назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [ 25 ] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]


25

Крэффициттрисщ щ><Щ1упраеляшрьшочной ценой

В каждом пфиоде, например, в течение дня, модель допускает, что два и только два компонента, соревнуются в борьбе за возможность определять ежедневное приращетше цены: (1) ежедневная рыночная доходность, который может варьировать изо дня в день; (2) вероятность, что случиться крах.

В датшых рамках условие отсутствия арбитража совместно с рациональными ожиданиями говорят нам, что изменение цены, связанное с рьшочным результатом, должно точно возмещать средние убытки от возможного краха. Средние убытки оценртаются путем рассмотрения всех возможных сценариев, большинство из которых не содержат краха, а, следовательно, и убытков. Только те сценарии, которые ведут к краху, приносят убытки. Мы можем сфуппировать все сценарии, ведущие к краху и сосчитать их. Р1х доля в числе всех возможных сценариев ничтожна, но существует определенный ранее коэффициент риска, характфизующий вероятность краха, говорящую о том, что если крах еще не произошел, то существует возможность, что крах все-таки произойдет. Тогда средние убытки просто равны величине падения рьшка, связанной с периодом краха, умноженной на вероятность того, что такой крах случиться уже сегодня, поскольку все другие сценарии, не допускаюшце краха, не ведут к убыткам. Например, представьте себе, что в определенный день 30%-ый крах имеет вероятность реализации, равную 0,01 (один шанс из 100), и, соответственно, вероятность не реализоваться, равную 0,99. Тогда убытки, рассчитываемые по всем возможным сценариям, равны 30% х 0,01=0,3%. Условие отсутствия арбитража совместно с ратщональными ожиданиями вьтолняется, при условии, что рьшок вознаградигг инвесторов доходом 0,3%. В представленной здесь дискуссии мы, чтобы упростить обсуждение, предположили, что все крахи имеют одинаковую амплитуду. Результаты в основном сходятся, когда в расчет принимают вариабельность размфов крахов. Нам придется провести дополнительный расчет среднего арифметического для всех возможных амплитуд краха.

Эта линия рассуждений дает нам важный результат: рьшочное приращение на временном горизонте от сегодня до завтра пропорционально коэффициенту риска краха. Как уже нами было заявлено, мы сделали вьшод, что чем выше риск краха, тем больше приращение цены. По существу, для того, чтобы инвесторы приняли решение о продлении владения активом, который может рухнуть, более высокий доход по этому активу должен возместить им риск обладания им. Это единственный эффект, который мы хотели бы затронуть в этой части. Данный эффект довольно стандартен и ранее уже отмечался в сходной модели пузьфсй и крахов Бланчарда при рациональных ожиданиях [43]. Возможно, это идет вразрез с наивным представлением, что возможность краха неблагоприятно влияет на цену, но данный результат является единственным, согласующимся с рациональными ожиданиями.

Позвольте подчфкнуть интфесную тонкость, к которой нас приводят данные рассуждения. Условие отсутствия арбитража совместно с рациональными ожиданиями предполагает, что средний совокупный доход в любой момент времени равен нулю. Нулевой средний доход заключает в себе нфеализованные риски надвигающегося краха. Обсуждаемый доход - это не то, что инвесторы

испьгтьшают на самом деле, но то, что будет соответствовать фсднему вьшфьппу, который получила бы фуппа из множества инвесторов, укрупнив свои порпфели и пережив много повторяющихся витков истории, некоторые из которых сопровождались крахом, но большинство траекторий - обошлось без него Напротив, зная, что крах еще не наступил, доход не равный нулю может действительно продемонстрировать все свойства спекулятивного пузьфя с взвинчивающимися ценами. Следует подчеркнуть, что мы не можем достаточно уверенно утвфждать, что между этими двумя способами количественного определения рьшочной доходности нет противоречия. Некоторые могут усомниться в обоснованности процедуры осреднения всех возможных сценариев. Дело в том, что при отсутствии действительных знаний о будущем, лучшим его предиктором является среднее арифметическое всех возможных сценфиев. Данная рьшочная цена отражает равновесие между жадностью покупателей, которые надеются, что пузьфь вздуется, и страхом продавцов, что он вызовет крах. Растушцй и феющцй пузьфь - это такой пузьфь, который мог бы лопнуть, но не лопнул.

