назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [ 31 ] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]


31

Организация тразньислигсштаба ренормгруппа

Принцип и пример группы перенормировок.

Выражение (8) описывает систему, находящуюся точно в критической точке, в которой инвариантность масштабной симметрии точна. Для конкретных применений нам хотелось бы обладать более полным описанием свойств системы в условиях близости критической точки, а не только непосредственно в критической точке. Очевидной причиной такого желания является то, что предвестники критической точки могут быть расшифрованы до того, как мы до нее дойдем. Вопрос состоит в том, чтобы определить, насколько вьфажение (8) остается верным, и насколько оно меняется в близости критической точки. Другими словами, какая часть точной симметрии масштабной инвариантности сохраняется при нахождении не точно в критической точке.

Ответ на этот юпрос делается вычислительной техникой, называемой "группой перенормировок или ренормфуппой" (renormalization group), изобретение которой, в основном, приписывается К.Уилсону (К.Wilson), получившему за нее Нобелевскую премию в области физики в 1982 году. Эта техника во многом обязана сюим окончательным созреванием другим физикам, таким как Б.Уидом (B.Widom), М.Геллман (M.Gellraan), Л.Каданофф (L.Kadanoflf), Э.Мигдал (A.Migdal), М.Фишер (M.Fisher) и /фугим. Группа перенормироюк была изобретена для работы с критическими явлениями, которые, как мы подчеркивали, уже соответствуют классу поведений, характеризуемых структурами различных масштабов и степенными зависимостями измеряемых величин от управляюищх параметров. Это весьма обищй математический инструмент, позюляющий разложить на составные части задачу нахождения "макроскопического" поведения большого числа взаимодействующих, частей, в последовательность более простых задач, с существенно уменьшающимся числом взаимодействующих объектов, чьи эффективные свойства изменяются в зависимости от масштаба рассмотрения. Таким образом, фуппа перенормироюк, следуя вьфажению "разделяй и властвуй", решает проблему путем организации описания всей системы масштаб за масштабом. Она особенно хорошо приспособлена к критическим явлениям и системам, близким к тому, чтобы быть инвариантными к масштабам. Ренормфуппа вьфажает на математическом языке концепцию, что общее поведение системы является объединением множества произвольно определенных подсистем, где каждая подсистема определяется объединением подсистем и так далее.

Она работает в три этапа. Чтобы проиллюстрировать это, давайте рассмотрим группу агентов, каждый из котфых имеет одно из двух юзможньпс мнений ("медведь" или "бьж", да или нет, голосовать за "А" или голосовать за "В", и так далее). Группа перенормировок работает следующим образом.

1. Первый этап состоит в том, чтобы сгруппировать соседние элементы в маленькие группы. Например, на двумерной квадратной решетке мы можем сгруппировать агентов в кластфы, равные по размеру девяти агентам, что соответствует ква/фатам со сторонами 3 на 3.

2. Второй этап заключается в том, чтобы заменить какофонию мнений внутри каждой фуппы из девяти агентов единым, репрезентативным мнением,

Рис. 71. Данная фигура иллюстрирует эффект перенормировки для К<Кс изинговской модели (6), что соответствует беспорядочному режиму. Две различные точки зрения обозначены белым и черным. Начиная слева, с квадратной решел(и с некоей заданной конфигурацией мнений, справа показаны два успешных применения ренормфуппы. Повторяемые применения фуппы перенормировки изменяют структуру решетки все более и более беспорядочно. Все более короткие корреляционные интервалы, количественно измеряемые т;1пичными размерами черных и белых областей, постепенно удаляются с помощью процесса перенормировки, и система становится все менее и менее упорядоченной, соответствующей действующему уменьшению силы подражания К. В конце концов, после многочисленных повторений фуппы перенормировки, распределение черных и белых квадратов становится абсолютно случайным. Система отходит от критичности с помощью перенормировки. Ренормфуппа, таким образом, квалифицирует данный режим как беспорядочный при изменении масштаба.

