назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [ 30 ] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]


30

можно отнести к фундаментальной пороговой природе каскадных влияний трейдеров. Как было указано по отношению к Рис. 65, наблюдаемые величины, придающие значение экстремальному и внезапному поведению на рьгаке, усиливают эффект логопериодичности. Чтобы еще яснее донести этот аргумент, следует упомянуть, что данная модель может бьггь четко вписана в модель отказа материала благодаря каскаду внезапных разрывов [355].

Увеличение числа трейдеров, производящих скупку рьгака в раздутом "пузыре" подгверждаег часто цитируемое наблюдение, что "пузыри" - это периоды, когда применима "теория большего дурака". В финансовых кругах эта "теория" обычно относится к покупателям ценных бумаг, уверенно покупающим, вне зависимости от дивидендов и других фундаментальных факторов. При этом такие покупатели рассчитывают на то, что в будущем смогут продать их кому-то по еще более высокой цене. В качестве иллюстрации можно привести следующий примф [142]: однажды в 1929 году Генри Форд поднимался на лифте в свой пентхаус, и лифтф сказал ему: "Господин Форд, мой друг, хорошо разбирающийся в ценных бумагах, порекомендовал мне купить акции X, Y w Z. У Вас много денег, вы непременно должны воспользоваться такой замечательной возможностью". Форд поблагодарил его, но как только вошел к себе домой, немедленно позвонил своему брокфу и приказал ему продать все акции данных компаний. Впоследствии он так объяснил свой поступок: "Если уже лифтф советует покупать, следовало бы давным-давно все продать". Обобщение данной мысли ведет нас к следующему заключению [309]: демофафические, технологические или экономические перемены ведут к спонтанному появлению новых идей на финансовых рьпжах и первая волна инвесторов и новаторов получает максимальную прибыль. Затем появляются подражатели и обесценивают новаторство. Во время следующих за этим физисов опоздавшие много теряют еще до того, как регулирующие органы и учебные заведения погасят пожар.

Происхождение логарифмической периодичности в иерархических системах

Фискретная масштаВшя инваршнтность

Каково же происхождение новейших логопериодических осцилляции, описывающих всеобщее ускорение вфоятности фаха, коэффициента риска фаха и самих фаекторий цены и ценовьк приращений, о которых шла речь в предьщущей главе?

Ответ прост: ифархические сети, такие как, например, ромбовидная решетка, изображенная на Рис. 62, или древовидная решетка, изображенная на Рис. 66, обладают свойством фундаментальной симмефии, назьшаемой дисфсгной Масштабной инвариантностью. Симмефия - это свойство геомефической фигуры или системы, позволяющее данной фигуре или системе оставаться инвариантными при некоторьж специфических видах преобразований, осуществляемых над объектом, например, таких как перенос, вращение, инверсия и расширение.

Наяфимф, обычные плитки, используемые для мощения полов, наделены дисфетной фансляционной симмсфией, так как они инвариантны относительно дисфетных перемещений большого числа плиток, формирующих какой-то узор, поскольку этот узор повторяется пфиодически в замощении. Симмефия доставляет нам эстетическое удовольствие и ее можно увидеть в рисунках напольного пофыгия, кофов или мебели, наблюдать в бриллиантах и древних храмах. Похоже, что природа создавала свои законы, положив в основу набор фундаментальных симмефий, таких как симмефия переноса, вращения и сдвига двух систем координат, движущихся на разных постоянных скоростях (так назьшаемая инвариантность Галилея), а также набор сфытых симмефий, назьшаемых калибровочными симмефиями (они относятся к другим внуфенним переменным, описьгоающим элементфные частицы). Похоже, что все природные явления, материя и энергия возникли лишь как небольшие отклонения от этих основных симмефий. Данные отклонения являются следствием спонтанных нарушений симмефии. Таким образом, фудно переоценить огромное значение симмефии для понимания организации и сложной сфуктуры мира.

