(5.6.11)
Воспользовавшись теоремой о среднем, приближенно представим входящие в последнюю формулу интегралы в виде
1 fix) dx j fix) dx + A /(5* + A/2)
5* + Д S*
j xfix) dx J xfix) dx + A(5* -f A/2) • /(5* + A/2).
Осуществив в (5.6.11) эти замены и вычтя из L(5* -f А) величину Lis*) , получаем приращение затрат за период
AL -уА" . /(5* + А/2). (5.6.12)
Поскольку в типичной области высоких вероятностей обеспечения спроса S* А , зависимость AL(A) с достаточной для практики точностью можно считать квадратичной.
Установим зависимость AS от погрешности в ценах с, Л и d, для чего применим логарифмическое дифференцирование к форму-
В частности, при оптимальном выборе нормативного запаса по формуле (5.6.2)
L* = c{S-,)s{d + h)--d(S-х)
а-{- п
- [dh) / xf{x)dx (5.6.10)
= dx - CZ - (с/ -f h) J xf{x) dx.
Подстановка в (5.6.1) 5 = 5* + A дает
L = cA-h(5*-h A)((i-f/0 / f{x)dx-dA
- (d-f/i) / xf{x)dx-c{S* - z)-d{S -x).
S d-c d-c d+h d + h
Jf{x)dx
Подставляя оптимальную вероятность обеспечения спроса и группируя слагаемые, получаем
= 7(5;:j(qr7;jl[( + )A,-(rf+MAe-(rf-c)A,.].
Действия в случае неизвестных знаков погрешностей аналогичны предыдущему случаю.
5.6.3. Дискретный спрос
При дискретном спросе оптимальный запас S* выбирается из условий
L(5- + 1)-L(.S-) > О,
L(S*-1)-L{S) > 0. >
Построим целевую функцию по ожидаемым избытку и недостатку:
5-1 со
L{S) = hY,{S-x)p(x) + d {x-S)p{x)c(S-z). Соответственно
5 сю
L{SI) hY,{S + I - х)р(х)d J2 {x-S-l)p{x)-c{S-l-z).
х=0 x=S+2
Приращение затрат при увеличении запаса относительно оптимума должно быть неотрицательным:
Д(5*) = L(S* + 1) - L(5*) = {h Ч- d)J2pi) - + с > О,
ле (5,6.2):
In j fix) dx = \n{d - с) - ln(rf + h),
/(5*) Ad Ac Ad Ah
07 = 0
Очевидно, что знак аналогичного приращения при увеличении запаса от 5* - 1 до S* должен быть обратным:
d - с
р(х)<
Итак, условие оптимальности запаса 5* есть
5* -1 5*
Это условие полностью аналогично полученному ранее для непрерывного случая. Поэтому мы в дальнейшем будем рассматривать только один из вариантов вывода. Попутно отметим, что принцип проверки смены знака функции при единичном приращении аргумента используется во многих других экономических задачах и называется маргинальньш анализом.
5.6.4. «Импульсные» расходы
При исчислении расходов по средневзвегаенным запасу и дефициту в случае х < S средний положительный запас = [S-{-{S - х)]/2 = S - х/2 , а время наличия запаса Т+ = Т; соответственно средний отрицательный запас у = О и время существования дефицита Т = О . Если спрос превысил запас, то у = 5/2, = [х - 5)/2, а части периода с положительным и отрицательным запасами соответственно будут равны Т+ = TS/x; Т = (1 - S/x)T . Ожидаемое значение затрат должно подсчитываться согласно
L[S) = h j[S - x/2)f(x) dx + hj f{x) dx
+ dj-fdx + ciS-z).