полученным по правилу избранного большинства. Проведение данной тфоцедуры "децимации", очевидно, снижает сложность задачи, поскольку существует в девять раз меньше мнений, подлежащих учету. Последний этап состоит из уменьшения масштаба или сокращения сверхрешетки из квадратов размером 3x3, чтобы придать им тот же размер, что и у изначальной решетки. После этого каадый кластф становится эквивалентен эффективному агенту, наделенному мнением, представляющим среднее арифметическое мнений девяти составляющих агентов.

Один цикл, включающий в себя фи этапа, примененный к заданной системе, фансформирует ее в новую систему, которая выглядит абсолютно похожей, но отличается одним важным аспектом: распределение и пространственная организация мнений были изменены, как показано на Рис. 71, Рис. 72 и Рис. 73.



Могут произойти три ситуации, проиллюстрированные Рис. 71, Рис. 72 и Рис. 73. Давайте обсудим их в контексте модели имитативного поведения, представленного в главе 4 и резюмированного эволюционным уравнением (6). Вспомним, что в данной модели агенты имеют склонность подражать друг другу согласно силе склонности К, количественно определяющей относительную силу подражания по сравнению с идиосинкразическим взглядом. Большая К ведет к сильной организации, где большинство агентов разделяют одинаковое мнение. Малая К соответствует группе, разделенной пополам между двумя мнениями, так чго пространственная организация агентов разрознена. Посредине, как мы показали в главе 4, существует критическая величина отделяющая эти два крайних режима, при которой система является критической, то есть шкала инвариантна. Группа перенормироюк делает даннью утверждения точными, что и показано на Рис. 71, Рис. 72 и Рис. 73.

. - . .--i. : - с-, •v. . .- ::

Рис. 72. Данный рисунок иллккприрует эффект перенормировки для КЖс изинговской модели (6), чго соответствует упорядоченному режиму, в котором одно мнение (белое) доминирует (два различных мнения обозначены черным и белым). Начиная слева с квадратной решетки с некоторой заданной конфигурацией мнений, на рисунках справа показаны два успешных применения фуппы перенормировки. Мы видим постепенное изменение структуры решетки со все большей организацией (один цвет, то есть мнение, доминирует все больше и больше). Все более короткие корреляционные интервады устранены с помощью процесса перенормировки, и система становится все более и более упорядоченной, соответствующей действующему увеличению силы подражания К. Система отводится от критичности с помощью перенормировки. Ренормфуппа, таким образом, квалифицирует данный режим как упорадоченный при изменении масштаба.

Рис. 73. Данный рисунок демонстрирует действие перенормировки для К=Кс изинговской модели (6), что соответствует критической точке. Два различных мнения обозначены черным и белым. Повторные применения ренормгруппы оставляют структуру решетки статистически инвариантной. Все более короткие корреляционные интервады устранены с помощью процесса перенормировки; однако система поддерживает то же равновесие ме)кду порядком и беспорядком и действующая сила имитации остается неизменной и фиксированной при фитическом значении Кс Система удерживается в фитичности при помощи перенормировки. Ренормфуппа, таким образом, квалифицирует данный р®ким как фитический, характеризующийся инвариантной симмефией шкады. Другими словами, система фупп и мнений является фрактадьной.

Фрактальная функция Вейерштрасса: сингулярное, зависящее от времени решение группы перенормировки.

Непосредственно в фитической точке инвариантность шкалы точно вьшолняется. Она нарушается либо на самом маленьком масштабе, если имеется минимальная масштабная единица, и/или в самом большом масштабе, соответствующем конечному размфу системьт Между этими офаничивающими масштабами система является фрактальной. Эго описание остается верным и не

За исключением особого критического значения применение

ренормгруппы отводит систему от критического значения. Можно использовать данный "поток" в пространстве систем, чтобы точно рассчитать критические показатели степени, характеризующие отклонение измеряемых величтш при приближении к критическим точкам. Критические показатели степени играют роль функции управления данным потоком; то есть они описьтают скорость отдаления от критической точки.