Ромбовидная и дреювидная решетки на Рис. 62 и Рис. 66 также обладают симмефией, назьшаемой "масштабной инвариантностью": в пределе, обе геомефические консфукции эксфаполируются на бесконечное число повторений, заменяя ромб одним ребром и наоборот, при этом не меняется ромбовидная сфукгура. Точно так же замена ребра в древовидном фафе, двумя ребрами более мелкого порядка не меняет всей древовидной Сфуктуры на Рис. 66. Другими словами, иерархические ромбовидные и древовидные сети могут в точности воспроизводить себя на различных масштабах или шкалах. Мандельброт (Mandelbrot) [284] ввел в науку, для обозначения таких свойств, тфмин "фрактал". Основьшаясь на пионерской работе Ричфдсона (Richardson) [343] он обнаружил, что многие природные и общественные явления наделены, по файней мере, приблизительно, симмефией масштабной инвариантности. Многие из нас сталкивались с фракталами, рассмафивая префасные, искусные и сложные картины, создаваемые комтшютером. В совремешшк голливудских фильмах используются ландшафты, горные цепи, системы облаков и другие, искусственно созданные при помощи компьютера, природные консфукции. Для производства этих фильмов используются численные рецепты, созданные для того, чтобы создавать фрактальные геомефические фигуры. Оказьшается, что многие из природных сфуктур мира приблизительно могут считаться фракталами [29,126,88, 31,292,394] и наше эстетическое чувство откликается на фрактальные формы.

В самых простых фрактальньпс консфукциях и учебных примерах масштабная инвариантность не вьщфживается в случае произвольного увеличения. Это верно и в отношении двух иерархических решеток на Рис. 62 и Рис. 66. В ромбовидной решетке только такие увеличения, при которых число звеньев умножается на множитель 4, или, говоря более обобщенно, на 4 в любой степени, оставляют решетку инвариантной. В древовидной решетке только увелтиения, при которых число веток умножается на множитель 2, или, говоря более обобщенно, на 2 в любой степени, оставляют решетку инвариантной. Эти особые множители 4 и 2, соответстаенно, являются прямым следствием схемы построения данных



иерархических сетей. Считается, что такие системы, подобные себе только при умножении на произвольную степень множителя, являющуюся целым числом, 4 или 2", или, на любой другой неизменный множитель 2", где и=.. ,-3, -2, -1, 0,1,2,3 ... - целое число, обладают дискретной масштабной инвариантностью [392]. Масштабная дискретная инвариантность представляет собой более слабую симметрию, чем общая масштабная инвариантность: она ограничена дискретным выбором множителей (в данном случае целыми степенями 4 или 2).

фращальньш размерности

В Ш веке до нашей эры Евклид и его ученики ввели в обращение концепцию "размерности" Это показатель степени, способный принимать положительные целые значения, равные числу независимых направлений. Размерность d, например, используется как показатель степени, связывающий обьем V с длиной L: V=L , где V - обобщенный обьем обобщенного куба с гранью длиной L. Реальный куб в нашем трехмфном пространстве имеет d=3, и обьем его равен кубу его грани L. L=LxLxL. Для квадрата d=2, и его площадь равна квадрату его стороны V=LxL. Для отрезка d=l, и его длина равна длине его стороны L, l!=L. Линия обладает одним измфением, плоскость - двумя, объем - тремя. Повфхность шара также имеет 2 измерения, поскольку положение любой из его точек может быть описано двумя координатами, широтой и долготой. Другой способ продемонсфировать то, что поверхность шара обладает размфностью, равной 2, заключается в том, что его площадь пропорциональна квадрату его радиуса.

