назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [ 28 ] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]


28

В данной главе мы, прежде всего, покажем, как модели кооперативного поведения, возникающего в результате подражания среди агентов, организованньгх. в иерархическую структуру, демонстрируют вышеназванное критическое явление, украшенное "логопериодичностью". Логопериодичность оказьшается прямым и обпщм признаком существования предпочтительного масштабирующего фактора подобия, (что потом мы назовем инвариантностью дискретной шкалы), соответствующего увеличительному множителю, связывающему один уровень иерархии со следующим. Затем мы немного формализуем эту идею и покажем, как замечательная техника, назьшаемая "фуппа перенормировок или ренормфуппа", извлекает выгоду из сущестювания мультимаштабного самоподобия свойств критического явления, чтобы вьшести фундаментальное и точное описание этих моделей. Мы обеспечим несколько наглядньгх. примеров, включая обобщенную функцию Вейерштрасса (Weierstrass) - фрактальную модель ценовьгх. траекторий фондового рьшка, которая является непрерьшной, но демонстрирует неровные структуры на всех масштабах увеличения.

Еще более интересным и неожиданным является открытие, что логопериодичность и инвариантность дискретной шкалы в критических явлениях могут возникнуть спонтанно и иметь чисто динамическое происхождение, без существовавшей ранее иерархии. Чтобы показать это, мы обсудим простую модель, показьшающую сингулярность конечного времени, появившуюся благодаря положительной обратной связи, вызванной инвестиционными стратегиями следования за трендом. Без дополнительньгх. компонентов, эта модель не представляет из себя какого-либо новшества по фавнению с моделями, представленными в главе 5. Ноюй является идея добавить воздействие фундаментальньгх. аналитиков, которые склонны возвращать цену назад к ее фундаментальной стоимости. Когда данная возвратная сила является нелинейной функцией разности между ценой пузьфя и фундаментальной стоимостью, динамика цены демонсфирует конкуренцию между ускорением степенной зависимости с кульминацией в сингулфности конечного времени, как показано в главе 5, и усиливающимися логопфиодическими осцилляциями, декорирующими это ускорение степенной зависимости. Взаимодействие между этими двумя шаблонами поведения является устойчивым к зависимости от особенностей модели. Интуитивно ясно, что Сфатегий, основанные на фундаментальном анализе, представляют возвратную "силу" на цену, которая постоянно зашкаливает за сюю цель. В присутствии фендследяших сфатегий, обеспечивающих положительную обратную связь, чрезмерные повьшяения имеют тенденцию к ускорению и следованию в направлении ускорения цены, что ведет к постоянно ускоряющимся осцилляциям.

Критические явления имитации в иерархических сетях

3{ерархзтскдя cmpyiqnypa, мждщяя в основе соцгшльньиссет

Инвесторы организованы в общественные, профессиональные сети, определяемые как фуппа людей, каждый из которьгх. знаком с некой подфуппой

других. Общественные сети интенсивно изучались, поскольку они включают в себя модели человеческих взаимодействий, и поскольку их сфуктфа управляет распросфанением информации (и болезней), как бьшо показано в главах 4 и 5.

Стэнли Милфэм (Milgram) [297] сделал одно из пфвых эмпирических исследований сфуктуры общественных сетей. Он просил исследуемых субъектов, выбранных, случайно из телефонного справочника Небраски, отправить письмо заданному субъекту в Бостоне, брокфу, другу Милгрэма Инсфукции заключались в следующем: письма должны были бьтть отправлены адресату (фондовому брокеру) путем передачи их от человека к человеку, но они могли бьтть переданы только тому, кого пфедающий знал лично. Поскольку изначальные получатели писем вряд ли были лично знакомы с бостонским брокером, лучшей их Сфатегией бьшо передать свое письмо кому-то, кто, по их мнению, бьш в некотором роде ближе к фондовому брокфу (социально или геофафически), возможно, кому-то, кого они знали в финансовых фугах или какому-нибудь своему другу в Массачусетсе.

