назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [ 10 ] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]


10

гипотезы независимости между последовательными ценовыми приращениями. Это ведет нас к весьма тонкому пункту, который избежал внимания даже многих из самых умньж наптих коллег в течение определенного времени и все еще не привлекает внимания больщинства других. Этот тонкий пункт состоит в том, что свидетельство наличия в выборке ценовых приращений "выбросов" и чрезвычайньж событий не требует и, даже вообще не синонимично существованию сколь-нибудь заметного "провала" в распределении просадок. Позвольте наглядно и убедительно проиллюстрировшъ это утверждение, позаимствовав аналогию го другой области активных научных исследований, а именно, из исследований сложности водоворотов и вихрей в турбулентных потоках жидкости, типа горных речек или атмосферной завихрений. Поскольку рещение точных уравнений для этих потоков не представляется возможным, то полезный подход должен был упростить проблему до изучения простых игровых моделей, типа, так назьшаемых "корпусных" моделей турбулентности, которые, как полагают, описьшают существенные компоненты таких потоков и в то же время поддаются анализу. Такие "корпусные" модели заменяют трехмерную пространственную область рядом однородных сферических слоев, наподобие луковицы, с радиусами, увеличивающимися, как геометрический ряд 1, 2, 4, 8..., 2п и сообщающимися между собой, главным образом, только с самыми близкими соседями.

Рис. 22. Функция распределения вероятности квадрата скорости жидкости, нормализованная к ее среднему времени, в одиннадцатом слое ифовой модели гидродинамической турбулентиости, обсуждаемой в тексте. Вертикальная ось имеет такой логарифмический масштаб, чго прямая линия, которая помогает глазу, квалифицируется, как очевидное показательное распределение. Обратите внимание на появление чрезвычайно редких и больших взрывов скоростей на фаю, выше экстраполяции прямой линии. Источник [25.

Что касается финансовьж временньж рядов, то большой шгтерес представляет распределение скорости изменетшй между двумя мгноветшями в той же самой позиции или между двумя точками одновременно. Такое распределение для квадрата скорости изменений показано Рис. 22. Обратите внимание на аппроксиматщю экспоненциального снижения, представленную прямой линией и на сосуществование больших колебаний справа для значений от 4 до 7 и далее, (которые не показаны). Обычно, такие большие колебания считаются статистически не значимыми и не добавляют никакого дополнительного понимания. Здесь можно показать, что эти большие колебания скорости жидкости соответствуют интенсивным пикам, когерентно распросфаняющимся через несколько корпусньк слоев с колоколообразной характфистикой, почти независимой от их амплитуды и продолжительности (даже при перемасштабировании их размера и продолжительности). При продлении наблюдений на значительно более длинный период, чтобы аномальные флуктуации, большие значения 4 на Рис. 22 могли бы бьггь смоделированы намного лучше, мы получаем непрфьшные фивые (кроме некоторого постоянного остаточного шума), показанные на Рис. 23. Здесь, каждая из фех фивьж соответствует измерению распределения в данном корпусном слое (п = И, 15, и 18).

На Рис. 23 было вьтолнено стандартное преобразование, при котором сжимались или растягивались абсцисса и ордината для каждой фивой таким образом, чтобы все фи фивые совпали друг с другом. Если такое преобразование окажется успешньм, то это будет означать, по определению, что эти фи распределения идентичньт Этот факт очень полезен для понимания лежащего в основе механизма, а также для использования в будущем при оценивании риска и управлении им. Наивно было бы ожидать, что одинаковая физика применима в каждом из сффических слоев и что, как следствие, распределения должны быть одинаковыми, если не юменять единицу длины разяичньж масштабов, существующих в каждом слое. Здесь, мы наблюдаем, что фи фивые действительно замечательно совпадают, но только для маленьких флуктуации скорости, в то фемя как большие колебания описываются очень разными толстыми хвостами. В противном случае, если попьггаться свести фивые в области больших колебаний скорости, тогда части фивьж, близких к началу (в области мальк скоростей) не сходятся вообще и очень различньт Отсюда можно сделать заключение -распределения приращений скорости, по-видимому, состоят ю двух областей: области, так назьшаемьк "нормального масштабирования" и области эксфемальных событий.

