назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [ 34 ] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]


34

избирательного использования натуральных чисел. Страницы, содержащие логарифмы малых чисел 1 и 2 были более запятнанными и изношенными, чем содержащие логарифмы больших чисел 8 и 9. Бенфорд собрал более 20 ООО первых значащих цифр, взятых из очень разньк источников, включая площади рек, численность населения, физические постоянные, газеты, адреса, молекулярные веса, уровень смертности и т.п., и показал, что частота р(п), с которой появляется цифра п, задается следующей формулой:

p(«) = log,n длял=1, ...,9 (10)

Это дает следующие значения частот для разных и: р(1)=0,301; р(2)=0,176; р(3)=0,125; р(4)=0,0969; р(5)=0,0792; р(6)=0,0669; р(7)=0,0580; р(8)=0,0512; р(9)=0,0458. Число 1, таким образом, появляется в первой позиции более, чем в 6 раз чаще, чем число 9! Данные частоты р(п) означают, что из 100 чисел, взятьж произвольно из репрезентативной фуппы чисел, примерно 30 должны начинаться с цифры 1, около 18 должны начинаться с цифры 2, около 12 должны начинаться с цифры 3, около 10 - с цифры 4, около 8 - с цифры 5, около 7 - с цифры 6, около 6 -с цифры 7, около 5 - с цифры 8, и около 4 - с цифры 9.

Для объяснения данного закона Бенфорд построил "бегущую" частоту Fn(R ) первых цифр п=1 до 9 для натуральных чисел от i до Л. Говоря другими словами, например, Fi(R)=Ni(R)/R является отношением числа ЩК) появлений натуральных чисел между 1 и Л с первой цифрой 1, к общему числу Л. Таким образом, мы имеем: 1. R=19, N,=11 и F=l 1/19=0,5789, в то время как для R=99, N,=11 и F,=l 1/99=1/9=0,1111,

R=199, N,=111 и F=l 11/199=0,5578, в то время как для R=999, N,=111 и Р,=111/999=1/9=0,1111,

R=l,999; N,=1,111 и F=l,l 11/1,999=0,5557, в то время как для R=9,999; N,=1,111 и F,=l,l 11/9,999=1/9=0,1111; и так далее. Таким образом, мы видим, что Fi(R) монотонно растет от 1/9=0,1111 при R=l(f-1 до =0,5555 при 2*l(f-l. Тогда Fi(R) монотонно спадает с максимума вниз до 1/9=0,1111, достигнутого вновь при R=l(f*-1. Обратите внимание, чго Fi(R) всегда больше чем или равно 1/9. Таким образом, понятно, что Fi(R) не имеет предела, так как Л стремится к бесконечности, по бесконечно осциллирует как логопериодическая функция R, для большого R с логарифмическим периодом logiolO, то есть предпочтительным коэффициентом масштабирования равным 10 (см. рис.4 в [38]). Этот результат, конечно, обобщается до произвольных систем счета, скажем, с основанием Ь. Тогда коэффициентом масштабирования, контролирующим логопериодичность, является Ь. Логопериодичность просто выражает иерархическое правило системы счисления. И таким образом, логопериодичность лежит в основании нашей арифметической системы!

Обобщшие и статистический механизм закона Ньюкомба-Бенфорда.

Сходный анализ можно провести для каждой из цифр. Давайте рассмотрим здесь п=9 и ее частоту Fg(R):

l.R=89, N9=1 и F9=l/89=0,0112; в го время как для R=99, N,=11 и

Рс,=11/99=1/9=0,1111

2.R=899, N9=11 и р9=11/899=0,0122; в то время как для R=999, N,=111 и р9=111/999=1/9=0,1111

3.R=8999, N9=111 и р9=111/8999=0,0123; в то время как для R=9999 N,=1111 и Р9=1111/9999=1/9=0,1111

и так далее. Мы, таким образом, видим, что Fii(R) монотонно убьгоает от 1/9=0,1111 при R=l(f-1 до =0,01234 при 1(Г-1.