Возможно, ситуацию поможет лучше понять следующий примф. Представьте себе, что Вам представилась возможность сьпрать в казино в рулетку, на которую нанесено 100 чисел, так что вы тфяете $30, если выпадает 1, а в остальных случаях получаете $х. Какой должна быть минимальная величина вьпсрьшта $х, чтобы сделать данную шру справедливой и чтобы мы согласились сьпрать? Самая простая идея - потребовать, чтобы вы получили, по меньшей мере, неотрицательный в фсднем вьппрьпи после многих повторений шры. Данное среднее значение вьппрьппа равно произведению $дяс99-$30х1, разделенному на общее число 100 (результаты, вьшадаюшие на рулетке). Таким образом, мы видим, что мтшимальное значение х, делающее средний вьппрьпи положительным равняется $30/99, что очень близко к $0,3. Таким образом, требуется установить минимальный вьппрьпи $0,3 на любое число от 2 до 100, чтобы сделать вьппрьпи справедливым с вашей точки зрения (и в среднем вьподным, если $х больше). Таким образом, до тех пор, пока не вьшадает 1, каждый кон шры дает вам вознафаждение в размере $0,3, что, в свою очфсдь, создает у вас впечатлетше необьжновенного везения в вашу пользу. Действргтельно, поскольку есть только один шанс из 100, что вьшадет 1, типичное количество конов шры, в которых нужно принять участие, чтобы с этим столкнуться - 100. Можно, таким образом, увлечься данной шрой, потому что в нее можно безопасно шрать какое-то время, например п<100 раз, и, таким образом, получить прибьшь в размфс п раз по $0,3. Также как и на фондовом рьшке, игрок в азартные гары должен решить, когда остановиться (выйти из шры) и насладиться вьппрьпием. В противном случае, в конце концов, вьшадет 1 и будет потфян вьппрьпи от 100 конов шры. Данный пример показьшает, каким максимально больпшм может быть доход, при условии, что не произошел крах. Данный доход на самом деле возмещает риск от вьшадения 1 в любое время.

Тепфь предположим, что вы заранее знали, что 1 не вьшадет в следующей ифс. Ясно, что вы будете играть в эту шру, даже если выифьпп $дг меньше, чем $0,3 до тех пор, пока он остается положительным. Именно отсутствие знаний о будущем требует вознафаждения за риск, четко связанный с этим отсутствием знаний. Если



бы мы точно знаш особенности будущего, риск исчез бы, (но это не значит, что не бьшо бы дурных вестей).

Для полноты картины следует добавить, что большинство людей не будут играть в эту игру, если вьшгрьш! $х для чисел от 2 до 100 составит только $0,3, поскольку они нерасположены рисковать: это значит, что большинство людей не любят получать в среднем нулевой вьшгрьпп, в то же время сталкиваясь иногда с возможностью проиграть. Большинству людей явно необходим вьшгрьш! больше $0.3, чтобы они захотели сьпрать в эту игру. Данная тема нерасположенности к риску и ее последствий для экономического моделирования сама по себе является важной темой, уводящей нас к огромному блоку работ, начинающемуся как минимум от книги [443] Фон Нойманна (Von Neumann) и Моргенштерна (Morgenstem). Они вьщвинули концепцию функции полезности, чтобы напрямую обратиться к данной проблеме. Нерасположеьшость к риску является центральным свойством экономической теории, и обычно она считается в разумньгх пределах стабильной. Это связанно с медленно изменяющимися вековыми тенденциями, такими, как перемены в образовании, социальном устройстве общества и обновлении технологий. Для нашей цели достаточно сказать, что рьшочный доход может быть больше, чем минимальная величина, навязанная условием отсутствия арбитража совместно с рациональными ожиданиями, обсуждавшимися вьппе. Важным является сущестювание данного минимума. Неприятие риска можно легко включить в нашу модель, например, сказав, что возможность краха в следующий момент воспринимается трейдерами как фактор в F раз более значимый, чем это есть на самом деле. Это равнозначно умножению нашего коэффициента риска на этот множитель F. Это не вносит каких-либо существенньгх поправок в наши выводы до тех пор, пока фактор F ограничен нулем и бесконечностью (очень маленькое офаничение, не так ли?).

Лодрсщание и стадпоапь управляют к;дэффициентомрисщ Щ)ака

Коэффициент риска фаха количесгвенно измеряет вероятность того, что большая фуппа агентов одновременно разместит у брокеров приказы на продажу и создаст достаточный дисбаланс в портфеле заказов для того, чтобы маркет-мейкеры не смогли бы извлечь прибьшь из противоположной стороны торгов без существенного снижения цен. Большую часть времени рьшочные агенты не согласуются друг с другом и отдают примерно одинаковое количество приказов на покупку и на продажу (все это в периоды хфактеризуются отсутствием фаха). Ключевым вопросом является следующий: какой механизм им внезапно удалось создать, чтобы организовать скоординированную распродажу?