Некоторое число гшсем Милфэма в конечном счете дошло до адресата, и Милфэм обнаружил, что феднее число этапов, пофебовавшихся, чтобы письмо дошло до получателя, примфно равно шести; результат, который с тех пор вошел в фольклор и который обессмертил Джон Гуар (Guare), включивший его в название сюей пьесы "Шесть степеней отчуждения" [182]. Результат, полученный Милфэмом, обычно приюдится в качестве подтвфждения гипотезы о том, что "мир тесен" [445], что большинство пар людей в фуппе могут бьтть связаны очень короткой цепочкой знакомых-пофедников, даже когда размф фуппы очень велик. Бьшо показано, что данный результат по существу применим ко всем общественным сетям, таким как клубы, команды или организации. Примфы: жешцины и общественные мероприятия, которые они посещают, управляющие высшего ранга и клубы, в которых они часто бьшают, директора компаний и советы директоров, в которых они заседают, актеры кино и кинофильмы, в которых они снимаются. Недавно Ньюман (J. Newman) изучил членские сети ученых, в которых связь между двумя учеными устанавливается их соавторством в одном или более научном фуде [313,314]. Данная сеть может представлять собой хорошее приближение для профессиональных сетей, таких как фейдфы и, в меньшей степени, инвесторы. Идея состоит в том, что большинство пф людей, которые вместе написали научную работу, действительно знакомы друг с другом, поскольку предполагается, что они вместе провели исследование, описьшаемое в научной работе.

Идея сетей соавторства не нова. Большинство практикующих математиков знакомы с определением номфа Эрдеша (Ereios) [178]. Пол Эрдеш (1913-1996), много путешествовавший и необыкновенно плодовитый венгерский математик, написал, по меньшей мере, 1400 исследовательских работ по математике в различных ее областях, многие в соавторстве с другими учеными. По определению, его номер Эрдеша равен 0. Соавторы Эрдеша имеют номф Эрдеша, равный 1. Существует 507 человек с номфом Эрдеша 1. Люди, отличные от Эрдеша, которые написали совместную работу с кем-то, кто носит номер Эрдеша 1, но не с Эрдешем, имеют номф 2 и так далее. В настоящий момент существует 5897 людей с номером



Рис. 61. Точка в центре фигуры представляет собой автора двух статей [313,314], изучающего сеть ученых, первый фуг - это его соавторы, второй фуг - соавторы его соавторов. Узы сотрудничества между членами одного фуга, которые весьма многочисленны, были опущены для ясности. Сходная конструкция применима по отношению ко мнотм ученым, включая автора данной книги. Однако, будучи старше, чем автор [313,314], автор данной книги имеет 55 (вместо 26) ближайших соседей-соавторов.

Рис. 62. Первые три этапа итеративных конструкций иерархической ромбовидной решвл{и. р относится к индексу итерации.

Действительно, в большинстве сетей среднее расстояние между любой парой верщин (ученых или трейдеров в нашем следующем примере) пропорционально логарифму числа вершин. Вспомним, что логарифм числа есть не что иное, как показатель степени в экспоненциальном представлении этого числа, то есть он примерно равен числу цифр в числе минус 1 (десятичный логарифм 1000 равен 3, поскольку 1000=10). Таким образом, логарифм - это очень медленно изменяющаяся функция, поскольку умножение числа на 10 соответствует прибавлению 1 к его логарифму. Иерархическая сеть дает простое обьяснение данному пункту. Рассмотрим упрощенную иерархическую структуру, называемую ромбовидной иерархией, чья конструкция представлена на Рис. 62. Давайте начнем с пары инвесторов, связанных друг с другом (р=0). Заменим данную связь ромбовидной, где два начальных трейдера занимают две диаметрально противоположных вершины, и где две другие вершины заняты двумя новыми трейдерами (р=/). Данный ромб содержит четьфе связи. Каждую из этих четьфех связей давайте заменим на ромб точно таким же способом (р=2). Повторение

Эрдеша 2. Если не существует цепочки соавторств, соединяющих кого-то с Эрдещем, тогда номер Эрдеша этого человека считается бесконечным. Автор данной книги имеет номер Эрдеша 3; то есть я публиковался с коллегой, который публиковался с другим коллегой, написавшим работу совместно с Эрдешем. Существует математическое предположение, что диаграмма математиков, организованная вокруг веришны, представленной самим Эрдешем, и связанная с ним, содержит почти всех современных п)бликующихся математиков и не обладает очень большим диаметром; то есть самый большой номер Эрдеша равен 15, в то время как среднее арифметическое равно примерно 4,7 [179,33].

Обьяснение эффекта "тесного мира" проиллюстрировано на Рис. 61, показывающем всех соавторов автора работ [313,314] и всех соавторов этих соавторов, то есть всех его первичных и вторичных соседей в сети соавторства ученых. Как показывает рисунок, Ньюман имеет 26 первичных соседей и 623 вторичных. Поскольку рост числа соседей по мере удаления продолжается с такой впечатляющей скоростью, то потребуется лишь несколько шагов, чтобы достичь размеров, сравнимых со всем ученым сообществом, отсюда эффект "тесного мира".