только в критической точке непосредственно, однако, лишь до такого уровня масштаба, который называется корреляционной длгаюй, и который теперь шрает ту же роль, что и конечный размер системы в критической точке. Рис. 48 показал нам, что длина корреляции является размером самой большой группы, то есть расстоянием, на котором локальные подражания среди соседей распространяются прежде, чем "шум" сделает их в значительной степени беспорядочными в процессе передачи, возникающем от идиосинкразических сигналов каждого агента. Это значит, что математическое вьфажение (8), вьфажающее точную инвариантность шкалы более не является абсолютно верным и должно быть несколько видоизменено. Группа перенормировки дает нам ответ и показывает, что необходимо ввести новый член в правую часть вьфажения (8). Этот новый член передает эффект степеней свободы, забытый при процедуре грубой обработки при помощи фуппы перенормировки, при переходе от одного масштаба к большему.

2.2 0.8

i 1 i

0.85

0.9 t

0.95

Рис. 74. Функция Вейерштрасса, определяемая как решение уравнения фуппы перенормировки, полученное из точного самоподобного критического выражения (8), путем добавления простой косинусо1зды, включающей в себя действие степеней свободы на малых масштабах на следующем, большем масштабе. Функция Вейерштрасса демонсфирует свойство самоподобия, что в1адно при сравнении увеличенной области на правом рисунке с левым рисунком. Существует бесконечно разветвленный набор сфуктур, концентрирующихся по мере приближения критического времени tc=l Самоподобие описывается фрактальной размерностью, равной 1,5. Сингулярность степенной зависимости при fcrt описывается показателем степени а=М2. Медленно осциллирующая пунктирная линия, охватывающая крупномасштабную сфуктуру функции Вейерштрасса, является простой степенной зависимостью 3,4ifWf с критическим показателем степени Уг, осложненным логопериодической осцилляцией cos(2nLn(t(rt)/Ln2), показывающей, что доминирующим дискретным масштабным коэффициентом является в данном примере А=2. Повторение остроконечных структур, таким образом, происходит в правильной геометрической логопериодической манере, с основной логопериодичностью, заданной в данном примере А=2. Математическое преобразование (называемое фансформантой Меллина (Mellin)) кроме этого показывает, что существует бесконечная иерархия гармоник этой основной логопериодичности для всех целых степеней А=2, несущая ответственность за слеп<а волнистую структуру на всех масштабах.

Рис. 75. То же, что и на Рис. 74, но с заменой косинусоидальной функции на экспоненциально ослабленную косинусоидальную функцию, чей коэффициент затухания равен 1 минус число, обозначенное на стрелках. Эта "квази-функция Вейерштрасса" более не является абсолютно фрактальной, поскольку она становится гладкой в малом масштабе. Обратите внимание, что логопериодичность сохраняется на больших масштабах, но разрушается на малых.

7(рмпле{Ъ1ефршпальнъш размерности и логопериодичность

Сейчас мы в состоянии интуитивно понять описание дискретной масштабной инвариантности, представленное ранее в данной главе. Как мы отмечали прежде, дискретная масштабная инвариантность есть не что иное, как более слабый вид масштабной инвариантности, согласно которому система или измеряемая величтша подчиняются масштабной инвфиантности, как определено выше, только для специфических выборов коэффициентов увеличения или

При выборе этого нового члена в виде простой косинусоидальной функции cos(x), соответствующей регулярным осцилляциям, решение уравнения группы перенормировки оказывается равным знаменитой функции, называемой функцией Вейерштрасса (Weierstrass) [44, 117]. Данная функция, показанная на Рис. 74. имеет замечательное свойство быть непрерывной, но нигде недифференцируемой. Интуитивно непрерывность означает, что в ней нет "дьф". Недифференцируемость означает, что мы не можем определить локальный тангенс угла наклона; то есть кривая является негладкой на всех масштабах. В примере, показанном на Рис. 75., кривая Вейерштрасса является критической при 4=i. Помимо этого, она характеризуется самоподобной ифархией логопериодических сфуктур, концешрирующихся к критическому времени tc=l.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [ 31 ] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]