назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [ 35 ] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]


35

Следование за трендам: пол{щительная нелинейная оЕратяая связь и щнечно-

временная сингулярность

Следование за трендом (в различных сложных формах) было (и, юзможно, все еще является) одной из основных стратегий, используемых, так назьгоаемыми, техническими аналитиками (см. в [6] обзор и ссылки). В своей самой простой форме следование за трендом равнозначно восприятию чистого размера приказа Q как пропорционального прошлой тенденции, то есть разности между логарифмом цены сегодня и логарифмом цены вчера Стратегии следования тенденции, таким образом, оказьюают положительную обратную связь на цены, поскольку рост (падение) предшествовавшей цены ведут к появлению приказов на покупку (продажу), таким образом, усиливая предшествовавшую тенденцию. Само по себе, это подразумевает, что разность в логарифме цены между завтра и сегодня пропорциональна логарифму цены между сегодня и вчера. Это простое отношение выражает существование постоянного темпа роста, ведущего к экспоненциальному росту логарифма цены. Это значит, что цена растет как экспонента экспоненциальной функции времени.

Данное линейное отношение между колебаниями прошлой цены и чистым размером приказа обычно выбирается создателями моделей. Здесь мы отступим от этого предположения и рассмотрим его более реалистично, предположив, что чистый размер приказа может расти быстрее, чем предшествовавшее изменение цены: то есть, они связаны нелинейными соотношениями. Действительно, малое изменение цены на интервале времени от t-1 до t не должно восприниматься как значительный и сильный рьшочный сигнал. Поскольку многие инвестиционные стратегии нелинейны, естественно будет рассмотреть средний размер трендследящего приказа, который ускоренно растет по мере того, как изменение цены увеличивает свою амплитуду. Обычно следующие тренду участники рьшка увеличивают размер своих приказов быстрее, чем просто пропорционально прошлой тенденции. Это напоминает нам о доводах в пользу того [6], что психология трейдеров чувствительна к смене тренда ("ускорение" или "замедление"), а не просто к тренду ("скорости"). Тот факт, что трендследяпще стратегии имеют влияние на цену, пропорциональное изменению цены в течение предшествовавшего периода, возведенному в некоторую степень т>1, означает, что стратегии, следующее тенденции нелинейны, если взять их в среднем: они склонны слишком слабо реагировать на малые изменения цены и слшиком сильно реагировать на крупные. Обратите внимание, что значение т.=1 восстанавливает лшейный случай. Рис. 85 объясняет концепцию нелинейной реакции.

Когда сумма трендследящих поведений выражается в нелинейной форме, так что чистый размер приказа £2 пропорционален степени разности между логарифмом цены сегодня и логарифмом цены вчера с показателем степени больше 1, то согласно тому же рассужцению, что и в подразделе, озаглавленном "Интуитивное объяснение создания конечно-временной сишулярности при t" в главе 5, цена демонстрирует сингулярность конечного времени. Данный эффект является просто перефразировкой явления, уже описанного моделью, управляемой ценой, обсуждавшейся в той главе.

0.5 1

Observed Price - Fundamental Price

Рис. 85. Мы проиллюсфируем различную реакцию системы (чистый размер приказа показан по оручинате) в зависимости от стимула (расстояния тищ/ рыночной ценой и фундаментальной ценой, показанной по а6(щиссе) для различных нелинейных зависимостей, количественно измеряемых параметром гг. реакция=стимул. Для п=1 реакция пропорциональна стимулу, как показано прямой непрерывной линией: это линейное описание. Для n>t, например, гЫ, реакция очень мала на малые стимулы, но начинает быстро расти, когда стимул вырастает выше некоторого характерного значения, здесь нормированного к 1, как показано кривой непрерывной линией. Это случай, обсуждаемый здесь. Линия "точка-тире" соответствует более сильной нелинейности с показателем степени 110, демонсфирующим еще более сильную, почти пороговую природу реакции системы. Тонкая пунктирная линия иллюсфирует противоположную нелинейную ситуацию с параметром п<1, для которого реакция быстро усиливается для малых стимулов, но нейтрализуется при больших стимулах.

