подниматься всякий раз, когда какому-либо показателю фисваиваегся статус индикатора с характеристиками федсказания. Для этого существует фундаментальное математическое обоснование: английский математик Ф. П. Рамси (F. Р. Ramsey) доказал, что абсолютная беспорядочность невозможна [173, 172]. Всякий большой набор данных, типа рядов фшансовых цен, или пунктов, или обьектов, обязательно содержит устойчиво регулфные характерисшки. Так, например, ночное небо заполнено созвездиями в виде фямых линий, четырехугольников и пятиугольников, имеющих наюдящие названия, которые бьши придуманы древними астрономами, такие как Лев, Овен, или Скорпион. Может ли быть так, что подобные геомефические формы происходят от неизведанных космических сил? В 1928 году, Рамси доказал, что подобные модели присущи любой сложной Сфуктуре. Звезд на небе достаточно, чтобы найти там любую фигуру или модель. Взяв достаточно длинный ряд цифр, вы сможете отыскать там любую систему, нафимф, ваш день рождения, или другое число, представляющее для вас интерес. На интуитивном уровне, можно офеделить, что довод лежатций в основе этой теоремы, заключается в том, что набор случайных данных не бьш бы случайным, если в нем нельзя бьшо бы обнфужить любую закономерность. Случайность в том и состоит, что может проявиться любая сфуктура

Соответственно, становится актуальным юпрос, сколько же понадобится звезд, чисел или фигур, чтобы гфантировать фисутсгвие желаемой системьт Другими словами, какова вероятность обнаружения необходимой подсфуктуры в конкретном наборе данных? Поиск ответа на этот вопрос и есть область статистики и ее экономического филожения, экономефии. Если можно доказать, что число звезд на небе, необходимое для получения какой-то определенной системы, немногим больше того, что можно наблюдать, возникает резонный юпрос, является ли фисутствие этой самой системы в данном наборе звезд не только юлей случая. Это и есть основы метода проверки статистической гипотезы, который выявляет так

назьшаемые "уровни статистической достовфности": если уровень достовфности того или иного явления, скажем, 99%, это означает, что вероятность его случайного фоисхождения ничтожно мала, то есть 1 из 100.

В данном контексте, мы, прежде всего, ссьшаемся на описатше компьютфного экспфимеша, фиведенного в разделе главы 7 под названием "Медленный обвал в 1962 году, положивший конец буму электроники", в ходе котфого пятьдесят 400-недельных временных интфвалов за пфиод с 1910 по 1996 год по индексу Доу-Джонса бьши выбраны случайным образом [209]. Этот экспфимент показывает, что фаектории, пфамефы которых соотносятся с тремя фахами в 1929, 1962 и 1987 годах, вероятнее всего бьши не случайными совпадениями. Федженбаум (Fegenbaum) и Фронд (Freund) также рассмафивали выбранные случайным образом временные окна на реальных данных и, в общем, не обнфужили фисутсгвия логопфиодичносги в этих окнах, за исключением тех пфиодов, когда крахи бьши уже неизбежны [128]. Позднее, Федженбаум изучал пфвую произюдную по логфифму индекса S&P500 за пфиод с 1980 по 1987 года и обнаружил, что нельзя офицагь наличие логопфиодического компонента с уровнем достовфности 95% [127]: проще гоюря, это означает, что вероятность случайного юзникновения логопфиодического компонента меньше, чем один к двадцати.

В целях дальнейшего тестирования надежности улучшенной гипотезы логопериодичности Иохансен, Ледуа (Ledoit) и я [209] проверяли, может ли нулевая гипотеза о том, что стандартная статистическая модель финансовых рьшков, назьгоаемая GARCH(1,1) с распределением шума Стьюдента, "обьястшть" наличие логопериодичносги. Из 1000 сгенффованных наборов данных продолжительностью по 400 недель, которые были сгенфированы и проанализированы, только два 400-недельных интервала бьши расценены как реальные фахи фи использовании GARCH(1,1) с распределением шума Стьюдента. Эти результаты соответствуют уровню достовфности 99.8%, что исключает вероятность того, что GARCH(1,1) с расфеделением шума Стьюдента намеренно сгенерировала логопфиодичность. Мы не рассмафиваем сам фах; наша задача всего лишь проверить может ли логопфиодичность такой силы, как перед фахами в 1929 и 1987 годах бьтть сгенерирована фи помощи одного из стандартных генераторов финансоюго временного ряда, активно используемого как теоретиками, так и практиками. Кроме того, необходимо добавить, что если бы даже два Пфиода со значительным присутствием логопфиодичносги, полученные фИ помощи симуляции с использованием GARCH(1,1) с распределением шума Стьюдента не закончтшись фахами, у нас все равно есть поюд еще раз убедиться в том, что поведение настоящих рынков фагически отличается от предсказанного одной из самых фундаментальных моделей финансоюй индусфии. В самом деле, частота фахов в симуляции Моше-Кфло бьша бы значительно ниже, чем частота фахов в реальной жизни и если один из наиболее часто используемых методов индусфии не способен воспроизвести отмеченную частоту фахов, то ученым есть над чем подумать и что обосновать. Для этого могут понадобиться новые концепции и методы.

Необходимо подчфкнуть, что наука не предоставляет фавдивых данных: единственное, что можно делать, это строить модели и опровергать их на

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [ 51 ] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]