особенности по времени восстановления элементов ЗИП) оправдывает применение простейших методов расчета. Более того, эта точность может быть настолько низкой, что потребует учета дополнительных затрат, возникающих из-за незнания истинных параметров модели.
Подобные ситуации рассматривались в разд. 5.7 в связи с планированием невосстанавливаемого запаса. Применим тот же подход к задаче о восстанавливаемом ЗИП при априорно неизвестных интенсивности отказов Л и восстановлений р . Как было показано выше, оптимальный запас зависит от названных параметров только через их отношение р - \/р . С помощью предварительных просчетов по аналогии или методом экспертных оценок можно установить лишь диапазон изменения 0<а</?<6<1, причем ввиду недостаточности информации р приходится считать случайной величиной, распределенной на [а, 6] равновероятно. Попутно заметим, что равномерность распределения не является ограничением обсуждаемого метода. Это положение используется только при выводе формулы для расчета затрат и ее конкретизации. При наличии другого распределения оно вводится в расчетную схему аналогичным образом.
Запишем целевую функцию затрат в общем виде как
L = /i5-hc/y?(s), (9.9.1)
где (f[s) - основание для начисления штрафа. Необходимым условием оптимальности запаса s является одновременное выполнение неравенств
L(5 + 1)~L(5) = h-VdA) > О, L(s)-L{s-l) = h-dA<f{s-l) < О,
Аф - 1) < -h/d < Аф). (9.9.2)
Расчет начинается с определения минимального запаса Smin при ро = а ]л максимального sax - при р = b. Очевидно, отрезок [а, 6] может быть разбит на тах - Smin + 1 непересекающихся интервалов, в каждом из которых оптимально свое значение запаса. Найдем координату точки деления pi . На границе смежных крайних слева интервалов запасы Smin и Smin + 1 ДОЛЖНЫ доставлять равные значения правой части (9.9.1), откуда следует
h-\-Ain,Pi) = 0. (9.9.3)
Решая это уравнение относительно pi , можно найти первую границу между интервалами постоянства оптимального запаса. Далее запас увеличивается на единицу и находится граница следующего интервала и т.д. - до Smax - 1 • Правой границей последнего интервала служит р - Ь . Теперь нетрудно сформировать массивы />[0 : т] точек деления, р[\ : т] вероятностей р G [pi-i,pi] и оптимальных запасов .s*[l : т] . Усредненное по интервалу значение ожидаемых затрат
Li(s)=i / L{s,p) f{p)dp = hs+-- / (p{s,p)dp.
J Pi - pii J
Pt-i Pt~i
(9.9.4)
Придавая переменной s значения оптимальных запасов для различных интервалов, можно сформировать матрицу затрат L - {L,(5j)} . Теперь можно получить вектор ожидаемых затрат
R=LxP (9.9.5)
и по номеру его минимальной компоненты выбрать оптимальный запас.
Другим критерием может служить минимум ожидаемого риска. Вычитая из элементов каждой строки матрицы L диагональные, получаем матрицу ожидаемого риска и по номеру минимальной компоненты вектора ожидаемого риска выбираем наименее рискованное значение запаса. Нетрудно показать, что этот выбор, вообще говоря, не совпадает с выбором по минимуму затрат. В самом деле, г-я составляющая вектора ожидаемого риска
т т т т
= Е = E(i - ) = Е i -LiiPj = r,- Ui,
j=i j=i i=i j=i
где r, - одноименная компонента вектора ожидаемых затрат. Поскольку разность между Г{ и зависит от г, положения минимальных компонент могут не совпадать. Очевидная монотонность возрастания Ьц по i позволяет указать и направление возможного смещения: выбор по минимуму риска всегда приводит к большим или равным запасам, чем выбор по минимуму затрат.
Перейдем к выбору расчетных соотношений для основных типов исследуемых моделей.
9.9.1. Однолинейная система со штрафом по вероятности дефицита
Воспользовавшись формулами разд. 9.2, для названного случая имеем
Li(s) = hs-{-- / р dp = hs-\-
Pi - Pi-i J
(s + 2)(pi-pii)
Приращение вероятности дефицита
. (9.9.6)
(9.9.7)
ЧТО позволяет переписать уравнение для граничного коэффициента загрузки в форме h - dp{l - />) = О и искать его решение по итерационной формуле
11/(+1)
В качестве начального значения может использоваться ранее найденная левая граница того же интервала (она же - правая граница предыдущего).
9.9.2. Однолинейная система со штрафом по ожидаемому дефициту
В данном случае
Li{s) = hs+- /--dp.
Pi - Pi-i J I- P p,-i
p- + l -1 + 1
o+i - 1
1-p 1-P 1-P P-1 1-P
Интегрируя это выражение почленно, получаем
Li{s) = hs +
Pi - Pi-i
Mi-p) + Et
fe=l
p.-l
fc=0
(9.9.9)