Вывод, который проистекает из приведенного вьш1е обсуждения: концепция "выбросов" и эксфемальньж событий не фебует, чтобы распределение было не гладким, как показано на правой части Рис. 22. Шум да и, в особенности, сам процесс построения распределения будут почти всегда сглаживать фивые. В [252] найдено, что это распределение состоит из двух различньк совокупностей событий, тела и хвоста, которые имеют различную физику, различный масштаб и различные свойства. Это явная демонсфация того факта, что модель турбулентности содфжит выбросы", которые фактуются как четкая фуппа очень больших и весьма редких событий, которые пфемежают нормальную динамику и которые не могут быть



рассматриваемы, как увеличенные версии маленьких флуктуации. Это склоняет нас к догадке, что аномальные свойства "масштабирования" турбулентности могут сходным образом управляться сосуществованием нормальньж безвредньж колебаний скорости и экстремальньк сконцентрированньж событий, возможно, связанньк с определенными вихревыми нитями или другими когерентными структурами [371].

Рис. 23. Функция распределения вероятности квадрата скорости как на Рис. 22, но для гораздо более длинного ряда времени, чтобы хвост распределений для очень больших флуктуации был намного лучше офаничен. Гипотеза о том, что не существует "выбросов" здесь проверяется "разрушением" распределения для трех показанных слоев. В то время, как это имеет успех для маленьких колебаний, хвосты распределений для больших собышй весьма различны, указывая, что экстремальные колебания принадлежат к собственному классу и, следовательно, "выбросы". Вертикальная ось снова в логарифмическом масштабе. Источник [252].

Как следствие, тот факт, что распределение маленьких событий может показывать некоторое искривление или непрерьшное поведение ничего не говорит против гипотезы "выбросов". Следует держать этот пункт в памяти при рассмотрении свидетельств, представленньк ниже для просадок.

Распределение просадок рыночных индексов

JtpoMbiiuMHHbiu индщ Фоу-Флнса

Рис. 24 показывает распределение просадок индекса DJIA в течение 20-го столетия.

Показательное распределение, обсуждавшееся в предыдущей разделе, было

получено при условии, что последовательные ценовые приращения независимы. Есть большая совокупность свидетельств правильности этого предположения в течение большинства торговьж дней [68]. Однако, посмотрите, например, на четырнадцать самьж больших просадок, которые произошли с индексом DJIA в этом столетии. Их характеристики представлены в Табл. 3. Только три из них продолжались один или два дня, в то время как другие девять продолжались четыре дня или больше. Давайте исследуем, в частности, самый большой спад. Он начался 14 октября 1987 (1987.786 в десятичньж годах), продолжался четыре дня и привел к общей потере -30.7 %. Этот крах, состоит из четырех последовательньж отрицательньк приращений: первый день - индекс упал на 3.8%; второй день - на 6.1%; третий день - на 10.4%; и четвертый день - на 30.7%. В терминах последовательньж потерь, это соответствует 3.8%, 2.4%, 4.6% и затем 22.6% в день, известный, как Черный в понедельник октября 1987.

0.2 0.15

Draw Down

0.05

Рис. 24. Количество раз, когда данный уровень просадки наблюдался в 20-м столетии для DJIA. Источник [220].

Наблюдение больших последовательньж падений свидетельствует, как мы уже заметили, на существование временной, преходящей корреляции. Для Доу-Джонса такое рассуждение может быть следующим образом. Мы используем простую форму функции распределения дневньж потерь, а именно, экспоненциальное распределение с коэффициентом затухания 1/0.63%, полученным при подгонке под распределение просадок, показанное на Рис. 24. Качество экспоненциальной модели подтверждается прямыми вычислениями средней амплитуды потфи, эквивалентной 0.67% и ее стандартного отклонения, равного 0-61% (вспомним, что точная экспонента дала бы три равньж значения: 1/затухание ~ среднее = стандартное отклонение). Используя эти числовые значения, получаем вероятность падения равного или большего, чем 3.8% будет ехр(-3,8/0.63)=2.4х10"- (событие, происходящее примерно раз в два года); вероятность падения равного или большего, чем 2.4% - ехр(-2.4/0.63>=2.2х10" (собьпие, происходящее примерно раз



в два месша); вероятность падения равного или большего, чем 4.6% будет ехр (-4.6/0.63)=6.7х10 (собьпие, встречающееся примерно раз в шесть лег); вероятность падения равного или большего, чем 22.6% есть ехр(-22.6/0.63) = 2.6x10" (собьпие, встречающееся примерно раз в 1014 лет). Вместе, согласно гипотезе о том, что ежедневные потери являются некоррелированными между собой, последовательность из четырех падений, делающих самую большую просадку, происходит с вероятностью Ш, то есть, приблизительно, однажды за 4 тысячи миллиардов лет. Эта чрезвычайно малая величина -10 говорит о том, что гипотеза о некоррелированных ежедневных приращений должна быть отклонена: просадки, особенно большие, могут показывать неустойчивые корреляции в ценовом временном ряду.

