назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [ 32 ] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]


32

разрешения L Эт коэффициенты формируют в целом бесконечное, но счетное множество значений h, h которое может быть записано как целый показатель степени у1„= А". А - это фундаментальный коэффициент масштабирования (scaling ratio).

Очевидно, что две иерархические сети на Рис. 62 и Рис. 66 подчиняются дискретной масштабной инвариантности, но не (непрерывной) масштабной инвариантности. Действительно, по своей конструкции ромбовидная решетка точно восстанавливается только при паличтш дискретного ряда коэффициентов, определяющих последовательные увеличения, которые заменяют каяодую связь четырьмя новыми связями, каадую из четырех связей четьфьмя новыми связями и так далее. В том же роде, дихотомическое дерево является инвариантным только при дискретном множестве увеличений, когда каждая ветвь удваивается в дискретной иерархии. Действительно, все обычные фрактальные консфукции наделены симмефией дисфетной масштабной инвариантности. Знаменитыми примерами являются канторово (Cantor) множество, феугольник Серпинского (81еф1п8ку), снежинка Коха (Koch), а также многие другие примеры[284].

Мы увидели, что отличительным признаком масштабной инвариантности является существование степенной зависимости, офажающей факт отсутствия предпочтительньк шкал. Показатели степени в этих степенных зависимостях определяют фрактальные размфности. Признаком дисфетной масштабной инвариантности становится существование логопфиодических осцилляции, усложняющих степенные зависимости. Как мы увидим, эти логопериодические Сфуктуры могут быть представлены математически, при помотци того факта, что показатель степени а или, что одно и то же, размерность d, является не только нецелочисленным, но и становится комплексным числом.

Мы увидели, что непрерывная масштабная инвариантность дает толчок к появлению нецелочисленных (действительных) фрактальных размфпостей. Тепфь мы утвфждаем, что дисфсгаая масштабная инвариантность характеризуется комплексными фрактальными размерностями. Прежде, чем мы подтвердим данное утвфждение примфами, давайте немного порассуждаем по поводу чудесного примера невероятной достаточности математики для описания природных явлений: поиск более "эстетически" приятной всеобщности и логичной последовательности в математике, в конечном итоге, охватьгоает всеобщность глубокой концепции. Уигнф (E.P.Wigner), лауреат Нобелевской премии в области физики за работу по симмсфиям в ядфпой физике и квантовой механике, сформулировал ее следующим образом [246]: "Невфоятная польза математики для естественных паук является чем-то, фаничашцм с волшебством... Замечательное свойство язька математики подходить для формулировки физических законов является чудесным даром, которого мы не только не понимаем, но и не заслуживаем".

Комплексные числа составляют самое общее множество чисел, подчиняющихся стандартным правилам сложения/вычитания и умножения/деления. Они содфжат, в частности, целые числа О, 1, 2, 3,... и действительные числа, такие как любое число с целой и десятично-дробной частью, как 876,34878278.... Дроби двух целых чисел, такие как 13/8 являются специальными действительными числами, назьгоаемыми рациональными,

Complex Plane

-4 -3 -2 -1 0

12 3 4

-2/-

-3/-

Рис. 76. Кол/1плексная плоскость: Горизонтальная линия представляет действительные числа, которые включают в себя, в частности, целые числа -3, -2, -1,0,1,2,3... Вертикальная линия представляет собой абсолютно к/1нимые числа, произведение / на произвольные действительные числа. Оставшаяся плоскость является совокупностью недействительных коллплексных чисел. Терлчины "кол/тлексные" и "л/1нил/1ые" подчеркивают мысль, что данные числа находятся за пределами действительных чисел и наблюдаются как проекции или "тени" на действительной оси.

Любое комплексное число эквивалентно пфе действительных чисел. Первый член пфы пазьшается действительной частью комплексного числа. Второй член пары называется мнимой частью. Если второй член равен О, то комплексное число редуцируется до чисто действительного числа. В то время, как действительное число может рассмафиваться как точка на прямой, комплексное число есть не что иное, как представление точки па плоскости, как показано на Рис. 76, такое, что пара чисел, составляющих комплексное число, соответствует двум координатам или проекциям, соответственно, на горизонтальной и вертикальной осях. "Мнимая " часть комплексного числа пропорциональны их основному "представителю", обозначаемому символом "i", который таков, что его квадрат г=ш равен -1. Неспециалисту данное свойстю может показаться неестественным, похожим па волшебный фокус, по математикам нравится определять объекты, обладающие самыми общими свойствами, которые, тем не менее, согласуются с предшествовавшими правилами, в данном случае - со стандартными правилами сложения/вычитания и умножения/деления. Свойство f = -1 оказьгоается естественным, если толкуется как действие па плоскости, а не только вдоль оси

