Для Z = 0,8 первый случай аналогичен, а второй допускает начальный запас X - S -i- I, S .
Суммируя вероятности соответствующих событий и считая распределение вероятностей начальных состояний не зависящим от номера периода, приходим к системе уравнений
Pz = 7Г5,5-2 Е Pv + Е х,гРх, г = 5 -Ы, 5,
S S
Pz - S,S-zYP+ Е x,zPx. Z-0,S.
x=0 .r = 5-fl
(8.5.3)
В частности, при холодном резерве тг.- 7г{х - г) (вероятность перехода определяется разностью индексов). Полученные системы уравнений линейны относительно {р.} и в практических ситуациях имеют малую размерность. Распределение спроса за период имеет следующий вид:
Qo = Е Р
Qz = PS-Z, Z-S- S,S,
Qz = о,
(8.5.4)
.- 1,5-5-1.
Приведем подсчитанные по (8.5.4) средние значения спроса и его дисперсии при S = 2, 5 = 5 (табл. 8.4).
Таблица 8.4 Характеристики распределения спроса
| | | | | | | |
Среднее Дисперсия | 0.200 0.586 | 0.299 0.867 | 0.496 1.398 | 0.688 1.878 | 0.959 2.488 | 1.345 3.206 | 1.655 3.628 |
При пуассоновском спросе среднее и дисперсия совпадают и равны XT (первая строка). Как видно из таблицы, средний спрос за период совпадает со средним значением пуассоновского спроса лишь при малых значениях упомянутого произведения, а дисперсия во всем диапазоне существенно превышает дисперсию пуассоновского спроса. Таким образом, пренебрежение полнотой контроля может привести к грубым ошибкам в оценке возможного спроса за период.
«Отказовый» спрос наблюдается и на фоне периодического контроля.
8.6. Расчет распределения времени ремонта
Время ремонта - сумма длительностей диагностики, доставки в ремонт, собственно ремонта и доставки восстановленного агрегата на склад. Чистая длительность ремонта зависит не только от вида детали и поломки, но и от квалификации персонала и оснащения ремонтного органа. Процесс моделируется посредством систем массового обслуживания с числом каналов 1, п, оо . Здесь рассматриваются только два фактора: различные длительности ремонта (и их вероятности) и периодичность возобновления ремонта. Оптимизация может заключаться в балансировании между большим запасом и малым временем восстановления (решается вопрос, во что предпочтительнее вложить деньги: в оборотный запас или аппаратурное оснащение, количество и квалификацию ремонтников).
Полное время ремонта определяется, в частности, организацией рабочего цикла. Чистая длительность собственно ремонта в обычно используемых методиках предполагается распределенной показательно, однако современное состояние теории очередей позволяет рассчитывать временные задержки при более общих допущениях - см. главу 3. Особо подчеркнем необходимость и возможность представления ремонтных органов высших звеньев как сетей обслужибсшия.
8.6.1. О распределении длительности диагностики
В технических системах дежурные смены локализуют неисправности с точностью до блоков, содержащих десятки элементов. Подозрительные блоки заменяются исправными из ЗИПа и поступают в группу ремонта, где происходит поиск отказавшего элемента и его замена. Для расчета оптимального ЗИПа необходимо знать распределение времени восстановления блока, однако статистических данных для его построения, как правило, имеется мало. В этой ситуации естественно возникает вопрос об априорном построении упомянутых распределений. Мы рассмотрим его решение при поиске неисправного элемента непосредственным перебором. Обозначим
- плотности распределения времени ремонта блока, проверки исправного элемента и проверки неисправного элемента с последующей заменой соответственно;
к, fk.dk - моменты этих распределений Аг-го порядка, = 1, 2,...; ij(s),(p(s),)(s) - ПЛС тех же распределений.
Будем считать блок состоящим из N равнонадежных элементов, из которых отказал один и только один. Перебирая порядковые номера отказавших элементов, получаем для ПЛС распределения времени восстановления блока выражение
Применив обратное ПЛС к правой части (8.6.1), можно найти искомое распределение w(i). Более выгодно, однако, рассчитать моменты {w} этого распределения и по ним подобрать удобную для расчетов аппроксимацию плотности iu(t) . Представим левую часть (8.6.1) в виде
оо оо о 3
u{s) = j e-w{t) dt = j {l-st + t - + • • •)«() dt.
Интегрируя почленно, убеждаемся, что
u!(s) = 1 - swi + -W2 - jwa + ...
Аналогичным образом могут быть записаны <p{s) и 7(5) . Подставим эти результаты в (8.6.1) и избавимся от знаменателя. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s в левой и правой частях полученного уравнения, получаем выражения для искомых моментов;
Wi -
-fx +9U
= {N-l)
/2 , N-2 у + !\9\ + Л
+ 92,
= (iV - 1
(iV-2)(iV-3) ,3
J + l{h92 + /291) + {N- 2)(/</i + /1/0)
+ 93-
с их помощью можно найти дисперсию:
D=Dg +
iV-1 N-
-/Г-