назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [ 27 ] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]


27

процесс с обратной связью B(t), таким образом, может бьпъ назван "сингулярными обратными случайными блужданиями". При отсутствии краха процесс B(t) может существовать вплоть до конечного времени: с вероятностью 1 (то есть с определенностью), мы знаем из изучения случайных, блужданий, что W(t) в конечном счете достигнет любого уровня, а именно величины Wc=l в нащем примере, при котором B(t) отклоняется.

2500

2500

2500

2500

Рис. 59. Верхний фафик: Реализация цены пузыря B(t) в Biv:e функции времени, составленная из "сингулярных инверсных случайных блужданий". Это относится к некоторой выборке случайных чисел, используемых при создании случайных блужданий W(t), представленных на втором фафике. Верхняя панель получена путем возведения в степень инверсного значения постоянной Wc, которая здесь она равна 1 минус случайные блуждания, показанные на втором фафике. В данном случае, когда случайные блуждания приближаются к 1, пузырь отклоняется. Обратите внимание на сходность траекторий, показанных на верхнем (B(t)) и втором (W(t)) фафиках, пока случайные блуждания не приближаются к значению Wc=1 слишком сильно. Они могут свободно бродить, но как только они приближаются к 1, цена пузыря B(t) демонстрирует гораздо большую чувствительность и, в конечном счете, опшоняется, когда W(t) доходит до 1. Прежде, чем это произойдет, B(t) может демонстрировать локальные максимумы, то есть локальные пузыри, которые мяп<о сдуваются. Это относится к реализациям того, как случайные блуждания приближаются к Wc, не касаясь его, а затем спонтанно отступают от него. Третий (и, соответственно, четвертый) фафик показывает временной ряд приращений dB(t)=B(t)-B(t-1) пузыря (соответственно, dW(t>iW(t>-W(t-1) для случайных блужданий). Обратите внимание на скачкообразные вспышки сильной изменчивости в пузыре по сравнению с безликим постоянным уровнем колебаний случайных блужданий. Источник [396].

Второе следствие, которое вносит изменения в возможное отклонение цены пузыря, пожалуй, самое важное для режима рьшка с сильно завьштенными ценами. Это воздействие цены на коэффициент угрозы краха, обсуждаемый нами ранее: когда цена взмывает в связи с подражанием, стадностью, спекуляцией и случайностью, коэффициент угрозы краха растет еще быстрее, поэтому произойдет крах и вернет цену назад, ближе к ее фундаментальной величине. Механизмы крахов запускаются сл5Д1айно, управляемые коэффициентом уфозы краха, который является возрастающей функцией пузырной цены. В настоящей формулировке, чем вьпие цена пузыря, тем вьпие вероятность краха. В данной модели крах похож на вьшисанное пациенту слабительное.

Определение коэффициента угрозы краха. Симуляция с использованием компьютерной профаммы идет следующим образом. Во-пфвьтх, мы выбираем дискретизацию времени с шагом St. Затем, зная величину случайных блужданий W(t-dt) и цену B(t-dt) в предшествующее время t-St, мы вьшодим W(t), прибавляя приращение, взятое из цешрированного гауссова распределения с вариацией St. Отсюда мы вьшодим цену B(t), взяв величину, обратную (Wc-W(t)), где а - положительный показатель степени, определенный в модели. Затем мы вьфажаем, при условиях отсутствия арбифажа и рациональных ожиданиях, вероятность h(t) возникновения краха во время следующего временного этапа, где h(t) - коэффициент угрозы краха. Мы фавниваем данную вероятность со случайньм числом гаи, равномфно выбранным в интфвапе [0,1] и запускаем механизм краха, если гаи < h(t). В данном случае цена B(t) меняется на B(t)(l-K), где к взято из предварительно выбранного распределения. Например, спад к при крахе может быть зафиксирован на уровне, скажем, 20%. Слшиком прямолинейно сводить это к арбифажному распределению скачков. После краха динамика продолжается с бесконечно малым приращением, как и раньше, начиная с этого нового значения для времени t, после соответствующего переноса W(t), чтобы обеспечить непрерьшность цен. Если ran > h(t)dt, краха не происходит и динамша повторится на следующем временном шаге.

Таким образом, данная модель предлагает два сценария конца пузыря: спонтатшая дефляция или крах. Эти два механизма являются естественными свойствами модели и не были добавлены искусственно и такие сценарии действительно можно наблюдать на реальных рьшках, что будет описано в гл. 7-9.