поскольку они Хфактеризуются либо конечной десятичной дробной частью (13/8=1,625), либо бесконечной, по периодической десятичной дробной частью, напримф, 13/11=1,181818181818..., где элемент 18 повторяется до бесконечности! Большая часть действительных чисел, позволяющая инженфам производить расчеты длины, веса, силы, сопротивления и так далее, в принципе, характеризуются бесконечной неповторяющейся дробной десятичной частью! Множество всех действительных чисел может быть представлено в виде пепрерьгепой линии, каждая точка па которой точно соспБетствуег единственному действительному числу. Таким образом, действительные числа являются отметками, точно указьгоающими положение вдоль линий, как показано на Рис 76 и Рис. 77.



действительных чисел. В то время, как умножение на действительное число соогвегствует сокращению или растяжению вдоль прямой, по контрасту умножение на i соогвеплвуег вращению на прямой угол (равный 90 градусам или я/2 радиан) на плоскости. Умножение на произвольное комплексное число, таким образом, является комбинацией двух преобразований, сжатия или растяжения для действительного числа и вращения (угла, не обязательно равного 90 градусам).

Рис. 77. Геометрическое представление умножения комплексного числа z на другое комплексное число ш: умножение эквивалентно комбинации растяжения и вращения.

Оказывается, что введение чисел, подобных i, не приводит к какой-либо непоследовательности и могут применяться все стандартные виды вьршслений. Комплексные числа, будучи чем-то большим, чем чистое творение воображения, сыграли фантастически важную роль для понимания свойств телекоммуникации с помощью электромагнитные и акустических юлн, которыми ежедневно пользуется современная цивилизацщ, поскольку они удобно кодируют двоичную информацию о юлне, а именно ее амплитуду (громкость) и ее частоту и фазу (высоту). Комплексные числа также являются важными элементами простой формулировки одной из самых фундаментальных теорий частиц, в квантовой механике, например, в знаменитом уравнении Шредингера (Schrodinger). Неинтуитивные новейшие явления, описываемые квантоюй механикой, например, такие как принцип суперпозиции, прославившийся в связи с кошкой Шредингера, которая одновременно жива и мертва до тех пор, пока этого никто не наблюдает, технически происходит оттого, что квантовая механика является теорией комплексных чисел. Чтобы бьпъ технически более точным, квантовая механика является теорией их непосредственного (некоммутативного) обобщения, называемого кватернионами.

Сейчас мы попытаемся интуитивно объяснить, что комплексные фрактальнью размерности могут привести к логопериодическим осцилляциям, как утверждается вьште. Во-первых, вспомним общий результат, проиллюстрированный Рис. 77, что умножение на комплексное число соответствует комбинации сжатия/растяжения и вращения на плоскости. Для нашей цели давайте забудем о сжатии/растяжении и сосредоточимся только на вращении. Возьмем

-1.2 -0.8 -0.4 О 0.4 0.8 1.2

Рис. 78. Иллюстрация того факта, что фуговое движение на плоскости х-у соответствует осцилляционным движениям вдоль каждой из координат хи у, соответственно.

точку, вращающуюся вокруг центра, как на Рис. 78. Например, рассмотрим верншну секундной стрелки часов, описывающую полный круг в течение тс»чно одной мтшуты. Направление вращения для нашего исследования не важно. Эго совершенное периодическое круговое движение на самом деле можно рассматривать как комбинацию двух одновременных и упорядоченных осцилляционных движений, перемещающихся назад и вперед между двумя крайними положениями. Пфвое движение горизонтально и происходит с 9:00 до 3:00, второе движение вертикально и охватывает интервал от 6:00 до 12:00. Рассматриваемое только как проекция на горизонтальную ось, круговое движение вершины секундной стрелки преобразуется в осцилляцию, сходную с осцилляцией на Рис. 78. Это общий результат: любое круговое или локально криволинейное движение может быть преобразовано в комбинацию осцилляционных движений вдоль прямых линий.