Как уже обсуждалось в последнем разделе главы 4, озаглавленном "Кооперативное поведение, следующее из имитации", все фейдфы мира организованы в сеть (через семью, друзей, коллег и т.д.). Отдельные элементы этой сети оказьшают влияние на своих ближайших соседей (локальные связи в сети). Например, активный фейдер постоянно говорит по телефону, обмениваясь информацией и мнениями с фуппой избранных коллег. Помимо этого, существует KoCBCiffloe взаимодействие, например, при помогци средств массовой информации и Интернета. Наша рабочая гипотеза состоит в том, что агенты склонны подражать

мнениям своего офужения, согласно механизму, детально описанному в главе 4 (раздел, озаглавленный "Отсутствие информации способствует подражанию"). Взаимодействие между людьми имеет тенденцию создавать порядок, в то время как личные черты характера имеют тенденцию творить беспорядок. Беспорядок олицетворяет собой понятия разнородности и разнообразия, как понятия, противоположные единообразию.

Основной темой здесь является борьба между порядком и беспорядком. Что касается цен активов, то фах происходит тогда, когда побеждает порядок (у большинства преобладает одинаковое мнение: следует продавать), в обычньгх. же случаях побеждает беспорядок (продавцы и покупатели не согласны друг с другом и примерно уравновешивают друг друга). Данный механизм не фебует всеобщей координации мнений, поскольку координация на макро-уровне вьфастает из подражания на мифоуровне. Этот механизм опирается на реалистическую модель формирования мнения агентами путем их постоянного взаимодействия.

Бьшо разработано много моделей взаимодействий и подражания среди фейдеров. Мы описали некоторые из них в главе 4. Коротко говоря, вьшод, основанный на их анализе, таков: борьба между порядком и беспорядком часто ведет к возникновеншо режима, где может победить порядок. Когда это случается, пузырь "лопается". Модели, содержащие в себе механизм подражания, проходят данный переход "фитически": чувствительность и реакции рьшка на новости или внешнее влияние профессивно вофастают по мере приближения данного перехода. Это бьшо показано в главе 4 в ряде рисунков Рис. 48 - Рис. 50, представляющих просфанственные конфигурации покупателей и продавцов в простом просфанстве инвесторов, организованном на квадратной решетке, похожей на Манхэттен. Когда сила подражания К приближается к пороговой фитической величтше Кс, (чья величтша не важна и зависит от деталей модели), очень большие фушп.1 инвесторов начинают разделять одно и то же мнение, в результате чего они могут действовать скоординировано. Это приводит нас к значимой характерной черте - "степенной зависимости", которую мы сейчас объясним.

Давайте предположим, что сила подражания /Г гладко изменяется с течением времени, как будет далее показано на Рис. 58, в результате, например, меняющегося уровня осведомленности инвесторов, экономических пфспектив и других подобных факторов. Простейшее предположение, не меняющее природу независимой переменной, состоит в том, что К пропорционально времени. Изначально К мало и в процесс самоорганизации вовлекаются только малые фуппы ршвесторов, как показано на Рис. 48 По мере увеличения К типичный размф кластеров увеличивается, как показано на Рис. 49. Подобные виды систем, демонсфирующие кооперативное поведение, характеризуются гшфоким распределением размеров кластфов s (размер черных осфовков, например) до максимума s* который сам по себе ускоренно растет вплоть до фитического значения Кс, как показано на Рис. 56. Как объяснялось в главе 4, справа от К=Кс, геофафия кластеров заданного вида становится самоподобной, с непрфывной ифархией размеров от самого маленького (индивидуальный инвестор) до самого большого (вся система). В рамках данной феноменологии возможность фаха Сфоится следуютцим образом.



Рис. 56. Усиление степенной зависимости размера s (в условных единицах) типичной самой большой фуппы как функция силы подражания К. По мере приближения Кк ffc, s* отклоняется. Это отклонение воплощает наблкщение, что бесконечно большие группы формируются в критической точке Кс На практике же, 5*офаничена размером системы.

