6.5. Периодические поставки, вероятностный спрос 189
Более общие (и более реалистические) постановки задачи с ограничениями типа неравенств приводят к проблеме математического программирования, обычно решаемой численно с применением различных модификаций градиентного спуска.
6.5. Периодические поставки, вероятностный спрос
6.5.1. Заданная периодичность
В данном разделе будем считать длину периода фиксированной (что избавляет нас от учета фиксированных составляющих стоимости заказов), а все стоимостные параметры и распределения спроса - заданными в расчете на этот период. Затраты на хранение естественно принять пропорциональными остаткам к концу периода.
Имея в виду комплектное обеспечение спроса, следует исчислять штраф на основе распределения максимума дефицита
Fiu) = l[Fi{Si+u),
где {Si] - запланированные уровни запасов. Однако при этом получить простое решение не удается. Поэтому будем считать штраф пропорциональным максимуму взвешенного ожидания дефицита, т.е. исчислять его как
max (1
С учетом затрат на доведение исходных уровней запаса {zi] до расчетных минимизации подлежит сумма затрат за период
aaxdi j(x- Si)fi(x) dx. (6.5.1)
L{S) = E
2=:1
r{Si-Zi) + hiJ{Si-x)fi{x)dx
-f max (if / (x - Si)fi{x) dx.
5,
(6.5.2)
Из (6.5.2) видно, что транспортные затраты и издержки на хранение могут быть сокращены без какого-либо увеличения штрафа -
выравниванием взвешенных ожидаемых дефицитов через уменьшение запасов. Тогда для всех г можно записать
оо оо
di j{x-Si)fi{x)dx = d, j[x-Si)h{x)dx. (6.5.3)
5. 5i
Уравнения (6.5.3) указывают на связь между дифференциалами {Si} в оптимальной точке вида
оо оо
di(j Мх) dx) dSi =di(j h{x) dx) dSi,
откуда
Mx)dx[j mdx). (6.5.4)
5i 5.
Для нахождения оптимального Si продифференцируем (6.5.2) по Si и приравняем производную нулю:
Ci + hi / fi{x)dx %--rfi / fiix)dx = 0.
Таким образом, оптимальный набор {Si} для функции затрат (6.5.2) дается решением системы уравнений
Nil f f
Ет- {cihi)[ fi{x)dx) -hi
г = 1 «г L \J )
-1 - О,
diJ{x-Si)fi{x)dx-dif{x-Si)Mx)dx = О, i = 2,N.
5, Si
(6.5.5)
Необходимым условием существования решения этой системы в области
неотрицательных {Si} является J2 i/di < 1 - оно получается из
г = 1
первого уравнения системы (6.5.5) при всех = О .
6,5. Периодические поставки, вероятностный спрос 191
Решение подобных систем возможно только численно. В [56, §6.3] приводится пример расчета запаса по трем номенклатурам со спросом за период, распределенным по закону Релея, и начальными {Si] , найденными независимой оптимизацией. Решение было получено методом Ньютона. При большом числе номенклатур удобнее, однако, свести задачу к одномерному поиску 5i , добиваясь выполнения первого из уравнений (6.5.5) и на каждом шаге выравнивая штрафы.
Увеличение запаса по некоторым номенклатурам относительно текущего наличия может оказаться нецелесообразным. Критерий этого - неравенство
оо оо
di j xfi(x) dx < di J(x - Si)fi{x) dx,
0 5i
которое можно использовать и на промежуточных этапах алгоритма минимизации затрат. Соответствующие индексы из дальнейших вычислений исключаются.
В заключение данного раздела приведем варианты основной системы уравнений для других способов построения функции затрат. При расходах на хранение и штрафы по «импульсам» положительного остатка и дефицита, т.е. для целевой функции
L{S) = f]c,(5i-zO + i /(•bt-/2)/.()c/4-y
о S.
1 f [х - Si)
-f -maxdi / --fi{x)dx,
2 i J X
оптимальные решения должны удовлетворять системе уравнений
Ci + /if ,
- hi
-1 = 0,
Z- л. oo
ОО oo
di jdx-di P-h{x)dx = 0, i = 2JV.
Si Si