Во второй половине XIX века и пфвой четверти XX века математики представили себе геомефические фигуры, наделенные дробными размфностями, напримф, d=l,56 или d=,5, и т.п. Вьщающимся опфьпием явилось осознание того факта, что данное обобщение понятия "размфности " от целых до действительных чисел офажает концептуальный скачок в науке от фансляционной инвариантности к непрерывной масштабной инвариантности. Литшя и плоскость остаются неизменными, если рассмафивать их с разных точек, перемещаемых одна в другую. Это свойство назьгоаегся фансляционной инвариантностью. Оказьгоаегся, что объекты с дробными размфностями обладают свойством масштабной инвариантности. Чтобы донести до людей эту новейшую концепцию, как уже отмечалось, Мандельброт создал слово "фрактал" от латинского корня fractus, обозначающего неровность, изломанность и беспорядочность объектов, представимых х, хотя бы приблизительно, масштабно инвариантными. Эта неровность может присутствовать на всех масштабах, что отличает фракталы от форм Евклвда. Мандельброт активно работал, чтобы доказать, что данная концепция - не просто математический курьез, но что она ценна для реального мира. Вьщаюпщмся фактом является то, что обобщение от целочисленных до дробных размфностей, имеет глубокое и интуитивное толковатше: нецелочисленные размфности описьгоают иррегулярные комплексы, состоящие из частей, похожих на целое.

Можно привести множество примеров присутствия фракталов в природе. Напримф, распределение галактик, некоторые горные цепи, дефектные решетки, размещение районов землефясений, скалы, удары молнии, снежинки, речные

системы, бфеговые линии, модели климатических изменений, облака, папоротники и деревья, кровеносные сосуды млекопитающих и т.п.

В своей гшонерской статье [283] Мандельброт вновь вернулся к исследованию, начатому Ричардсоном [343], касавшемуся системы соотношений между длиной национальных фаниц и размером масштаба, и расширил его. Он искусно резюмировал проблему, сформулировав вопрос, вьшесенный в заглавие его статьи [283], "Какова длина бфеговой линии Великобритании?" Данный вопрос - представляет суть фрактальной геомефии. Рис. 69 показьгоает синтетически созданную береговую линию, котфая обладает неровной сфуктурой, сходной с береговой линией французской Бретани.

Рис. 69. Синтетическая фрактальная береговая линия.

Данная береговая линия является неровной, а потому измфение ее прямой линейкой, как показано на Рис. 70, дает нам только приблизительную величину. Определяемая длина L(e) равна длине линейки е, помноженной на число N (е) таких линеек, необходимых для покрытия измфяемого объекта. На Рис. 70 длина бфеговой линии измфена дважды двумя линейками длиной ej и е2, причем длина второй линейки составляет примфно половину длины пфвой: f2= Понятно, что результат, полученный в результате измерения длины L fe) меньшей линейкой Значительно вьште, чем длина L (ej), полученная в результате измерения большей линейкой Для любой ифезанной береговой линии, с неровностями, наблюдаемыми при любом масштабе, результат измерения ее длины, по мфе того как линейка уменьшается, увеличивается. Концегащя (внутренней) длины становится малозначащей и должна быть заменена понятием (относительной) длины, измфяемой с двумя разными разрешениями. На вопрос: "Какова длина



берега Великобритании?", мудрый человек должен ответить либо: "Это зависит от линейки", либо: "Бесконечность" (результат, полученный при помощи бесконечно малой линейки, способной различать мельчайшие детали неровной беретовой линии).

Рис. 70. Применение метода линейки, состоящего в пофьггии неровной линии отрезками фиксированного размера. По мере уменьшения длины линейки охватываются более мелкие детали, и общая длина линии увеличивается.

Фрактальная размфность d количественно точно определяет, как относительная длина Це) изменяется в зависимости от длины линейки е (что мы также назьгоаем "разрешением", поскольку детали меньше £ по определению не видны). По построению, Це) пропорциональна s возведенному в степень 1-d: Це) ~ fi". Тот факт, что показатель степени равен 1-d, а не d в данном вьфажении, следует из определения фрактальной размфносги с точки фения числа элементов, обнаруживаемых при данном рафешении: для рафешения е обычно различимо М(е)=Це)/е элементов. Число элементов, различимых при помощи линейки е, обратно пропорционально е в степени d. Для Великобритании d=l,24, что является дробной величиной. В противоположносп> берегу Британии, береговая линия Южной Африки очень гладкая, фактически дуга офужносги, и й?=/. В общем, чем "более нфовной" является линия, тем больше ее фрактальная размфность, то есть, тем ближе линия к заполнению плоскости (у которой размфность равна 2). Когда d=l длина Це) ~ г" становится независимой от рафешения е, поскольку е =1: только когда фрактальная размфность равна топологической размерности, измфение может не зависеть от масштаба линейки. С данной ситуацией мы лучше всего знакомы из школьных уроков Евклидовой геомефии. Однако, как показьшает данное обсуждение, она составляет исключительный и особый случай: общая ситуация такова, что любое измерение, производимое на объекте, зависит от масштаба, с которым оно производится.

