назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [ 37 ] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]


37

данными), или ее квадратные корни (называемые феднеквадратическое значение). Соотношение двух вариаций, соотвегствуюшцх двум различным гипотезам принимается за уточненную статистику. Отношение вариации гипотезы постоянного роста к гипотезе степенного закона равно varexplvarpa„ ~1.1,чю говорит лишь о несколько лучшей аппроксимации данных степенным законом для описания ускорения, и при этом число свободных переменных остается таким же и равным 2.

85.5

86.5 87

Time (year)

Рис. 91. Эволюция индекса S&P500, как функция времени с июля 1985 года ло конец октября 1987 года (557 торговых дней). Знак + означает лоаоянное увеличение роаа приблизительно на 30% в год и дает i/a/fFe«p)Kl13 (описание см. в тексте). Наилучшим соответствием для степенного закона (14) является Ai*327, Bis79, tc« 87.65, mis«.7 и varp<wr=107. Наилучшим соответствием для выражения (15) является А2«412, Bi= -165, tc= 87.74, О 12, ая:7.4, Т=2.0, тгяЮ.ЗЗ и vanps36. Можно увидеть четыре ярко выраженных осцилляции, соответствующих выражению (15) пока эффекты конечного размера не начинают офаничивать теорешческую дивергенцию ускорения. В этой точке пузырь лопается и происходит фах. Все соответствия удовлетворительны на протяжении всего показанного периода времени до 87.6. Соответствие с (15) оказывается очень устойчивым по отношению к верхней фанице, которая может значительно меняться. Источник [401].

Однако невооруженным глазом можно заметить самую поразительную особенность этого ускорения - присутствие систематических отклонений колебательного типа. Воодушевленные пониманием, достигнутым в главе 5 и, особенно, в главе 6, мы видим, что осциллирующая непрфывная линия получена путем подгонки данных в следующем математическом выражении:

F,{t) = Л, +5,(/, -O"41 + Ccos(u)log((, (15)

Это равенство представляет собой простейший примф логопфиодической коррекции до чистого степенного закона для наблюдаемой переменной демонсфирующей сингулфность во время tc, когда обвал наиболее вероятен. В

данном случае, логопфиодичность берет свое начало из функции косинуса логарифма расстояния tr4 до фитического времени 4- Благодфя логопфиодичносги, эюлюция финансовых индексов становится вблизи фитической точки (дискретным) масштабным инвариантом.

Как показано в главе 6, логопфиодическая коррекция для масштабирования подразумевает существование ифархии характеристических временных интфвалов tc-t„, заданных выражением (11) с предпочтительным масштабным коэффициентом, обозначенным какg или Я. Мы вычислили, что для фаха в октябре 1987 года Я »1.5-1.7 (интересно, что это значение универсально и, как мы увидим, почти одинаково и для остальных фахов). Мы ожидаем, что будет происходить уменьшение показателя на фаткосрочных масштабах (напримф, несколько больших, чем и), а также на долгосрочных временных масштабах, что объясняется сущестюванием эффекта конечного размфа. Эти временные масштабы tn не универсальны и их значение зависит от специфики рьпжа. Что предполагается универсальным, так это

соотношение -biiL = X . Подробности процедуры подгонки взяты из [401].

Можно обобшцть простую формулу логопфиодического степенного закона, примененную на Рис. 91 при помошц математического подхода, называемого теорией бифуркаций, чтобы получить ее общую нелинейную коррекцию, которая позюлит количественно оценить изменения индексов Доу-Джонса и S&P500 за 8 лет, предшествующих октябрю 1987 года [397]. Результат этой теории, представленной в источнике [397], использовался я для получения ноюй подгонки к данным, показанной на Рис. 92. На рисунке ясно видно, что новая ффмула удивительно точно учитывает изменения рьшочной цены за 8-легний пфиод, по сравнению с чуть более, чем 2-летним пфиодом простой логопфиодической формулы, показанной на Рис. 91. Нелинейная теория, рафаботанная в [397], ведет к "логочасготной модуляции", эффекту, впфвые обнаруженному опытным путем в [128]. Удивительное качество соответствия полученных моделей данным, приведенное на Рис. 91 и Рис. 92, было оценено в [214].

В своем последнем повторном анализе, Дж. Фейгенбаум (Feigenbaum) [127] использовал новый метод изучения данных, взяв диффq)eнциaл логарифма изменения индекса S&P500 за период с 1980 по 1987 года. С рациональной точки зрения, учет вариации цены вместо самой цены объясняется тем, что флуктуации, шумы или девиации предполагаются в большей мере случайными, а, следовательно, и более безопасными, чем непосредственно цена, которая представляет собой кумулятивную величину. Путем тщательных проверок своей гипотезы, Фейгенбаум обнаружил, что гипотеза о наличии в данных логопфиодического компонента не может быть отвфгнута при уровне значимости 95%: другими словами, это означает, что вероятность случайного появления логопфиодического компонента ю временном ряду около или менее 0.05.

