Априорная (а priori) вероятность - это оценка, теоретически принятая или исчисленная до появления эмпирических данных по результатам проведенных опытов. Вероятность, полученная эмпирическим путем, называется anocTepnopHoii (а posteriori).
При этом особенно важно отметить, что одному и тому же значению переменной к могут соответствовать разные конфигурации (профили) графика эффективности.
Число успехов в биномиальных испытаниях - это случайная величина. При этом одному и тому же значению к могут соответствовать графики различной конфигурации (профилей).
Наиболее вероятное значение. Каждое значение к, будучи случайной величиной, может характеризоваться своей вероятностью возникновения. Поэтому можно полагать, что в каждой модели существуют некие наиболее вероятные значения к. Слишком большие отклонения величины к от этих наиболее вероятных значений в какой-то конкретной серии испытаний менее вероятны, чем маленькие.
Следует подчеркнуть различие между вероятностью некого числа «успехов» Р(к) и вероятностью «успеха» р в каждом отдельном испытании.
Напомним, что важнейшей особенностью «чистого» случая является независимость вероятности «успеха» (р) в каждом отдельном испытании от истории предыдущих результатов. Соответственно вероятность «неудачи» q = 1 - р.
Нас интересуют вероятностные оценки Р(к/г/р) в зависимости от трех переменных:
• числа «успехов» к;
• исходных значений q и р в биномиальных испытаниях;
• длины серии г.
В рамках модели случайности можно рассматривать поведение кривой эффективности какого-то заданного «сигнала», имеющего определенную «оболочку» и конкретную «настройку» (по прибыли и убытку).
Одна из частных, но практически важных моделей - это «идеальная монета», где
p = q = 0,5.
Для модели «разновеликая монета» соотношение р : q может быть любым.
Как мы уже ранее видели, изменения априорных вероятностей* р и q зависит от «настройки сигнала».
О способе теоретического расчета этих значений речь пойдет несколько позже. Что же касается эмпирических значений р и q, то их можно получить по результатам наблюдений числа «успехов» к в заданной серии испытаний г:
p = k/r(q = l-k/r),
где к - число «успехов» в г проведенных испытаниях.
Учтем, что число «неудач» будет равно (г - к). Соответственно суммарный баланс (число «успехов» минус число «неудач») можно представить в виде выражения:
к-(г-к) = 2к-г.
Допустим, что может быть проведено N серий по г испытаний в каждой. При этом результаты каждого испытания обозначим соответствующим «вектором эффективности» в дополнительном измерении, где:
• на оси абсцисс откладывается порядковый номер испытания (от 1 до г);
• на оси ординат - суммарный результат, т.е. текущая балансовая разница между абсолютными значениями «успехов» и «неудач».
Тогда результаты каждой серии испытаний предстанут на графике в виде кривой случайного блуждания длиной в г векторов. Проведя аналогию между г и временем Т, а также между балансовым результатом (2к - г) и пространством перемещения, можно говорить о пространственно-временном графике блуждания.
Если (2к - г) > О, то точка блуждания находится в положительной части пространства (правая верхняя четверть). При (2к - г) < О точка находится в отрицательной половине (правая нижняя четверть).
Для каждой «нулевой отметки» (нахождение точки блуждания на оси абсцисс) справедливо равенство 2к = г.
Это означает, что число «успехов» и «неудач» будет равным при условии четности количества испытаний.
Рассмотрим событие: «г испытаний привели к суммарному числу успехов к (независимо от конфигурации их возникновения)».
В комбинаторике выведена формула расчета для общего случая р и q, и мы даем ее без вывода:
Р(к/г/р) = С(к/г) X р X q<
Для наглядности представим некоторые расчеты по испытаниям с «идеальной монетой», для которой р = q = 0,5.
Тогда можно рассчитать вероятность Р(к/г/0,5) того, что г испытаний привели к раз к «успеху»:
Р(к/г) = С(к/г) : 2
Случайная величина к имеет распределение результатов, которое называется биномиальным. Известно, что при постоянном значении г изменение
этой функции в зависимости от к имеет примерно следующий вид (см. рисунок).
Y = p
р = max
к(ср)
Рисунок 7. Функция Y = f(k, г = const)
Как видим, максимальному значению вероятности соответствует определенное среднее число к(ср). Его называют наиболее вероятным числом «успехов».
Для условия р = q = 0,5 наиболее вероятное значение числа «успехов» к(ср) = г/2 (при четном значении г).
Каждое число «успехов» при биномиальных испытаниях имеет свою вероятность появления, зависящую от соотношения значений р и q. При р = q = 0,5 наиболее вероятное значение к(ср) = г/2.
Этот результат вполне соответствует обьщенным представлениям.
Можно рассчитать, что для испытаний, где г = 8 бросков монеты эта вероятностная функция будет принимать следующие значения:
Р( «успехов» = О/г = 8) = 1: 256;
Р(1/8) = 8/256;
Р(2/8) = 28/256;
Р(3/8) = 56/256;
Р(4/8) = 70/256;
Р(5/8) = 56/256;
Р(6/8) = 28/256;
Р(7/8) = 8/256;
Р(8/8) = 1/256.
Как видим, наиболее вероятное число «успехов» равно 4. А конкретное значение вероятности этого события: 70 / 256 = 0,27 (см. рисунок).