Табл. 3 Характеристики 14 самых больших падений индекса DJIA в 20 веке

Ранг

Время начала

Значение тшдекса

Длительность (дней)

Потери

87.786

2508.16

-30.7%

14.579

76.7

-28.8%

29.818

301.22

-23.6%

33.549

108.67

-18.6%

32.249

77.15

-18.5%

29.852

238.19

-16.6%

29.835

273.51

-16.6%

32.630

67.5

-14.8%

31.93

90.14

-14.3%

32.694

76.54

-13.9%

74.719

674.05

-13.3%

30.444

239.69

-12.4%

31.735

109.86

-12.9%

98.649

8602.65

-12.4%

Время начала дано в десятичных годах. Источник [220].

Яндекс Ш5ЛШ0:К9мгюэит

На Рис. 25, мы видим ранжирование просадок для индекса Nasdaq-композит, с момента его создания в 1971 до 18 апреля 2000. Ранжирование, которое аналогично кумулятивному распределению с поменянными местами осями акцентирует внимание на самых больших собьттиях. Четыре самых больших собьпия расположены не на линии продолжения распределения мелких собьттий: скачок между рангом 4 и 5 в относительном значении больше, чем 33%, в то время как соответствующий скачок между разрядом 5 и 6 - меньше, чем 1% и этот факт остается справедливым и для более высоких рангов. Это означает, что, для просадок, меньших, чем 12.5%, мы имеем более или менее "гладкую" кривую, а затем, разрыв, больший, чем 33%, ведущий к рангам 3 и 4. Эти четыре собьпия, согласно рангу таковы: крах апреля 2000, крах октября 1987, "послешоковый" спад, больший, чем 17%, связанный с крахом октября 1987, и падение, большее 16%,

связанное с "медленным крахом" августа 1998, который мы обсудим позже, в главе 7.

Apr. 2000

" Oct. 1987

Oct. 1987 - .Aug. 1998

1000

Rank

Рис. 25. Ранжирование просадок индекса Nasdaq-композит, начиная с его учреедения в 1971 до 18 апреля 2000. Ранг 1 (апрель 2000) является самым большим спадом, ранг 2 (октябрь 1987, в максимуме) второй по величине и тд. Источник [217].

Чтобы увеличить статистическую значимость, на основании которой мы можем заключить, что четьфе самьж больших собьпия - являются "выбросами", мы перетасовали дневные ценовые приращения 1,000 раз и, следовательно, сгенфировали 1,000 синтетических наборов данных. Эта процедура означает, что синтетические наборы данных будут иметь то же самое распределение ежедневных приращений. Однако, корреляции высшего порядка и зависимость, которая может присутствовать в самых больших просадках, будут разрушены такой пфетасовкой. Этот, так назьшаемый, "идентификационный" анализ данных распределения просадок имеет преимущество - он является не параметрическим, то есть независимым от качества соответствия экспоненциальной модели, или любой другой модели. Теперь мы сравним распределение просадок и для реальных данных, и для синтетических данных. Относительно синтетических данных, это может быть сделано двумя дополнительными способами.

На Рис. 26, мы видим распределение просадок индекса Nasdaq по сравнению с двумя линиями, построенными на уровне довфия 99% для всего ансамбля синтетических просадок, то есть, рассмафивая индивидуальньге просадки, как независимьге: для любой данной просадки, вфхняя (соответственно, нижняя) линия доверия проходит так, что пятфо из синтетических распределений располагаются выше (ниже) неё. Как следствие, 990 синтетических временных рядов из этой 1,000 - расположены в пределах двух линий доверия для любой величины спада, что определяет типичный интфвал, в пределах которого мы ожидаем обнаружить эмпирическое распределение.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [ 10 ] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]