Данная модель обладает интересным и далеко идупщм следствием с точки зрения повторения и организации крахов во времени. Действительно, мы видим, что каждый раз, когда случайные блуждания приближаются к выбранной постоянной величине Wc, цена пузьфя взмьшает ввфх, и, согласно условию отсутствия арбитража совместно с рациональными ожиданиями, это подразумевает под собой то, что рьшок входит в "опасные воды" с приближающимся крахом. Модель случайных блужданий обеспечивает нас очень точньм предсказанием времени ожидания между успетиными приближениями к критическому значению Wc, то есть между успешными пузьфями. Распределение данных сроков ожидания считается очень тиироким степенным распределением [394], настолько широким, что среднее время ожидания является



матемагачески бесконечным. На практике это ведет к двум взаимосвязанным явлениям: группированию (пузьфи имеют тенденцию следовать за пузьфями в короткие промежутки времени) и долгосрочной памяти (сроки ожидания между пузьфями становятся очень долгими, как только пузьфь сдувался достаточно долгое время). В частности, за этим следуют забавные парадоксы, такие как "чем больше прошло времени с момента появления последнего пузьфя, тем больше время ожидания до следующего" [402]. Аневдотично, но данное свойство случайных блужданий обьясняет также непреодолимое отчаяние, охватывающее расстроенных, водителей на плотно забитом шоссе, которым кажется, что соседние ряды всегда движутся быстрее, чем их собственный, поскольку такие водители очень часто просто не замечают, как догнали машину, которая прежде бьша рядом с имми: если предположить, что мы можем смоделировать дифференцироватшое движение рядов в фанспортном потоке всего мира при помощи случайных блу>вданий, данное впечатление является прямым следствием отклонения ожидаемого времени от случайных блужданий. Подведем итоги: пузьфная модель "сингулфных инверсных случайных блу>вданий" предсказывает очень большие перемежающиеся колебания времени повторения спекулятивных пузьфей.

К этому легко можно добавить дополнительные усовфшенствования. Действительно, следуя работе [184], где применялась, так назьшаемая, техника переключения Маркова для анализа ценовых приращений, многие ученые документально зафиксировали эмпирическое свидетельство смены режимов в финансовых данных [432, 175, 63, 431, 363, 24, 88, ПО]. Например, Шаллер (Schaller) и Ван Норден (Van Norden) [363] предложили Марковскую модель переключения режимов для спекулятивного поведения, чьи ключевые свойства похожи на свойства нашей модели, а именно превышение цены по сравнению с фундаментальной стоимостью увеличивает вероятность и ожидаемый размер фаха фондового рынка.

Данное свидетельство, вместе с тем фактом, что пузьфи не должны все время проникать в динамику цены, подталкивает нас к следующему естественному расширению модели. При самом простом и экономном расширении, мы можем предположить, что могут произойти только два режима: пузьфь и нормальный. Режим пузьфя следует за предьщущим определением модели и прерывается фахами, случающимися с коэффициентом уфозы, управляемым уровнем цены. Нормальным режимом могут быть, например, стандартные случайные блуждания в рьшочной модели с постоянным маленьким дрейфом и волатильностью. Переключения между режимами предполагаются совершенно случайными. Эта динамическая и очень простая модель обретает по существу все фадиционно наблюдаемые факты эмпирических цен, то есть отсутствие связи с волатильностью, длинный хвост распределений приращений, очевидную фрактальность и мульти-фрактальность, наличие резких плоских пиков в Сфуктуре просто ценовых пиков. Помимо этого, модель предсказывает то, что периоды пузьфей связаны с нестационарными корреляциями растущей волатильности и мы подтверждаем это анализом эмпирических данных. Об этом мы поговорим далее, в наших эмпирических главах 7-10. Предполагается, что очевидная долгосрочная корреляция волатильности является результатом

Рис. 60. Верхний фафик: Индекс Hang Seng (индекс Гонконгской фондовой биржи) (толстая линия) с 1 июля 1991 года по 4 февраля 1994 года (обозначенный "Пузырь II" на Рис. 98., и анализируемый на Рис, 100), а также десять реализаций пузырной модели "сингулярных инверсных случайных блужданий", сгенерированных моделью с нелинейной положительной обратной связью [396]. Каждая реализация относится к произвольным случайным блужданиям, чьи направления и изменения были подопнаны так, чтобы наилучшим образом подходить к распределению приращений индекса Непд Seng. Нижний фафик: Пузырь индекса NASDAQ-КОМПОЗИТ (толстая линия) с 5 окгября 1998 года по 27 марта 2000 года, проанализированный на Рис. 112, наряду с десятью реализациями пузырной модели "сингулярных инверсных случайных блужданий", сгенерированных моделью с нелинейной положительной обратной связью [396]. Каждая реализация соответствует произвольным случайным блужданиям, чьи направления и изменения были подопнаны так, чтобы наилучшим образом подходить к распределению приращений индекса NASDAQ. Источник [396].

случайных переходов от нормального режима к режиму пузыря. Помимо этого, и что, возможно, более важно - вид ценовых фаекторий очень напоминает настоящие, как показано на Рис. 60. Замечательно простая формулировка управляемой ценой пузырной модели "сингулфных инверсных случайных блужданий" способна убедительно воспроизвести вьщающиеся свойства и вид настоящих ценовых фаекторий, с их случайностью, пузырями и фахами.



Модели, управляемые риском, против моделей, управляемых ценой

Вместе, и модели, управляемые риском, и модели, управляемые ценой, представленные в данной главе, описывают систему двух популяций трейдеров -"рациональных" и "шумовых" трейдеров. Случайное подражательное и стадное поведение "шумовых трейдеров" может привести к всемирной кооперации трейдеров и вызвать крах. Рациональные трейдеры обеспечивают прямую связь между риском краха и динамикой ценовых пузырей.

