0.30

I 0.15 О

С о и

5-0.15

-0.301- -10

0.30

0.15

3 -0.15

-6 -4 Logj

-0.30

-6 -4 Logj

Рис. 80. Осцилляционные остатки фрактальных размерностей, полученные из фигуры, показанной на Рис. 82. для (а) троичного канторова (Cantor) множества, посфоенного при помощи итеративного правила 1-+101 и (Ь) Канторова множества, построенного при помощи итеративного правила 1-+1010001. Оба канторова множества имеют одинаковые действительные фрактальные размерности. Они отличаются мнимой частью своих фрактальных размерностей, которая офажается в различных логопериодических структурах, показанных на двух фафиках. Источник [387].

-6 -4

Рис. 81. Степень фрактальной размерности троичного канторова множества, измеренная корреляционным методом. Рисунок изображает логарифм корреляционного интеграла как функцию логарифма размерности. Источник [387].

Различие между результатом измерения фрактальной размерности этого троичного канторова множества и теоретическим значением 0,6309... показана на левом фафике Рис. 80. как функция (логарифмическая ) масштаба. Вместо постоянного значения О, которое получается в случае, если бы фрактальная размфность бьша в точности равной d=Ln2/Ln3=0,6309..., мы, в действительности, наблюдаем сложную осцилляционную сфуктуру вокруг ожидаемого значения, равного 0. Простой результат d=Ln2/Ln3=0,6309...

II II

1111 ПИ

И II и 11

IIII 1111 1111 IIII

Рис. 82. Показывает изначальный единичный интервал и первые пять итераций построения так называемого троичного канторова (Cantor) множества (сверху вниз).

Очевидно, что по сфуктуре троичное канторово множество геомефически идентично самому себе только при увеличении с коэффициентом Jijr=3, являющимся произвольными целочисленными степенями 3. Если вы возьмете другой коэффициент увеличения, натфимф, 1.5, то вы не сможете наложить увеличенную часть на изначальное канторово множестю. Таким образом, мы должны заключить, что троичное множество Кантора не обладает сюйстюм непрфывной масштабной инвариантности, но обладает только дискретной масштабной инвариантностью при основном коэффициенте масштабирования 3. Это сюйство проявляется логопфиодическими осцилляциямн.

Обратите внимание, что осцилляции сложнее, нежели просто одиночная гладкая синусоидальная структура На самом деле это офажает тфисутствие всех других масштабных коэффициентов 3=9, 3=27..., при которых канторою множество инвариантно. Тонкая сфуктура, видимая на левом фафике Рис. 80, является результатом супфпозиции всех чисто логопфиодических осцилляции, по одному для каждого из допустимых коэффициентов масштабирования. Это похоже на аккорд, составленный путем комбинирования ряда чистых тонов различной громкости.

Правый фафик Рис. 80 дает ту же информацию, что и левый для другого канторова множества, полученного по несколько отличающемуся правилу построения: единичный интфвал делится на девять интфвалов длины 1/9 и из них сохраняются только первый, третий, пятый и последний интфвапы. Затем это повторяется с каждым из четырех оставшихся интфвалов. Данное построение символически изображается как правило 1->101010001. Обратите внимание, что каждый раз, когда разрешение увеличивается на множитель 9, появляются четыре новых отрезка. Следовательно, фрактальная размфность d данного ноюго канторова множества должна быть такой, что 9, возведенная в степень d, должна

корректно включает в себя часть информации о сфуктуре канторова множества, но, как оказалось, только часть. Как мы объяснили, данные логопфиодические (то есть периодические, в логфифме масштаба £) осцилляции офажают фундаментальную симмефию - дискретную масштабную инвариантность троичного канторова множества. Основной период, видимый на фафике, равен Ln3, что соответствует вьщеленному масштабному коэффициенту 3 дискретной самоподобной консфукции множества Кантора.

равняться 4, что означает, (1=1п4Лп9=21п2/21пЗ=Ь2/1пЗ=0,6309... Данное новое канторово множество имеет ту же действительную фрактальную размерность, что и троичное канторово множество, но его структура очень сильно отличается от структуры последнего. Логопериодические осцилляции, видимые на праюм графике Рис. 80, поясняют это и показывают, как они могут нести важную информацию о правиле построения помимо простых самоподобных свойств, охватываемых действительной фрактальной размерностью.

Рис. 81 иллюстрирует зависимость размерности фрактальной структуры троичного канторова множества как функцию уровня разрешения. Данная величина пазьшается корреляцией и подсчитьшает число пар точек в кантороюм множестве, отделенньк друг от друга расстоянием меньшим, чем разрешение. В таком дюйном логарифмическом представлении наклон линии должен бьггь равен действительной фрактальной размерности d=ln2/ln3=0,6309..., поскольку корреляционная функция растет согласно разрешению, возведенному в степень d. Здесь мы снова видим логопериодические осцилляции, осложняющие линейный в среднем, тренд с положительным, в среднем, наклоном. Данные логопериодические структуры отражают дискретную масштабную инвариантность канторова множества.

