Наконец, при исчислении затрат на хранение по избыточным запасам, а штрафов по взвешенным вероятностям недостачи имеем

L(S) = Yl~ j{Si-x)U[x)dx -maxdi j fi{x)dx

И условия оптимальности

Сг-Ьг{1- jfi(x)dx

-1 = 0,

dif,{S.)

:) сю

(h j fi(x) dx -di j fi(x) dx = 0, г = 27N.

Начальные приближения во всех случаях естественно определить независимой минимизацией затрат по отдельным номенклатурам.

Изложенные результаты применяются к статической модели. Однако для вариантов задачи с переносом дефицита они применимы и в многопериодной схеме - с уже обсуждавшейся заменой с на с(1 - о) .

6.5.2. Выбираемая периодичность

В разд. 6.2 было показано, что при детерминированном спросе наивыгоднейшие периоды снабжения для различных номенклатур не совпадают. Можно полагать, что в случае вероятностного спроса наилучший результат также достигается при организации восполнения по системе кратных периодов. Описанный ниже приближенный метод заключается в расчленении задачи на условно независимые этапы:

1) Случайный спрос по всем номенклатурам заменяется детерминированным с той же средней интенсивностью. Далее с помощью алгоритма разд. 6.2 рассчитывается система кратных периодов снабжения, т.е. оптимальный базисный период Т и набор чисел {ki] . Полученные периоды считаются окончательными и дальнейшей корректировке не подвергаются. Среднее значение и дисперсия спроса принимаются пропорциональными {kiT] , после чего выбираются аппроксимирующие распределения.

6.6. Зонная стратегия

в разд. 5.8 был описан приближенный способ расчета оптимальных параметров стратегии {s.q) для однородной задачи и малой задержки поставок. Для многономенклатурной проблемы эта стратегия неудобна тем, что она из-за неодновременного достижения критических уровней по разныг\л предметам снабжения не допускает совг\лещения заказов. В «зонном» варианте пороговой стратегии заказ на восполнение выдается, если хотя бы для одной номенклатуры j выполняется условие Zj < Sj , а объемы заказа определяются для всех номенклатур / согласно

у. - I Si - Zi, если Zi < s/; * IО иначе.

2) Составляется функция дополнительных затрат, возникающих из-за случайных отклонений спроса от его среднего значения, за период К2\ где А есть общее наименьшее кратное чисел {к} . Для этого:

• вычисляются затраты на хранение избытков для г-й номенклатуры за период A-/T и умножаются на К/к - число периодов снабжения по данной номенклатуре, уложившихся в отрезок КТ ;

• эти затраты суммируются по всем номенклатурам;

• вычисляются ожидаемые штрафы как произведение на А штрафов по первой номенклатуре за базовый период;

• результаты суммируются и делятся на КТ .

В итоге приходим к целевой функции

А = Ы J (5. - x)f,{x) dx + J{x - Si)h{x) dx. (6.5.6)

= 0 5i

минимизация которой проводится уже рассмотренным способом.

Второй этап алгоритма может быть реализован и с другими вариантами построения вероятностной составляющей функции затрат. Напомним, что распределения спроса и цены хранения в этой формуле берутся для интервалов {кД} .

(6.6.4)

Поскольку максимальный запас S уже известен, величина затрат оказывается функцией только одной переменной s . Дифференцируя правую часть уравнения (6.6.4) по , имеем

Таким образом, для каждой номенклатуры существует зона заказа [si.s/] и верхний порог запаса Si .

При большом числе планируемых номенклатур каждая из них, как правило, будет заказываться при снижении запаса г,- до s/ (цена заказа д{) и лишь в редких случаях - при снижении Zi до (цена заказа до + д{). Отсюда вытекает следующий приближенный алгоритм расчета оптимальной зонной стратегии для i = l,iV :

1) Решением соответствующей системы уравнений из разд. 5..8 с дополнительным индексом номенклатуры i и при цене заказа gi определить оптимальные пороги {s/} и объемы заказов {д} .

2) Вычислить оптимальные запасы по формуле

5. = 5 + 9,"- (6.6.1)

3) Согласно методике для однородного случая определить нижние пороги {s-] и объемы поставок {q[] при цене заказа Gi = go+gi и ограничении

s[-ql = Si. (6.6.2)

Способ расчета s/,q/ и Si дополнительных пояснений не требует.

Для нахождения запишем функцию затрат в единицу времени

L = h{q/2 -\-s- Af) + [G -f Ф)], (6.6.3)

где через 7r{s) обозначено математическое ожидание штрафа за цикл при пороговом запасе s , а индексы г для краткости опущены. Подставив в это выражение найденное из (6.6.2) значение q , получаем