назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [ 23 ] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96]


23

Согласно первой теореме о возвращении, наиболее вероятными конфигурациями при случайном блуждании являются тренд и полуволна.

Как видим, эти результаты полностью согласуются с первой теоремой арксинуса.

Очевидно, что точку завершения «полуволновой» конфигурации можно рассматривать как начало координат для последующего развития событий. Тогда следующая полуволна (см. рисунок) приведет к волне вида «зфе-занной» синусоиды (А) или ее нормального варианта (Б).

«Урезанная» синусоида

Нормальная синусоида

Рисунок 10. Волновая конфигурация

Теорема 2. Это конкретная оценка вероятностей, которые составляют содержание теоремы 1.

Речь идет о вероятности события, определенного как «не более чем некоторое заданное число возвращений в начало координат».

Как раз об этом и говорит теорема 2.

В более строгой формулировке она звучит так: для некоторого фиксированного числа j > О вероятность того, что в серии испытаний от О до 2г точка блуждания вернется в начало координат не более j х (2г) раз (при возрастании 2г до бесконечности), стремится к следующей величине:

Р(н «j X (2г)*/2) = (2 / пу/ X J fl / {г,?!*» 5s>}.



1000 \2000 3000 4000 5000 бШ

Рисунок 11. Путь блуждания при 6000 испытаниях «идеальной» монеты

По таблице нормальной функции распределения можно найти, что вероятность того, что произойдет не более 0,6745 х (2г) возвращений в ноль, близка к 0,5**.

Тогда можно посчитать, что, например, для 10 ООО испытаний с вероятностью 0,5 произойдет не более 68 «ничьих». Учитывая, что только половина приведет к смене лидерства (поскольку вероятность 0,5), средняя «длина волны» между последовательными изменениями лидерства составит примерно 300 шагов (в какой-то конкретной серии испытаний эта цифра, естественно, может быть иной).

Теоремы о возвращении точки блуждания в начало координат доказывают, что существуют два наиболее вероятных сценария развития событий при случайном блуждании. Один из них - ни одного возвращения. Другой сценарий, который является столь же вероятным, - это возникновение волновой конфигурации движения.

Там же. С. 100. Там же. С. 98.

Мы не будем анализировать эту функцию, а лишь подчеркнем, что вероятность пересечения «нулевой отметки» будет возрастать пропорционально не 2г, а квадратному корню из этой величины (2г*/).

Эта формула означает, что и длина волны будет также возрастать по мере увеличения числа испытаний.

Вторая теорема о возвращении показывает, что длина волны при возвращении точки случайного блуждания в начало координат будет возрастать пропорционально корню квадратному из числа испытаний (2г*/), где 2г - длина данной серии.

В качестве примера у В. Феллера приведены результаты серий из 6000 испытаний. При этом зафиксировано, что длина первой волны приблизительно 1000, второй - 2000 и третьей - 3000 шагов (см. рисунок)*.



«Закон инерции»

Содержание. Если попытаться извлечь из собственной памяти остатки школьных знаний, то имя Исаака Ньютона, наверняка, покажется знакомым даже тем читателям, для которых физика не относилась к числу самых любимых наук.

Знаменитый ученый сформулировал закон инерции, который гласит, что если физическому телу ничего не мешает (равнодействующая всех сил равна нулю), то оно продолжит равномерное движение (инерция движения) или будет оставаться в состоянии покоя (инерция покоя).

Там же. С. 101-102.

Русские народные пословицы и поговорки. Сост. А. Жигулев. - М.: Московский рабочий, 1958.

В этой связи возникает еще один вопрос: о расположении максимумов. Представление об этом позволит формулировать ожидания, обоснованными соответствующими вероятностными оценками.

Второй закон арксинуса: положение максимумов. Вспомним две совер-щенно противоречивые народные мудрости: «новичкам везет» и «первый блин - комом». Оказывается, что народ по-своему сформулировал вторую теорему арксинуса.

Оставляя за рамками нащего рассмотрения сложные расчеты, отметим только, что, согласно этому закону арксинуса, существует сильная тенденция к расположению максимумов вблизи начальной или конечной точек пути блуждания*.

Однако народ это подметил гораздо раньще ученых мужей и отразил в своих мудрых поговорках.

Сценарий «первого блина» выражен в «законе бутерброда» (он же «закон подлости»). Слышится он и в поговорке: «Что ни начну, все неудача».

С другой стороны, очевидно, что именно данный закон послужил основой и для такого народного наблюдения: «новичкам везет», «и неладно, да удачливо», «за что ни возьмется, все ему удается»**.

Правда, так получается не у всех, а только у самых удачливых игроков. Иначе говоря, «везет тем, кого случай везет». А всем остальным новичкам гарантирован «первый блин комом».

Впрочем, всегда есть место для надежд на то, что со временем все образуется.

Второй закон арксинуса говорит о том, что одним новичкам «непременно повезет». Зато у других «первый блин» обязательно будет «комом».

Безусловно, в каждой отдельной серии испытаний конфигурация волны может быть различной, но тренды и волны следует воспринимать как наиболее вероятное развитие событий.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [ 23 ] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96]