Возвращаясь к комплексным фрактальным размерностям, нам необходимо дополшггельпо вспомнить интуитивное значение показателя степени. Условные обозначения L=LxLxL и l}=LxL, использованные нами прежде, предполагают, что показатели степени 3 и 2, использованные здесь, указывают, что L умножается па саму себя соответственно 2 и 3 раза. Красота математики часто заключается в обобщении таких очевидньк представлений с целью расширить их использование и подчеркнуть их значение. Здесь обобщение от цельк показателей степени к дробным показателям степени, например, l!, означает, что L умножается на само себя 1,5 раза! Данное любопытное утверждение можно па самом деле сделать точнее, и оно имеет большой смысл. Сходным образом мы можем взять степень комплексного числа с действительным показателем степени: результат показан на Рис. 79. Позволим нашему воображению идти дальше: мы также можем возвести L в степень с комплексным показателем степени. Поскольку, как мы уже сказали, возведение L в какую-то степень соответствует умножению ее на саму себя определенное число раз, здесь мы должны умножить L па саму себя "комплексное число раз". Поскольку комплексные числа являются парами чисел, мы вносим смысл в данное любопытное утверждение путем разложения действия комплексного показателя степени на два преофазования, как в случае с умножением. Сконцентрировавшись на вращательном компоненте умножения комплексных чисел, мы можем догадаться (безоишбочно), что комплексный показатель степени L также будет соответствовать вращению. И, наконец, последний этап исследования: поскольку мы рассматриваем действительные числа, такие как цены на фондовом рьшке, это соответствует видению только проекции на действительной прямой комплексного множества операций. Как мы сказали и показали на Рис. 78, вращение проектируется на прямую как осцилляция. Таким образом, построение L, где d является комплексным числом, соответствует

проведению осцилляционного логопериодическими осцилляциями

Powers of Z

умножения.

которое

оказывается

Рис. 79. Геометрическое представление последовательных степеней п=1,2,3... комплексного числа Z для Z внуфи Офужности радиусом 1. Непрерывное изменение показателя степени п как действительного числа дает непрерывную спиралеобразную фивую.

Чтобы понять логопфиодическую сфуктуру, нам нужно вспомнить основное свойство логарифмической фушщии, используемой во многих рисунках этой книги, а именно, что логарифм преобразует умножения в перенос, а степень в сложение. Как мы уже сказали, и чем мы уже несколько раз пользовались, логарифмы (с основанием 10) 10, 100, 1000... обозначенные log 10, log 100, log 1000... равны, соответственно, 1, 2, 3... Другими словами, они соответствуют показателю степени 10: 10=10, 100=10 1000=10 Следовательно, "осцилляционный вид умножения", индуцированный взятием степени числа с комплексным показателем степени, должен наблюдаться как регулфная осцилляция в логарифме числа, следовательно, как логопериодичность.

Мы проиллюсфируем это удивительное явление на Рис. 80 и Рис. 81, показывающих измерение фрактальной размфности в присутствии дисфетной масштабной инвариантности фрактальных объектов. Точнее, мы рассмофим так называемые канторовы множества, которые являются одними из самьтх простых геомсфических объектов, имеющих фрактальные свойства. Рис. 82 показывает первые пять итфаций алгоритма посфоения так называемого троичного капторова множества. На нулевом уровне консфукция канторова множества начинается с единичного интфвала, то есть со всех точек на прямой между О и 1. Этот единичный интервал изображается закрашенным черным цветом офезком на вершине фигуры. Первый уровень получается из нулевого уровня путем удаления всех точек, лежащих в ценфальной фети офезка, то есть всех точек между 1/3 и 2/3. Второй уровень получается из пфвого уровня путем удаления ценфальной фети каждого оставшегося интервала па пфвом уровне, то есть всех точек от 1/9 до 2/9 и от 7/9 до 8/9. В общем, алгоритм посфоепия канторова множества может бьтть описан с:юдующим образом: следующий уровень получается из предьщущего уровня путем удаления ценфальной трети всех интервалов, полученных из предьщущего уровня. Данный алгоритм может бьтть закодирован при помощи следующего символического правила: 1101 и О->000. Этот процесс продолжается до бесконечности, а результатом его является множество точек, которые тонко "процежены" из единичного интервала. На п-ном уровне множество состоит из N„=2" сегментов, каждый из которых имеет тану i „=1/3", так что общая длтша (то есть, измфенпая в математическом

смысле) всех сегментов капторова множества равна (2/3)". Данный результат характерен для фрактального множества: так как п сфемится к бесконечности, число деталей (здесь, офезков) экспоненциально растет до бесконечности, в то время как общая длина экспоненциально сфемится к нулю. В пределе бесконечного числа повторений мы обнаруживаем канторово множество, состоящее из бесконечного числа точек нулевого размера. Поскольку каждый раз, когда разрешение увеличивается на множитель 3, появляется в два раза больше Офезков, фрактальная размерность d фоичного множества Кантора является таким, чтобы 2, возведенная в степень d, равнялась 3, отсюда получаем, что d=Ln2/Ln3=0,6309... Канторово множество, являющееся бесконечной "пылью" точек, представляет собой объект с размерностью, большей чем О (что характфно для точки), по меньшей чем 1 (что характерно для линий).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [ 32 ] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]