При неизменности начального капитала и повторяющейся игре с постоянной ставкой вероятность разорения будет минимальной при выборе такой ставки, которая была бы совместимой с суммой желаемого выигрыша.
Пример 2. Рассмотрим ту же «невыгодную» игровую ситуацию, при которой q = 0,55, р = 0,45. И пусть z = 90, а w = 100 «условных единиц».
Если при каждом испытании ставка будет равной одной «условной единице», то вероятность разорения, действительно, составит почти предельную величину:
Q(z = 0) = 0,866.
Но если увеличить ставку до максимально возможного значения (при заданных условиях оно равно w - z = 100 - 90 = 10), то столь неблагоприятный прогноз меняется кардинально. И хотя математическое ожидание выигрыша остается тем же, вероятность разорения составит всего лишь 0,210, а выигрыша - возрастет до 0,790.
Как видим, несмотря на неблагоприятное соотношения р и q, у «обреченного» игрока есть значительные шансы выйти победителем в какой-то из попыток.
Разумеется, эту победу можно сохранить лишь тогда, когда игрок имеет право тут же раскланяться и удалиться подальше от места игры.
2. По существу, близкие к этим результаты можно получить и для испытаний с «идеальной» монетой (q =р).
Правда, вышеприведенная формула оценки вероятности разорения здесь не годится. Выведена более простая:
Q(-z) = 1 - (z/w),
где (w - z) > О - «чистый» выигрыш.
Тогда вероятность такого исхода:
P(z) = 1 - Q(-z) = z/w.
Если исследовать зависимость функции Q(z/w) от соотношения переменных Z и W, то обнаруживается следующее (см. рисунок 13).
При некотором заданном постоянном значении z (z = const) вероятность разорения уменьшается по мере изменения величины w в сторону сближения с Z. И вероятность разорения достигает минимальных значений, когда величины W и Z становятся сравнимыми (z ~ w).
Это правило можно сформулировать таким образом:
• вероятность разорения в игре с постоянной ставкой становится минимальной при малом в сравнении с исходным капиталом z
выифыше как цели игры и максимально приближенной к «чистому» выигрышу (w - z) ставке.
При р = q вероятность разорения Q становится минимальной, а выигрыша Р - максимальной при двух условиях: 1) минимальная цель выигрыша; 2) максимальная ставка.
Y = Q(z/w)
Z « W Z = 0,5w z - w
Рисунок 13. функция Y = 1 - X (гдех = z/w, ног<ш)
Пример 3. (это условия примера 2, но только для значения q = р). При ставке, равной 0,lz, получим, что:
W = Z + 0,lz.
И тогда вероятность разорения
Q(-z) = 1 - (z/w) = 1 - z / (z + 0,lz) = = 1 -10 / 11 = 1 /11 = 0,09.
A вероятность выигрыша
P(w) = 0,1/1,1 = 0,91.
Приведем в этой связи некоторые расчеты для соотношений, с которыми реально имеет дело трейдер-индивидуал.
При этом обратим внимание на два суш;ественных момента, касаюш;ихся условий игры:
1) ставка является аналогом стоп-ордера по прибыли (stop-profit) в каждом отдельном испытании (срабатывании «сигнала»);
2) исходный капитал z выполняет одновременно две функции: и стоп-ордера по убытку (stop-loss), и ордера «стоп-операция».
Пусть игрок имеет начальный капитал в $3000. Ставка (stop-profit) при каждой игре составляет $300. Это происходит при стоп-ордере в 30 базисных пунктов при операциях с британским фунтом стерлингов (GBP), скажем, против доллара США.
Тогда имеем условия: z = 3000 и w = 3300.
Но поскольку в качестве «условной единицы» служит величина $300, то в масштабе исчисления, использованного выше, это означает, что z = 10, а w=z + 0,lz = ll.H мы приходим к условиям и решениям примера 3, где: Q(-z) = 0,09 и P(w) = 0,91.
Как видим, при неблагоприятном соотношении р < q можно, управляя значениями w, z и размером ставки, добиться впечатляюще хороших пропорций Q(z) и P(w).
Математическое ожидание результата. Под математическим ожиданием выигрыша здесь понимается средний результат испытаний, который ожидается при повторении одной и той же игры.
В этой связи возникает вопрос о том, каково математическое ожидание результата, т.е. средний выигрыш в ходе продолжительного повторения игры, при условиях:
• неблагоприятного соотношения р < q;
• благоприятного соотношения Q(-z) < P(w).
Как следует из условий, конечный результат игры («победа» w или «поражение» Z = 0) - это случайная переменная, которая принимает одно из двух значений:
• (W-Z);
• (-Z).
Тогда математическое ожидание выигрыша (Е) для любого, в том числе и равного, соотношения q и р*:
Е = P(w) X (w - z) - Q(z = 0) X (-Z) = w X P(w) - z.
A при q = p:
E = wx{l-Q(z = 0)}-z.
Если в эти формулы подставить значения Q(z = 0), то получим: Е(для q > р) < О