(Возврат 1{фундалшт1альной апоиллости: отрицательная нелинейная

обратная связь

Фундаментальная торговля ценными бумагами основывается на оценке финансовой стоимости компании, основанной на объективных экономических и бухгалтерских критериях, таких как активы, доходность, потенциал роста Фундаментальный аналитик, таким образом, устанавливает сюю оценку "правильной" фундаментальной стоимости данной фирмы и затем сравнивает ее с ценой, зарегистрированной на фондоюм рьшке. Если последняя ниже, чем фундаментальная цена, это возможность купить, поскольку аналитик ожидает, что фондовый рьшок вскоре осознает, что акция недооценена по сравнению с ее реальной стоимостью. Вытекающая отсюда волна предпочтительных приказов на покупку поведет цену вверх до тех пор, пока не будет достигнута фундаментальная стоимость. В данных обстоятельствах решение купить основывается на уверенности, что вы



одним из пфвых поняли, чго цена соответствующей акции занижена. Если же рьшочная цена больше, чем основная стоимость, должно случиться обратное.

Однако, на практике существуют значительные трудности в получении точной оценки основной стоимости, поскольку не ясно, как оценивать некоторые важные нематериальные активы компании, такие как качество ее менеджеров, положение на рьшке, и так далее. Помимо этого, предсказание будущих доходов и их роста - по меньшей мере, не точная наука. Это имеет очень важное следствие, которое мы сейчас обсудим.

Важной чертой нашей модели является нелинейная зависимость чистого размера приказа Q как функции разности логарифма цены и логарифма фундаментальной стоимости. Нелинейность позволяет нам получить следующий результат. В принципе, как мы сказали вьппе, фундаментальная стоимость ро определяется дисконтированными ожидаемыми будущими дивидендами и, таким образом, зависит от прогноза их темпов роста и безрисковой ставки процента. При этом обе переменные очень сложно предсказать. Фундаментальную стоимость, таким образом, очень сложно количественно определить с высокой точностью, и она часто оценивается со значительной погрешностью [282, 85, 260, 69]: все методы, определяющие внутреннюю ценность, основьшаются на предположениях, которые могут оказаться очень далекими от реальности. Например, несколько научных исследований оспаривали посьш, что портфель устойчивьи, дешево купленных акций по прошествии времени превзойдет портфель, собранный любым другим способом (смотри, напримф, [256]). Как следствие, трейдф, пытающийся отслеживать фундаментальную стоимость, не имеет стимула реагировать, когда чувствует, что отклонение мало, поскольку это отклонение находится более-менее в пределах погрешности подсчетов. Только когда отклонение цены от основной стоимости становится относительно большим, трейдер начнет действовать. Сильная нелинейная зависимость чистого размфа приказа Q как пропорционального амплитуде разности логарифма цены и логфифма фундаментальной стоимости, возведенного в степень л, большую, чем 1, точно обьясняет данный результат, как показано на Рис. 85: для показателя степени п больше 1. А" остается малой для Л<1 и быстро взлетает только тогда, когда она становится больше 1, приближаясь к пороговому поведению типа "все или ничего".

Такая нелинейная чувствительность является не просто теоретическим построением; она бьша недавно продемонсфирована в контексте чувствительности денежного спроса к ставке процента. Исследовав примерно 2700 домашних хозяйств, Муллиган (Mulligan) и Сала-И-Мартин (Sala-1-Martin) [311] установили, что эластичность спроса на деньги к процентной ставке (чувствительность логарифмической производной денежного спроса к процентной ставке) очень мала при низких ставках процента. Это происходит оттого, что малое количество людей решает инвестировать в дающие проценты активы, когда ставки низки, в связи с "закупочными" издфжками. Напротив, при больших процентньк ставках или для тех, кто владеет значительным банковским счетом, эластичность денежного спроса к проценту является значимой. Это четкий примф порогоюго поведения, характфизуемого очень нелинейной реакцией. Это может бьпъ вьфажено как e=dbtM/dlnr=(r/ri, где т>1, так что эластичность е денежного спроса М не

Рис. 86. Временная зависимость логарифма цены, нормированная фундамекгальной ценой, получающейся от взаимодействия между возвратной "силой", созданной фундаментально-аоимостным инвестированием и "инерцией", возникающей из-за того, что решение инвестировать с сегодня до завтра основывается на информации от вчера до сегодня. Показаны четыре различных значения показателя степени п=1, 3,5,\л15. По сравнению с

линейным случаем г\=1, когда решение является чистым синусом y("=)(r)=-sin(Vr6?)>

увеличение нелинейного показателя степени п имеет фи следствия: (1) уменьшение амплитуды, (2) увеличение частоты и (3) появление пилообразного профиля со все более острыми углами по мере увеличения п. Источник [205].