Тогда Fii(R) монотонно увеличивается с минимума вверх до 1 /9=0,1111, вновь досшгнутого при R= 10-1. Таким образом, ясно, что Fg(R) снова стремится к (другой) логопериодической функции R, для большого R, снова с логарифмическим пфиодом logiolO, то есть, предпочтительным коэффициентом масштабирования 10. Обратите внимание, что в отличие от Fi(R), Fg(R) всегда меньше или равно 1/9.

Уфеднение этих частот F,j(R) на логарифмическом периоде (то есть при множителе 10) может, как бьшо показано в [38], привести к закону Ньюкомба-Бенфорда (10). Это обеспечивает один возможный механизм. Оказывается, что существуют и другие механизмы, и что в более глубоком смысле закон Ньюкомба-Бенфорда может считаться единственным законом, который инвариантен относительно изменения масштаба, то есть произвольного умножения всех чисел па общий множитель. Хилл (Hill) установил в 1995 году [194], что вероятностной мфой множества всех интервалов [l,t) х Iff для всех целочисленных п является log2(, для любого t в [1, 10). Тогда нефудно заметить, что закон Бенфорда является следствием этой теоремы, поскольку вфоятностъ получения заданной первой цифры d соответствует разности logjd[d+l)-logi(4 вероятностной мфы, дающей вьфажение (10). Обратите внимание, что это не дает механизма для закона Бенфорда, по скорее относит его к принципу симмефии.

В [196] Хилл дает статистический механгом: если распределйшя выбираются произвольно и произвольные выборки затем бфутся из каждого из распределений, то значащие цифры комбинировантюго набора будут сфемиться к логарифмическому распределению Бенфорда

3(Щн логопериодттапи эволюции жузни?

Основная концепция эволюции была представлена Дарвшюм (Darwin) и Уоллесом (Wallace) в работе, представленной публике в 1858 году в Липнеевском Обществе в Лондоне и озаглавленной "Происхождение видов путем естествешого отбора". Согласно этой, сейчас хорошо утвфдившейся теории, новые биологические виды создаются путем прямой мутации и отбора из существующих видов. Сложность вселенной растений и животных, в часгаости, можно увидеть как префаспое "древо жизни", которое показано на Рис. 84, чьи ответвления или сфуктура бифуркаций офажают последовательности прыжков между видами в истории жизни. Эволюционный взгляд па биологические виды позволяет нам посфоить систематику, представлетшую этим "древом жизни", организованном от ствола до мельчайтпих листьев, от сверхцарств (Архейское, Бактерии, Эукариоты,



+1 о о

2 "

о I

-145-

-150-

-161 •

-184--230

-157 -168--183 -203-

чэ 00

+1 "-н

4-1 •

-6 -11 -18 -26 -36 -50 -67--90--120

-0.3-

°

+ с"

+1 "1

5 " ii

vi 1

-62-

-71 -

-95-

-190-

-330-

-570--1000 -1800

Viviparity

Homeothermy

Tetrapods

Supporting Structure Multicellular Stage

Eukaryote Cells

1С II

01 t3

-180--338--433 -490--524

-3300 -i Origin of Life

Рис. 84. Даты (в миллионах лет, обозначенные символом "My") относительно начала времени, за которое принято настоящее время (отскща офицательные даты, относящиеся к прошлому), основных эволюционных событий семи линий (простая эволюция от зарождения жизни до живорождения, ящеров, фызунов, копытных, примэтов, включая гоминидов, и т.п.) нанетены черными точками. Шкала временной оси такова, что черные точки должны бьпъ равноотстоящими в логарифме расстояния по времени от эпохи точки до фитического времени Тс, которое лежит за концом последовательности. Даты, указанные рядом с каждой точкой, соответствуют точным численным значениям, предсказанным логопериодической

Вироиды, Вирусы) до царств, типов, подтипов, отрядов, подотрядов, семейств,родов и, наконец, видов. Эти различные уровни соответствуют основным точкам разветвления, таким как путь от вида до рода, затем до семейств, и так далее, и похожи на возвращение назад во времени и наблюдение за созданием последовательными этапами новых видов. Например, домащняя коппса имеет следующее происхождение: эукариоты, хордовые, черепные, позвоночные, млекопитающие, плацентарные, хищные, копжи, кошачьи, кошка домашняя (смотри http: www.ncbi.nlm.nih.gov/raxonomy/tax.html/).

