Самостоятельный интерес представляют частные случаи - порог включения и разогрев порознь. В первом случае Ь - Ь* , 0*{) = /?() и подставляемая в выражение для р* средняя длина ПНЗ

Тв = г6/(1-А6).

Во втором случае (г = 1) ПЛС распределения пребывания сводится к

( l~s/X-0is) причем Тв = 67(1 - Л6) , р5 = 1/(1 + ХТв) •

9.8. Замкнутая система восстановления

Полученные выше результаты относились к ситуации, когда интенсивность Xk потока заявок на восстановление не зависит от числа к находящихся в ремонтном органе необслуженных заявок. В противном случае говорят о замкнутых системах обслуживания. При ограниченном числе R источников заявок обычно считают, что Х - X(R - к) . Методы расчета марковских систем подобного вида хорошо известны (формулы Энгсета). Рассчитывать немарковские системы значительно сложнее. Особенно труден анализ системы, где интенсивность отказов зависит от объема ЗИПа s (запас s рассматривается как холодный резерв, не подверженный отказам). Между тем этот случай достаточно типичен. Если считать, что в рабочей системе установлены R источников заявок, то интенсивность отказов будет оставаться постоянной и равной XR , пока в системе восстановления не скопится к > s заявок. Тогда интенсивность потока заявок начнет убывать по закону Xk - X[R - [к - s)\. Методика расчета подобной СМО вида М/G/l/(R-\-s) была предложена автором в статье [65], оказалась весьма громоздкой и к тому же неприменимой для многоканальных систем восстановления. Однако аппроксимационные методы, описанные в главе 3, без труда обобщаются и на этот случай. Здесь мы отметим особенности его реализации:

1) Число ярусов диаграммы равно R-\-s-\-l.

2) Интенсивность потока заявок зависит от номера яруса.

3) Система уравнений баланса вероятностей микросостояний решается только методом итераций.

7Г/, =

/ А:-1 \ /

\ j = l

k=zO,R-\-s-l, (9.8.2)

е = 1.

9.8.2. Расчет стационарных вероятностей

Вновь обозначим через а среднюю частоту немарковских переходов между состояниями системы. Средний интервал между такими

4) Условие баланса заявок, используемое для расчета вероятности свободного состояния для разомкнутых систем, должно быть заменено требованием нормировки вероятностей.

В отличие от ранее рассмотренных ситуаций, редуцированные формы условия оптимальности объема ЗИПа здесь неприменимы, и задачу приходится решать перебором в разумном диапазоне, непосредственно сравнивая значения ожидаемых затрат. При этом для каждого рассматриваемого s систему восстановления придется рассчитывать заново.

Найдем способ расчета стационарных вероятностей состояний одноканальной системы с указанной зависимостью интенсивности потока от числа заявок в ней и произвольным распределением длительности обслуживания В{1) .

9.8.1. Расчет вложенной цепи Маркова

Вложенную цепь Маркова для интересующего нас процесса мы вновь будем строить аналогично разд. 3.13. Обозначим qk,j вероятность прибытия j новых требований за время обслуживания при начальном состоянии к . В нашем случае финальные вероятности состояний вложенной цепи связаны системой уравнений

к + 1

= I] зЧзМ+1-3 + 7Годо,/с, = О, Д + 5 - 2. (9.8.1)

Из этих формул выводим рекуррентные выражения для расчета вероятностей:

переходами

= 6(1 - 7Го) + (1/Ло + 6)7Го = 6 + 7Го/Ло. (9.8.3)

Из условия (9.7.2) для стационарных вероятностей следует

Т~Т~Г.- А= 0,5+Л-1,

Лк Ао6+ 7Го

9.8.3. Вероятности перехода

Ключом к реализации описанного алгоритма является расчет входящих в (9.8.2) вероятностей {qkj} прибытия ровно j заявок при начальном состоянии к . Введем вспомогательные вероятности

, . f (nXt

dB(t)

(9.8.5)

прибытия за время обслуживания B{t) ровно j заявок пуассоновского потока интенсивности пХ . В наиболее простом случае к j < s

4kj - j(), к <s, j -0,s- k.

Для случая k> s потенциальных источников заявок будет R-{k - s) , причем каждый из них независимо от остальных за время t даст заявку с вероятностью 1 -е" и не даст - с вероятностью е~ . Распределение числа поступивших за / заявок будет биномиальным, и

(R - {к - зУ

V i

(1 e-)ie-t-(-"--J] dBit)

dB{t)

fR-k + y\jfj\

-\[R+> + i-(k+j)]t

dB{i)

R-k + s\

Yr.h-yMR + s + i-(k + j)).