принимается в расчет, когда процент г незначительно больше, чем уровень инфляции П,ф, и в противном случае становится большим.

Из того факта, что низкая (высокая) цена направляется ввфх (вниз) к фундаментальной цене, мы врвдим, что класс инвестиционных сфатегий, основанных на фундаментальной оценке, ведет к развороту ценьт Эта возвращающая сила может быть линейной, то есть такой, когда соответствующий чистый размф приказа П пропорционален разности метсду логфифмом цены и логарифмом фундаментальной стоимости. В случае п=1, поскольку разность логфифма цены между завфа и сегодня прямо пропорциональна чистому размфу приказа Д это подразумевает, что разность логфифма цены между завтра и сегодня пропорциональна разности логарифма цены сегодня и логфифма фундаментальной стоимости. Эти взаимоотношения являются точным аналогом уравнения осциллятора, такого как маятник: начиная с позиции, удаленной от своего состояния неподвижного равновесия, он совфшает бесконечные (в предположении, что нет затухатшя, обусловленного потфями энфгии) колебания вофуг этой точки равновесия, как показано толстой линией на Рис 86.



Сходным образом, цена бесконечно колеблется вокруг фундаментальной стоимости. Причиной осцилляции является то, что у возвращающей силы есть инерция, в силу чего сила не исчезает достаточно быстро, что и ведет к перегулированию. Это перерегулирование иногда запускает ценовую динамику в противоположном направлении, которая сама отклоняется от своего фундаментального значения и так далее. Когда фундаментальный возвратный член нелинеен, осцилляции сохраняются, но меняют форму. Их основное свойство состоит в том, что их частота (обратная их периоду, являющемуся временным интервалом между двумя последовательными максимумами) становится зависимой от амплитуды отклонения рьшочной цены от фундаментальной стоимости. Данное свойство очень важно, поскольку если существуют любые другие результаты или помехи, которые имеют тенденцию видоизменять эту амплитуду, частота будет соответственно изменена. Такая нелинейная зависимость частоты от амплитуды создает механизм для ускорения частот, когда амплитуда быстро растет.

а=1 у=10 т = 1.3 п = 3 D{0) = 1

>: о

-100

-200

-300

Рис. 87. Решение динамического уравнения, включающего в себя "инерцию", нелинейное следование тренду и нелинейное фундаментальностоимостное инвестирование для параметров т=1,3; п=3. Огибающая "сниженной цены" yi(t) раает быстрее, чем экспоненциально, и примерно как (fc-f>4 где t~4. Офицательное значение цены yi проао значит, что измеряемая цена ниже фундаментальной аоимости. Это следует из определения сниженной цены как логарифма соотношения между измеряемой ценой и фундаментальной аоимоспэю. Источник POSJ.

Рис. 88. Те же данные, что и на Рис. 87. Модуль yi (t)\ "сниженной цены" показан как функция И где tc=4 в двойных логарифмических координатах, таких что линейная огибающая показывает дивергенцию аепенной зависимости (W/-*. Наклон лункшрной линии равен -1,5. Также обратите внимание, что осцилляции примерно равноотстоят по переменной /n(WJl что напоминает логопериодическое поведение ускоряющихся осцилляции при приближении к сингулярности. Источник [205].

Рис. 87 показывает эволюцию во времени логарифма рьшочной цены, нормированную основной стоимостью, которую мы назьшаем "сниженной ценой" для выбора (т=1,3; п=3) показателей степени, управляющих, соответственно,

Некоторые щтр1еристищ1 ценовой динамики нелинейной Ъинамическдй

модели

Давайте теперь сложим все компоненты модели вместе:

• "инерция", появляющаяся вследствие того, что решение инвестировать сегодня принесет свои плоды в будущем, в то время как оно само основывается на анализе прошлого

• нелинейная тенденция, следование которой вместе с "инерцией" приводит к возникновению конечно-временной сингулярности в амплитуде отклонения между рьшочной ценой и фундаментальной ценой;

• нелинейная фундаментальная стоимость, инвестирование которой, совместно с "инерцией", порождает нелинейные осцилляции, зависящие от амплитуды отклонения между рыночной ценой и фундаментальной ценой.

а=1 у=10 т = 1.3 п = 3 Р{0) = Т

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [ 35 ] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]