Д. Бейтс (Bates) [34] изучил фактические цены сделок с опционами на фьючерсные контракты на S&P500 за период с 1985 по 1987 год и обнаружил в данных до октября 1987 года признаки ожиданий приближающегося фаха рьшка. В основе уптх ожиданий лежит схема скачкообразного увеличения "сфахов", возможно связанного с доказательствами, там представленными.



Рис. 92. Временная зависимость логарифма индекса S&P500 за период с января 1980 года по сентябрь 1987 года и наилучшее соответствие улучшенной нелинейной логопериодической формуле, выведенной в [397] (прерывистая линия). Экспонента и логопериодическая угловая частота есть т2*0.33 и ш ~ 7.4. Крах 19 окгября 1987 года соответствует 1987.78 десятичным годам. Сплошная линия является подгонкой под (15) на субинтервале с июля 1985 года по конец 1987 года и представлена в полном временном интервале с 1980 года. Сопоставление с тонкой линией позволяет визуализировать смещение частоты, описанное нелинейной теорией. Источник [397].

Опционы на фьючерсы S&P500 представляют собой контракты, основанные на базовом индексе S&P500, и их цепа складывается из 3-х основньк переменных, (1) так называемая цена исполнения опциона, (2) временной интервал между настоящим моментом и сроком погащения опциона и (3) степень подразумеваемой волатильности базоюго индекса S&P500. Так называемые опционы "пут" (соответственно, "колл") тем значительнее растут в цене, чем меньше (соответственно, больше) ожидаемая будущая цена индекса в срок истечения опциона и чем больше прогнозируемая волатильность. Опционы "пут" являются прямым индикатором настроений трейдеров относительно риска общего понижения цен на рьшке, то есть, риска сильного падения, которое приведет к значительному увеличению ценности этих опционов. Соответственно, опционы "колл" являются прямым индикатором настроений трейдеров относительно риска общего роста цен на рьшке, то есть, риска сильного движения вверх, которое, в свою очередь, приведет к значительному увеличению ценности опционов "колл". Рис. 93 показьгоает, как правильно применять эту идею для того, чтобы оценить асимметрию между значительными рисками снижения и роста цен. Здесь показаны

отклонения в процентном соотношении (С-РУР между ценой опционов колл и пут (Бейтс назвал это "смещением цены опциона"). Кривая внизу графика, отмеченная как "опционы с паритетом (at-the-money)", количественно измфяет отклонения в процентном соотношении (С-РуР опционов пут и колл. Она приобретает большое значение, как только цена отклоняется от текущей цены (от так называемых, опционов с паритетом). Поскольку оптщоны с паритетом более всего чувствительнь! к изменениям цены около нуля, они не позюляют точно оценить возможный риск больших движений на рьшке. Кривая вверху назьгоается "4%-ные опционы без денег" и относится к опционам пут (соответственно, колл), которые приобретают ценность только, когда цена падает (соответственно, растет) как минимум на 4%.

-10%

-20%

4% 0% -4%

850102 850506 850906 851224 860415 860801 861118 870312 870630 871016

Date

Рис. 93. Олшонения в процентном соотношении (С - Р>Рцены опциона колл от цены опциона пут f смещение цены опциона") для опционов в паритете и 4%-ных опционов без денег за 1985-87 года. Олотонения в процентном соотношении (С-РуР являются критерием асимметрии между ожиданиями значительного роста и значительного падения индекса S&P500. Отклонения выше (ниже) нулевого уровня обозначают оптимизм (опасения) относительно бычьего рынка (с потенциальными фупными падениями). На вкладке показан почасовой парамеф (колл - пут)/пут за октябрь 1897 года до резкого обвала: как ни странно, рынок забыл о своих опасениях непосредственно перед обвалом. Источник [34].

Таким образом, оптщоны пут и колл измеряют ожидаемые размфы потенциального распределения цены. На Рис. 93 видно, что почти все время в течение 1985-87 годов, опционы колл были более дорогими, чем опционы пут, что говорит об оптимистическом видении рьшка и позитивном настрое его участников относительно рисков падения индекса. Однако, можно также наблюдать все более



сильные всплески опасений начиная с конца 1985 года, затем в ноябре 1986 года и, наконец, в августе 1987 года Эти всплески опасений означают весьма значительное завышение цены на опционы пут (негативные отклонения на Рис. 93), что свидетельствует о предчувствии риска возможного резкого падения рьшка. Обратите внимание на сокращение интервалов между всплесками опасений, напоминающее логопериодическое ускорение в сторону критической точки t (см. раздел под названием "Непараметрический критфий логопериодичности" далее, в этой главе и раздел под названием "Трансформации Шенка на иерфхии характфистических времен" в главе 9). Однако, в количественном отношении, софащение временных интфвалов между всплесками недостаточно быстрое, чтобы сойтись в одну точку к дате, близкой к обвалу, и промахивается мимо этой точки приблизительно на полтора года. Бейтс отметил, что его результаты полностью согласуются с моделью пузыря рациональных ожиданий (см. главу 5) со взрьшной дивергенцией от фундаментальных цен, которая подтверждается предсказуемым, внезапным падением. [34].