Существует много свидетельств, что эволюция характфизуется квазистатическими фазами, "внутри" которых виды остаются стабильными в течение долгих периодов времени, прерываемых эпизодическими взрывами активности, с разрушением видов и созданием новых [168,169]. Таким образом, существуют достаточно точные даты для видообразования, а, следовательно, можно определить длину ветвей между узлами на "древе жизни", представляющую временные интервалы между такими крупными эволюционными событиями. Может ли это дерево бьтть описано математической структурой, по крайней мере, на статистическом уровне? Оказывается, да; замечательно может. Нотталь (Nottale), ChaHne (Шалин) и Grou (Гроу) [74, 317, 318] недавно предположили, что самоподобный закон логопериодичности характеризует древо жизни. Правда это или нет, но этот пример дает простое и замечательное применение логопериодичности.

Вспомним, что логопериодичность в настоящем контексте синонимична существованию периодичности некоторой наблюдаемой величины как функции от логарифма In Тс-Т (длительности от времени Т до некоторого критического времени Тс). Периодичность зависимости некоторой наблюдаемой величины от переменной In Тс-Т подразумевает существование иерархии характерных временных масштабов Tg<T2<..<T„<T„+i<.., соответствующих, например, периодическим максимумам наблюдаемой величины как функции времени, зацанной вьфажением:

Tn=Tc-(Te-To)g",

где g является предпочтительным дискретным масштабным коэффициентом лежащей в основе дискретной масштабной инвариантности (которая бьша вьште обозначена X). Эта формула (11) оказьтается хорошо удовлетворяющей датам основных эюлюционных событий, показанных на Рис. 84.

Обратите внимание, что промежутки Т„+1-Т„ между последовательными значениями Т„ приближаются к нулю, когда п становится больше и Т„ стремится к

моделью, вычисленной по наилучшей подгонке к каждому временному ряду. Совершенная логопериодичность квалифицируется равноотстоящими черными точками. Офугленное фитическое время Тс и масштабный коэффициент дуказаны для каждой линии после стрелок. В случае иглокожих логопериодичность является перевернутой, то есть Тс находится в прошлом и характеристические времена Га все больше и больше разделяются по мере течения времени от прошлого к будущему. Источник [318].



критическому времени Тс- Из трех последовательньк рассматриваемьк значений Т„, скажем, Т„, T„+i, Т„+2, критическое время Тс может бьпъ определено по формуле:

гТу2 гр Z гр

(12)

Данное отношение инвфиантно относительно произвольного переноса во времени. Помимо этого, последующее время Г„+з предсказывается из предшестювавшего Т„ по формуле:

гр П + 1

«+3 ~

Т -Т

п+1 п

(13)

Данные формулы воспроизведены в главе 9 как (23) и (24), в разделе, озаглавленном "Иерархия предсказьшающих схем".

Н0Т1ЭЙЛ, Шалин и Гроу [74, 317, 318] обнаружили, что североамериканская ископаемая лошадь, приматы, грызуны и другие роды прошли по эволюционному пути, перемежаемому основными собьттиями, описьгоающимися геометрическим временным рядом (11). Критическое время Тс приблизительно датируется настоящим для лошадей, что согласуется с вымиранием данного вида в Северной Америке 10000 лет назад (но это также могло быть совпадением, поскольку североамериканские лошади начали вымирать, когда на континент пришли люди и начали на них охотиться). Критическое время Тс для приматов отстоит, примерно на 2 миллионам лет в будущее от настоящего момента, а для фызунов - примерно па 12 миллионам лет в будущее. является концом (и, соответственно, началом) эволюционного процесса для усиливающихся (и, соответственно, слабеющих) эволюционньк ветвей. Для усиливающихся ветвей критическое время Тс может условно бьпъ истожовано, как утрата данной ветвью способности эволюционировать, а не как обязательно предопределенный период вымирания фуппьт