данной операции большое число раз дает нам иерархическую ромбовидную решепсу. После р повторений, мы имеем дг = +4;) трейдеров и связей

между ними. Поскольку iV и L по существу пропорциональны 4" для большого р, соогветственно порядок повторений р пропорционален логарифму числа трейдеров и числа связей между ними. Логфифм числа N, таким офазом, есть не что иное, как количество, пропорциональное показателю степени заданного контрольного числа (здесь 4), обеспечивающего представление числа N.

Большинство трейдеров имеет только двух соседей, небольшое количество (первоначальные) имеет 2соседей, другие находятся где-то в промежутке между этими числами. Обратите внимание, что наименее связанные агенты имеют в 2* раз меньше соседей, чем те, которые имеют больше всего связей, которые сами имеют примерно в раза меньше соседей, чем всего существует агентов. Вьгоедем среднее арифметическое по всем трейдерам и получим результат, что среднее расстояние между любой парой трейдеров пропорционально индексу итераций р, то есть логарифму числа вершин.

Подобная иерархическая сеть может бьггь более реалистичной моделью сложной сети связей между финансовыми агентами, чем решетка на евклидовой плоскости, используемая в главах 4 и 5 на Рис. 47 - Рис. 50.

Кршттскде поведение в иерсщкинескухсетях

Представьте себе сеть агентов, расположенных в узлах иерархической ромбовидной решетки, показанной на Рис. 62, взаимодействующих с ближайшими соседями через связи в шумовой, подражательной манере, согласно выражению (6). Вспомним, что это вьфажение (6) включает в себя конкуренцию между упорядочивающим эффектом подражания и беспорядочной силой идиосинкразических сигналов, смоделированных как случайный шум. Данная сеть, также как и различные расширения, оказьгоается точно разрешаемой [106, 9]. Расширения сети, показанной на Рис. 62, охватьшают ряд q ветвей, каждая из которых содержит ряд г связок. Конструкция Рис. 62 соответствует q=r=2.

Основные свойства, приобретенные данными сетями сходны с теми, котфые были описаны в управляемой риском модели в главе 5, использующей решетку на евклидовой плоскости, показанную на Рис. 47 - Рис. 50. Здесь существует критическая точка Кс для силы подражания. Как показано на левом графике Рис. 63, вероятность Р(К) того, что крах произойдет, стремится к постоянной величине Р(К (=0,7 в данном примере), увеличиваясь ввфх, и достигая бесконечного ускорения прямо в фитической точке К=Кс. Вспомним, что механизм, лежащий в основе данного поведения, проистекает от существования все большей и большей вероятности коллективного формирования очень большого кластера, таким образом, запускающей механизм координированной продажи в фуппе. Новизной модели, показанной на левом фафике Рис. 63, по сравнению с моделью на Рис. 57 является существование осцилляции, осложняющей всеобщее ускорение. Обратите внимание на то, что эти осцилляции также ускоряются, что видно из того факта, что расетоятше между успешными пересечениями с щтастирной лтшией становится меньше и меньше по мфе приближения Кс. Чтобы отчетливо тфедставить себе

Рис. 63. Левая панель. Вероятность возникновения краха в иерархической ромбовидной сети. В данном примере вероятность достигает своего максимума, равного 0,7 в критической точке К=Кс с бесконечной фивизной после ускорения логопериодических осцилляции. Пунктирная линия - та же самая, что и на левом графике Рис. 57, полученном для евклидовой решетки. Правая панель: коэффициент угрозы фаха для иерархической ромбовидной сети. Пунктирная линия является той же, что и на правом фафике Рис. 57, полученном для евклидовой решетки. Коэффициент угрозы краха пропорционален наклону кривой вероятности, показанной на левом фафике.

0.01

0.1 0.01

(К.-К)/К,

0.1 0.01

(К,-К)/К,

0.001

Рис. 64. Левая панель: Логарифмическая шкала разности /YtHY/Q ускоряющейся части линии вероятности, показанной на левом графике Рис. 63 в зависимости от сокращенного расстояния (Кс-КуКс, также на логарифмической шкале. Решепи по двум остм перевернута, чтобы получить правильное зрительное впечатление, чго чем ближе мы подбираемся к Кс, тем больше вероятность. Правая панель: Логарифмическая шкала коэффициента угрозы краха, показанного на правом фафике Рис. 63, в зависимости от расстояния (Кс-Щс, также на логарифмической шкале. Пунктирная линия относится к чистому ускорению степенной зависимости, полученному для решел(и Евклида и показанному на правой панели Рис. 57. Решетка на горизонтальной оси была перевернута, чп5бы получить правильное зрительное впечатление, что чем ближе мы подбираемся к Кс, тем больше коэффициент угрозы краха.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [ 28 ] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]