Давайте применим определение фрактальной размфности к двум иерархическим сетям Рис. 62 и Рис. 66. Для ромбовидной решетки Рис. 62 допустим, что отношение длины чстьфех связей, заменяющих одну связь к длине связи, равно г, скажем, 2/3. Тогда каждый раз разрешение умножается на множитель 1/г=3/2, наблюдается четьфе новых связи. Другими словами, когда разрешение умножается на 3/2, число связей умножается на 4. По определению фрактальной размерности, 3/2, возведенные в степень d должны равняться 4. Это подразумевает, что d=Ln4/Ui3/2=3.42. Таким образом, данный объект имеет большую размерность, чем объект в знакомом нам просфанстве. Тот факт, чго многомерный объект может бьтть представлен в (двумерной) плоскости, не является проблемой; это просто значит, что иерархическая консфукция очень много раз пересечет сама себя и, в

Вьфажение (8) определяет так назьшаемую однородную функцию и всфечается в теории фитических явлений, фазовых переходов жидкостей и газов, магнитной фазы, в гидродинамической турбулентности и во многих других системах [112]. Его решение является простой степенной зависимостью (х)=х", где показатель степени а (который ифает такую же роль, что и фрактальная размфность d, обсуждавшееся нами прежде) задается вьфажением

Lnfi

а = -

Данное решение может быть прямо провфено путем подстановки в вьфажение (8). Степенные зависимости являются отличительным тфизнаком

масштабной инвфиантности, так как коэффициент = д° не зависит от

х; то есть относительные значения измфяемой величины по двум различным масштабам зависят только от отношения этих двух масштабов. Это основное свойство, связьшающее степенную зависимость с масштабной инвариантностью, самоподобием и фитичностью.

данном случае, когда размфность меньше 4, мы избежим пересечений и перефьггий только при развертьшании его в пространстве из, по меньшей мере, четьфех измерений. Обратите вниматше, чго фрактальная размфность увеличивается, когда увеличивается г, то есп., когда увеличивается отношение размера каждой из чсгъфех "дочерних" связей к "матфинской" связи (в то же время оставаясь меньше 1). Это просто офажает тот факт, что фрактальный объект заполняет все большее и большее просфанство.

Те же вычисления могут быть повторены для древовидной решетки Рис. 66. Давайте предположим, что длтша вертикальных офезков, отделяющих каждый уровень ветвления один от другого, софащается на тот же самый множителъг=2/3. Теперь каждый раз, когда разрешение увеличивается на множитель 1/г=3/2, можно увидеть в два раза большее количество "веток" нашего дфева. Таким образом, число ветвей удваивается, когда размерность умножается на 3/2. По определению фрактальной размфносш 3/2, возведенные в степень d, должны равняться 2. Эго подразумевает, что d=Ln2/Ln3/2. Ифархическая сеть с размфностью 1,71, таким образом, является в некотфом роде пофедником между линией и плоскостью. Вновь обратите внимание, что фрактальная размфность е растет, когда растет г, то есть когда четъфе связи становятся ненамного короче, чем пфюначальная связь. Масштабная инвариантность и закон подобного преобразования. Концепция (непрерьшной) масштабной инвфиантности означает воспроизведение чего-либо самим себя на разных временных и просфанственных масштабах. Точнее, измфяемая величина , зависящая от "управляющего" пфамефа д:, является инвариантной к масштабу при произвольном изменении дг-д:, если существует число fi(), при котором

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [ 30 ] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]