Дифференцируя по S, имеем
dL dS
= h j fix) dx + hj fix) dx-dj fH dx + .
= id + h) = id+h)
S oo
j fix)dx + SI dx
-d + c
FiS)+sl
-d + c.
Условием минимума является равенство
FiS) + SJ
Поскольку
fhx=.
(5.6.15)
oo oo OO
Sjldx = jjdx<sjfix)dx,
при 5 -)• oo предел левой части равенства (5.6.15) - нуль. Но F{oo) = 1 ; следовательно, решение уравнения (5.6.15) существует, если
s[ldx<.
5~fO J X -d + h s
Остается показать его единственность. Обозначим левую часть (5.6.15) через Q{S) и найдем ее производную:
dQ dS
X S J X
dx>0
при всех 5. Следовательно, функция Q{S) монотонна, что и доказывает требуемый результат.
/W* = fi. (5.6.17)
Очевидно, L(oo) = с-\- h > 0 , и для существования решения его достаточно выполнения в некотором диапазоне значений S условия
Уравнение (5.6.17) для унимодальных распределений либо имеет не менее двух корней, либо не имеет их совсем. В случае двух корней минимум расходов соответствует большему корню, поскольку именно в этой точке знак производной меняется с минуса на плюс.
5.6.6. Штраф ПО времени дефицита
При спросе X , превысившем нормативный запас, доля времени существования дефицита равна 1 - S/x . Функция затрат может быть записана как
S со
L{S) = hJ (S - x)f{x)dx + dj(l- S/x)f(x) dx + c(S - (5.6.18)
5.6.5. Штраф по вероятности дефицита Определим функцию затрат
5 со
L{S) = h j{S- x)f{x)dx -d j f(x) dx + c(S - z), (5.6.16)
Т.е. CO штрафом d, выплачиваемым в случае хотя бы одной недостачи независимо от величины дефицита. Наивыгоднейший уровень запаса дается решением уравнения
L\S) = h j f(x) dx - df(S) + с = 0,
Приравняем нулю ее производную по запасу.
S оо
с+f(x)dx-d j dxO.
Левая часть этого уравнения монотонно возрастает по S . При 5 оо , очевидно, имеем c-f Л > О . Для существования экстремумов необходимо
выполнение с < d J[f(x)/x] dx .
Рассмотрим более подробно случай пуассоновского распределения спроса. Функция затрат будет иметь вид, аналогичный (5.6.18), с заменой интегрирования по х суммированием. Найдем плотность 05(г) распределения времени дефицита. Распределение времени наступления к -го события пуассоновского потока подчинено закону Эрланга к -го порядка. Дефицит начинается при израсходовании всего запаса S и еще одной единицы, так что
Мг)=Щ=е---\ (5.6.19)
Вычислим среднее время существования дефицита
Лг[Л(Г-г)]-,5!
Произведя замену переменных Л(Т - т) ~ и , получаем
XT XT