В управляемых риском моделях коэффициент угрозы краха, определяемый по стадности, управляет ценой пузыря. В управляемой ценой модели подражание и стадность приводят к положительным обратным связям с ценой, которая сама создает раступщй риск надвигающегося, но еще не реализованного финансового краха.

Мы считаем, что обе модели охватьшают часть реальности. Их раздельное изучение является частью стандартной стратегии "разделяй и завоевывай" познания сложности мира. Управляемая ценой модель, кажется, пожалуй, более естественной и прямолинейной, поскольку передает предчувствие, что взмьшающие вверх цены неустойчивы и эндогенно провозглашают знащгтельную корректировку или крах. Управляемые риском модели передают очень тонкую внутреннюю организацию фондовых рьшков, связанную с повсеместным равновесием между риском и доходом. Обе модели заключают в себе понятие, что рьшок тонко, самоорганизованно и кооперативно предчувствует крах, оставляя предварительные "отпечатки пальцев", заметные на ценах фондового рынка. Другими словами, подразумевается, что рьшочные цены содержат в себе информацию о надвигающихся крахах. Следующая, 6-ая глава исследует происхождение и природу этих предварительных моделей и прокладьшает путь к законченному анализу крахов реального фондового рьшка и их предшественников.

В главе 6 также имеется описание ценовой динамики, включающей в себя взаимодействие между трейдерами, следующими за трендом, (которые замещают рассматриваемьтх в этой главе шумовьтх трейдеров), и фундаментальными инвесторами (value-investors) (которые заменяют описанных здесь рациональных трейдеров). Признание важности их нелинейного (похожего на переключательное) поведения ведет к режимам, сходным с теми, которые мы описьшали до сих пор, но гораздо более богатым. Данный подход свойственен литературе, предпочитающей занимать промежуточную позицию между полностью рациональным и иррациональным поведением [239]: курс акций может рационально меняться по мере поступления и раскрытия информатщи в самом процессе торговли. Поскольку рьшочные условия не допускают возможности полного объединения информации индивидов в полностью открытое равновесие рациональных ожиданий, цены могут сильно отклоняться от их фундаментальной стоимости. Бьшо продемонстрировано, что отсутствие общеизвестного знания о преференциях и представлениях трейдеров, создает в моделях крахи (смотри [239] и ссыпки там же). Механизм таков, что некоторые внешние новости могут послужить спусковым механизмом для раскрытия внутренних новостей (среди трейдеров) в процессе торговли.

Глава №6 Иерархия, комплексные фрактальные размерности и логопериодичностъ

в предыдущей, 5-ой главе мы вьщвинули концешщю, что критическая точка в домене времени или, что то же самое, сингулярность конечного времени, лежит в основе крахов фондового рынка Крах не является критической или сингулярной точкой сам по себе, но начало сильно зависит от близости критической точки: чем ближе к критическому времени, тем более вероятен крах. Мы увидели, что признаком критического поведения являются степенное ускорение цены, ее волатильносги или коэффшщента угрозы краха при приближении критического времени tc- Цель данной главы - расширить этот анализ и предположить, что следует ожидать дополнительных важных компонентов и моделей, помимо простого степенного ускорения. Важная побудительная причина заключается в том, что весьма сложно обнаружить и квалифицировать степенное ускорение на практике, в присутствии повсеместного шума и беспорядочности траекторий цен фондового рьшка.

Как мы уже подчеркивали, фондовый рьшок состоит из агентов, отличающцхся по размеру на множестю порядков, начиная от шщивидуумов до гигантских профессиональных инвесторов, таких как пенсионные фонды. Существуют сфуктуры даже на более высоких уровнях, таких как сфера валютного влияния (US$, евро, йена,...), и при сегодняшней глобагшзатщи и дерегулировании рьшка можно утверждать, что начинают формироваться структуры самого большого из возможных масштабов - мировой экономики. Это значит, что структура финансовых рьшков имеет свойства, напоминаютцие нам иерархические системы с "агентами" на всех уровнях рьшка. Конечно, это не значит, что существует некая строгая ифархическая сфуктура фондового рьшка Однако критические явления, вызванные силой подражатщя, в данных условиях часто могут демонсфировать весьма неинтуитивное явление, назьшаемое "логопфиодичностью", при котором, например, вероятность или коэффициент Уфозы ускоряются не монотонно, как показано на Рис. 57, но осложнены осциллятдаями с частотами, растущими при приближении критического времени. В данной главе мы исследуем это новейшее явление и о&>ясним его возможное происхождение. Основная тема состоит в том, что данные осцилляционные сфуктуры являются дополнительным признаком надвигающегося критического состояния, даже более устойчивыми по отношению к шуму. Данные модели окажутся полезными для анализа прошлых крахов и при предсказании будущих крахов, представленных в главах 7-10.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [ 27 ] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]