Итак, мы показали, что признаком дискретной масштабной инвариантности является присутствие степенной зависимости с комплекснъш показателем степени, который проявляет себя в наборе данных логопериодическими осцилляциями, корректируя проетое степенное масштабирование. В дополнение к сущестюванию единственного предпочтительного коэффициента масштабирования и связанной с ним логопфиодичности, обсуждавшейся до сих пор, могут сзтцествовать несколько предпочтительных коэффициентов, соответствующих нескольким наложенным друг па друга (принцип суперпозиции) логопфиодичностям. Это может привести к более разнообразному поведению, такому как лог-квазипфиодичность [400].

В качестве последней иллюстрации приведем функцию Вейерипрасса, показанную на Рис. 74, и обладающую действительным значением фрактальной размерности, равным 1,5. Поскольку она проявляет сильную дисфетную масштабную инвариантность с предпочтительным масштабным коэффициентом (для последовательньк остроконечных сфуктур), равным 2, то она наделена бесконечным числом комплексных фрактальных размерноетей, заданных вьфажением l,5+i27m/ln2=l,5+i9,06n, где п принимает любое возможное целочисленное значение. По мфе того, как целое п растет до все больших и больших значений, соответствующие комплексные размфности описьшают все меньшие и меньшие паттфны с дискретной масштабной инвфиантностью.

Как мы увидели, переход от целочисленных размфностей к действительным (с дробными частями) соответствует обобщению фансляционной симмефии до масштабной симмефии. Удивительным может показаться наблюдение, что дальнейшее обобщение концепции размфности на множество комплексных чисел, напротив, софащает масштабную симмефию до подфуппы, симмефии с дисфетным масштабом. Это происходит оттого, что мнимая часть комплексной размфности, на самом деле, представляет собой дополнительное офаничение, которому должна подчиняться симмефия.

(BafHocmb и полезность Ъискрептой масштабной инвариантности

Существование масштабов соответствующей длины.

Предположим, что анализ некоторых данных показьшает наличие логопериодических сфуктур. Что мы можем из этого извлечь? Прежде всего, как мы увидели, пфиод логопфиодичности на логарифмической шкале прямо связан с существованием предпочтительного коэффициента масштабирования. Таким образом, логопфиодичность должна быть немедленно замечена и истолкована как существование множества предпочтительных характфистических масштабов вместе формирующих геомсфический ряд ..Jf, Р, ..Д Д х",... Логопериодические сфуктуры в данных, таким образом, указьшают, что система и/или подлежащие физические механизмы обладают хфакгеристическими масштабами, каждый из которьтх хфактфизуется соответствующим размером. Это файне интересно, поскольку существенно офаничивает лежащий в основе этого механизм. Действительно, поведения с простой степенной зависимостью обнаруживаются повсеместно, как видно из бурного роста концепций фракталов, фитичности и самоорганизующейся фитичности [26]. Напримф, степенное распределение энергии землефясений, известное как закон Гетенберга-Рихтфа, может быть получено при помоиди многих различных механизмов и описано множестюм моделей и, таким образом, файне офаничено в выявлешш лежащей в его основе физики (один факт, много конкурирующих объяснений). Его полезность как модельных представлений даже подвергается сомнению, что протиюречит общей уверенности, сюйственной многим ученым, в важности этой степенной зависимости. Напротив, присутствие логопфиодических сюйств учит нас тому, что существуют важные физические сфуктуры, сфьттые в полностью инвариантном описании.

Давайте упомянем о примечательном применении логопфиодичности, используемом летучими мьшяами и дельфинами. Оказьшается, что амплитуда ульфазвуковых сигналов, посылаемых звуковыми локаторами животных для эхолокации у летучих мьшяей и дельфинов, очень хорошо описывается математической функцией, назьшаемой юйвлетом Алтеса (the Altes wavelet) [5]. Имея в своем мозгу малопроизюдигельный компьютф дтя эффективной обработки данных в реальном времени, животные компенсируют это офаничение, применяя особую форму колебаний для сюих ульфазвуковых сигналов, которая оказьшается оптимальной формой для того, что касается искажений при доплеровских сдвигах (высота звука зависит от относительной скорости между слушающим и эмиттером; например, звук, издаваемый приближающейся машиной, имеет более высокую частоту (высоту), чем звук, издаваемый удаляющейся машиной). Вэйвлет Алтеса, имеющий логопфиодическую сфуктуру с локальной частотой, варьирующейся по гиперболе, также обладает замечательным сюйстюм минимизировать неопределенность временнбй шкалы, в том же смысле, что и закон Гаусса минимизирует частотно-временную неопределенность. Он также обладает префасным сюйством - его дифференцирование соответствует растяжению на постоянный коэффициент. Такая типичная форма юлны показана на Рис. 83.