(Рыночные образы послешокдвого двюкршя

Если концепция фаха, как своего рода фитической точки имеет какую-то ценность, мы должны уметь устанавливать признаки кооперативности поведения, лежащей в их основе, и в послефизисный пфиод. Фактически, мы должны ожидать, по меньшей мере, качественную симмефию рьшочных паттфнов до и после физиса. Другими словами, мы должны суметь подтвфдить наличие, как фитической экспоненты, так и логопериодических колебаний соответствующих величин после физиса. Такой признак в волатильносги индекса S&P500, подразумеваемый из цены опционов на S&P500 (которые являются производными активами с ценой, являющейся функцией цены S&P500), на самом деле, можно увидеть на фафике на Рис. 94.

Тфмин "подразумеваемая волатильносгь" имеет следующее значение. Сначала, необходимо вспомнить, что опцион это финансовый инсфумент, являющийся ничем иным как своего рода страховкой, которую можно продавать или покупать на рьшке, с целью обезопасить себя в случае неблагоприятных колебаний цены. Цена опциона на S&P500, таким образом, является функцией волатильносги индекса S&P500. Чем неустойчивее и рисковатшее S&P500, тем дороже его опционы. Другими словами, рыночная цена опциона офажает стоимость вфиативности цены акции, определяемой рьшком с его законом спроса и предложения. На практике, очень сложно создать хорошую модель ценовой волатильносги или даже надежно её измфить. В таком случае, необходимо посмотреть на то, какие цены опциона сформтфовалась под влиянием рьшочных сил, а затем, определить подразумеваемую волатильносгь цены путем инвертирования формулы цены опциона Блэка (Black) и Шоулза (Scholes) [294]. В сущности, подразумеваемая волатильносгь цены является показателем степени риска, согласно оценке инвесторов.

На Рис. 94 представлена эволюция подразумеваемой волатильносги цены индекса S&P500 взятый из [84]. Степень риска, ожидаемого рьшком, доюльно низкая пфед обвалом, резко подскакивает во время фаха, а затем медленно спадает

в течение нескольких месяцев. Этот спад до "нормального уровня" ожидаемого риска сопоставим с медленным угасанием степенной зависимости, усложненной логопфиодическими колебаниями, к которым можно применить выражение (15), заменив 4 - (до физиса) на f - <с (после физиса).

88.0 88.2

Time (year)

Рис. 94. Эволюция лодразу1иевае1иой волатильносги индекса S&P500 за определенный промежуток времени (на логарифмической шкале) после фаха в октябре 1987 года [84]. Знак + обозначает экспоненциальный спад с var(Fexp}5. Наилучшее соответствие аепенному закону, представленного в качестве сплошной линии, дают Aie3.9, Bi*0.6, t~87.75, mi»-1.5 и varpowe12. Наилучшее соответствие с выражением (15) с заменой W на t-t дают A2is3.4, ВяО.9, tc=87.7, СгкО.З, ш=11, тг»-1.2, vanps7. Здесь можно наблквдать 6 ярко выраженных осцилляции вычисленных при помощи (15). Источник [401].

Наш анализ выражения (15) с заменой tc-t (до фаха) на - (после фаха) вновь дает расчет момента фитического фемени to который определяется с точностью в нескольких дней. Обратите внимание, что долгосрочная масштаб, охватывает годоюй пфиод, понадобившийся для снятия послефизисной волатильносги до уровня, сопоставимого с ее состоянием до физиса Это подразумевает наличие "эффекта памяти": участники рьшка остаются обеспокоенными на протяжении долгого времени после физиса, прогорев во время этого драматического собьпия.

Также стоит отмстить, что индекс S&P500, также как и другие фондовые рьшки по всему мтфу, оставался близким к послефизисному уровню довольно длительное время. Так, напримф, 29 февраля 1988 года мтфовой индекс находился на отметке 72.7 (по фавнению с 100 на 30 сентября 1987 года). Таким образом, ценоюй уровень, установленный октябрьским физисом, по-видимому, является обьективной оценкой среднего ценового уровня последующих месяцев (см. также Рис. 95).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [ 37 ] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]