Конечно же, существует много методологических вопросов, а также фундаментальнък биологических проблем, связанньк с предложенным логопериодическим законом (11). Вполне вфоятно, что данная закономерность может быть артефактом данньк (поскольку имеет много недостатков) и метода анализа. В частности, чем дальше в глубину веков мы движемся, пьпвясь воссоздать прошлое, тем более необработанной и скудной становится информация. Возможно, что эта скачкообразная выборка может создать очевидную логопфиодичность способом, обсужденным в [203], но несколько экспфиментов, кажется, исключили данную вероягаость. Если "логопфиодический закон эволюции жизни", заданный вьфажением (11), окажется подлинным, это пофебует глубокого объяснения. В любом случае, он дает фкий пример значения дисфетной масштабной инвариантности для более профачной организации комплексньк данньк, возможно, подводя нас к более глубокому пониманию.

Нелинейное следование тренду против нелинейной динамики фундаментального анализа

Данньтй раздел представляет альтернативное понимание возникновения фитических точек (конечно времеппьк сингулфностей), осложнеппьк ускоряющимися осцилляциями. Это альтернативное пониматше основывается па описании "динамической системы", в которой данные характфистики возникают динамически. Основным компонентом является сосуществование двух классов инвесторов, "фундаменталистов или стоимостньк инвесторов" и инвесторов, следующих за фендом (часто называемьк чартистами, техническими аналитиками или шумовыми фейдерами па жаргоне финансовой науки). Вторым важным компонентом является признание того, что оба класса инвесторов ведут себя "нелинейно". Данные два компонента порождают конечно-временную сингулфпость с ускоряющимися осцилляциями. Сингулфпость степенной зависимости является результатом нелинейно вофастающего темпа роста в связи со следованием фенду. Являющиеся приблизительно логопериодическими, осцилляции с замечательными свойствами масштабирования происходят. от нелинейной возвращающей силы, с помощью которой фундаментальные инвесторы, сфемящиеся вернуть цену к ее фундаментальной стоимости, влияют па нее. Можно наблюдать богатое разнообразие поведений как функции степени нелинейности темпов роста и восстанавливающей сильт Мы увидим, что динамическое поведение прослеживается назад к самоподобной спиральной Сфуктуре динамики (цены, ценовьк изменений) в просфанственном представлении, разворачивающейся вофуг ценфальной фиксированной точки [205].

Колебание цены актива па фондовом рьшке контролируется спросом и предложением, другими словами, чистым размером приказа Д равным числу приказов брокеру на покупку минус приказы на продажу. Ясно, что цепа растет (и, соответственно, падает), если Q положителен (и, соответственно, офицателен). Если отношение цены р , при которой исполняются ордфа к предьтдущей цене котировки р, является исключительно функцией чистого размфа приказа Q, и если предположить, что невозможно получить прибыль повторяющейся торговлей ценными бумагами с окончательной разницей между покупками и продажами, равной нулю, то можно показать, что разность между логарифмом цены завфа и сегодня прямо пропорциональна чистому размеру приказа £1 [123]. Чистый размер приказа Д являющийся результатом действий всех фейдеров, с течением времени непрерывно приспосабливается так, чтобы офажать информационный поток на рынке и эволюцию мнений фейдеров и их насфоений. Различные производные устанавливают связь между изменением цепы или изменением логарифма цепы и факторами, контролирующими сам чистый размер приказа [123, 49, 330]. Три базовьк компонента считаются важными при определении ценовой динамики: следование фенду, возвращение к фундаментальной стоимости и неприятие риска.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [ 34 ] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]