-4 -2 0 2 4 6

ш [v =-1, к = 3Д = 2, (2" points)]

Рис. 83. Типичная форма колебаний вэйвлета Алтеса, математической функции, демонстрирующей логопериодическую симметрию, используемую летучими мышами и дельфинами для оптимизации своих ультразвуковых сигналов. Верхний график показывает преобразование Фурье в зависимости от круговой частоты вэйвлета Алтеса, представленное на нижнем графике как функция времени. Вспомним, что преобразование Фурье сигнала есть не что иное, как квантификация синусоидальных компонентов, составляющих сигнал. Обратите внимание, что и вэйвлет Алтеса, и преобразование Фурье демонстрируют логопериодические осцилляции.

Предсказание.

Важно подчеркнуть практические следсгаия логопериодических структур. Для целей предсказания более важна та часп, данных, которая содержит осцилляции, нежели та, которая описывается простой степенной зависимосп>ю, которая может бьпъ вырожденной, особенно в присутствии шума, поэтому то осцилляционная компонента данных и более надежна Это широко извесгао, например, в электронике и обработке сигнапов, когда синхронизация с управляемым о волновым пакетом, позволяет извлечь мапый сигнал на фоне большого шума Это свойсгао логопериодичности обеспечивать более надежную подгонку к данным, использовшюсь и энергично исследовапось в нескольких прикладных областях, таких как предсказание разрушений [13, 12, 210, 215] и землетрясений [405, 355, 222] и будет глубоко исследоваться в применении к финансовым крахам в следующих главах.

Мы покажем, что логопериодичность очень полезна с эмпирической точки зрения при анализе финансовой информации, поскольку подобные осцилляции

гораздо лучше видны в реальных данных, чем простая степенная зависимость. Как уже было сказано, подгонка может фокусироваться на осцилляциях, содержащих информацию о критической дате U Если в данных присутствует логопериодичность, она может т быть использована для предсказания критического времени 4 просто путем экстраполяции ускорения частоты. Поскольку вероятность краха является самой высокой вблизи критического времени, это может являться интересным упражнением по прогнозированию. Однако обратите внимание, что для рациональных трейдеров из моделей, описанных в главе 5 такой прогноз бесполезен, поскольку они уже знают коэффициент риска краха h(t) в каждой точке времени (включая 4), и они уже отразили эту информацию в ценах через условие рациональнътх ожиданий.

Сценарии, ведущие 1дискретноймашта6ной инвариантности и логопериодичности

После достаточно абстрактного описания дискретной масштабной инвариантности, данного выше, давайте вкратце обсудим механизмы, которые могут быть порождать ее. Оказывается, не существует уникальной причины, но существует несколько механизмов, ведущцх к дискрегаой масштабной инвариантности. Едва ли удивительно то, что дискретная масштабная инвариантность является частичным нарушением непрерывной симметрии, поскольку существует много способов нарушить симметрию. Некоторые механизмы уже были обнаружены, в то время как другие все еще изучаются. За перечнем механизмов мы обратимся к [392]. Дискретная масштабная инвариантность обнаруживается, в частности, в хаотических системах, особенно в способах перехода от порядка к хаосу и реакции на внешние пертурбации. Дискретная масштабная инвариантность является также глубоким свойством чисел и арифметических систем, символизируемым, так назьгоаемым, законом первых цифр Ньюкомба-Бенфорда (Newcomb-Benford) [195]. Прежде, чем мы обратимся к общему описанию динамической системы спонтанно возникших логопериодических сингулярностей в финансовых временных рядах, мы рассмотрим замечательный закон первых значащих цифр Ньюкомба-Бенфорда и его глубокую связь с логопериодичностью. Наша мотивация состоит в том, что сведение проблемы до теории чисел напоминает ее декомпозицию для выявления основ.

Зак!дн первьисцифр Яьюкдл£а-Бенфорда и арифл{ети»еск;ая система

В данном и следующем разделах мы рассмотрим два примечательных случая возникновения логопериодичности, которые по своей широте и всеобщности предполагают, что дискретная масштабная инвариантность шкалы являться важным организующим принципом. Возможно, самый простой пример логопериодичности можно привести, говоря о частотах первых цифр в натуральных числах, обеспечивающих механизм закона Ньюкомба-Бенфорда (Newcomb-Benford). В 1881 году Ньюкомб, а в 1938 году Бенфорд [38] обратили внимание, что сфаницы часто используемых логарифмических таблиц являются свидетельством