Во-первых, крах соответствует скоординированной распродаже, проводимой большим количеством инвесторов. В нашей простой модели это произойдет, как только одна фуппа связанных между собой инвесторов, которая достаточно велика, чтобы нарушить равновесие рьшка, решит продавать. Вспомним, что "фуппы" определяются выполнением условия, что инвесторы одной и той же фуппы действуют сообща. Когда очень большая фуппа инвесторов начинает одновременно продавать, это создает внезапный дисбаланс, который приводит в движение внезапное падение цены, а, следовательно, и крах. Если быть конкретнее, то мы предполагаем, что крах происходит тогда, когда размф (количество инвесторов) S активной фуппы больше, чем некая минимальная величина s,„. Конкретная величина Sm не важна, важен лишь факт, что s,„ намного больше 1, так что крах может случиться только в результате совместньгх. действий множества фейдеров, которые дестабилизируют рьшок. На данной стадии мы не определяем точно амплитуду краха, только его запуск как нестабильности. Вообще говоря, инвесторы довольно редко меняют свое мнение и шлют маркет-ордера. Таким образом, нам следует ожидать, что только одна или несколько больших фупп будут одновременно активны и смогут запустить в действие механизм краха.

Значит, чтобы произошел крах, нам следует найти, по меньшей мфе, одну Фуппу, превьштающую величину и удостовериться, что данная фуппа действительно активно продает. Поскольку эти два события независимы друг от друга (достижения размером фуппы определенной величины и факт наличия в ней одинакового типа активности), то общая вероятность краха является произведением вероятности нахождения такой фуппы, размф которой больше порога Sm, на вероятность того, что данная фуппа начнет активно продавать. Вероятность rig нахождения фуппы размером s является широко известным свойстюм критического явления [164, 414]: это распределение со степенной зависимостью, усеченное на максимуме s ; данный максимум безфанично растет (за исключением

Офаничения обтцим размером системы) по мере приближения к критическому значению Кс силы подражания, как мы видим на Рис. 56

Если решение продавать, принятое инвестором, принадлежащим к заданной фуппе размером s, было независимо от решений всех других инвесторов той же Фуппы, то вероятность, что такая фугша размером s станет активной в единичный временной интервал, будет пропорциональна числу s инвесторов в данной фугше. Однако уже по определению фуппы, инвесторы, принадлежащие к данной фугше, взаимодействуют друг с другом. Следовательно, решение инвестора распродавать, вероятно, довольно сильно связано с другими инвесторами той же фуппы. Отсюда вероятность в единицу времени того, что специфическая фуппа, состоящая из s инвесторов, станет активной, является функцией числа s инвесторов, приналдежащих к данной фуппе и всех взаимодействий между этими инвесторами. Понятно, что максимальное число взаимодействий внутри фуппы равно s х (s-l)/2; то есть для большой величины s оно становится пропорционально квадрату числа инвесторов в данной фуппе. Это происходит, когда каждый инвестор говорит с каждым из его s-1 коллег. Множитель Уг объясняет факт, что инвестор Энн говорит с инвестором Полом, затем Пол тоже говорит с Энн, и их двойное взаимодействие может учитьшаться только один раз. Конечно, можно представить себе более сложную ситуацию, когда Пол слушает Энн, но Энн не отвечает взаимностью, но это не меняет результат. Несмофя на эти сложности, можно видеть, что вероятность h(t)At в единицу времени At, что фуппа s инвесторов станет активной, должна быть функцией, растущей с размером фуппы s быстрее, чем s, но, возможно, медленнее, чем максимальное число взаимодействий, (пропорциональное s). Простая парамсфизация - взять h(t) At пропорциональным размеру фуппы s, возведенному в степень а, большую чем 1, но меньшую, чем 2. Данный показатель степени а охватьшает коллективную организацию в пределах фуппы размером s, в связи с многочисленными взаимодействиями между инвесторами. Он глубоко связан с концепцией фрактальных размерностей, о которых пойдет речь в главе 6.

Вероятность краха, что, по сути, идентично вероятности найти, по меньшей мере, одну активную фуппу размфом больше, чем минимальный дестабилизируютций размф Sm, является, таким образом, суммой по всем размфам больших s„t произведений вероятностей Rj найти фуппу специфического размера s на их вероятность в единицу времени стать активными (пропорциональную s", что уже было нами сказано). При умеренных технических условиях, можно показать, что коэффициент риска краха демонстрирует усиление степенной зависимости, как показано на Рис. 57. Интуитивно понятно, что данное поведение происходит от взаимодействия между существованием все больших и больших фупп, по мере приближения парамсфа К к своему критическому значению Кс, и нелинейно увеличивающейся вероятности в единицу времени, что фуппа станет активной, по Мфе того как ее типичный размер s* растет при приближении КкКс.В общем, риск краха на едитшцу времени, при наличии знания, что крах еще не произошел, стремительно увеличивается, когда взаимодействие между инвесторами становится настолько сильным, что сеть взаимодействий между трейдфами самоорганизуется в иерархию, содфжащую несколько больших, сформированных спонтанно фупп, демонстрируюпщх коопфативное поведение.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [ 25 ] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]