pfk) = fi независимо от к . Следовательно, для всех к имеет место ppki = Xpk , или pki - {Х/р)рк - рРк » и стационарные вероятности

(3.12.1)

образуют геометрическую прогрессию со знаменателем р - X/р . Условием существования стационарного режима является неравенство р < 1 . Вероятность ро - 1-Р . найденная здесь из условия нормировки, совпадает с выражением (3.11.1) при соответствующей замене обозначений, что подтверждает закон сохранения требований.

Для 71-канальной системы распределение числа требований в системе задается вероятностями

-i(W (A i)" 1

гГо г!

[п-\)\1-р\

Рг Pi

= Ро-

= РпР

{/рУ

i= 1,п,

(3.12.2)

г = гг + 1,71 + 2,...

ЗЛЗ. Система M/G/1

Выделим смежные моменты {г]п], п = 1,2,..., окончания обслуживания очередного требования в системе M/G/1 и рассмотрим состояния системы в моменты регенерации {т]п -f 0} . В эти моменты система либо свободна, либо только начинает обслуживание, так что фиксировать значение истекшего времени обслуживания не нужно. Такой процесс является вложенным в исходный и, поскольку полностью (в вероятностным смысле) определяется своим текущим состоянием, называется вложенной цепью Маркова.

Обозначим qj вероятность прибытия j новых требований за время обслуживания. Нетрудно видеть, что {qj} определяются согласно (3.6.3) и при аппроксимации распределения времени обслуживания гамма-плотностью проблем с их вычислением не будет. В установившемся режиме застать в системе к требований в очередной момент регенерации можно, если в ней:

а) в предыдущий момент регенерации находилась j -f 1 заявка и ) . одна обслужилась и пришло еще к - j >0 заявок;

6) за время обслуживания первой заявки, прибывшей в свободную систему, пришло еще к требований.

Следовательно, финальные (предельные при устремлении номера момента регенерации к бесконечности) вероятности состояний вложенной цепи связаны системой уравнений

к к+1

к = 7rj+iqk.j -h TTogk = Y7Tjqk+i-j + тгод/с, к = 0,1,... j=o j=i

(3.13.1)

Из этих формул легко получить рекуррентные выражения для расчета вероятностей:

тгк - [-Kk-i - 7Toqk-i - 7Tjqk j)/qo, Ar = 1, 2,. .. (3.13.2) i=i *

Можно показать, что для рассматриваемой системы вероятности состояний вложенной цепи совпадают со стационарными.

3.14. Многоканальные системы

с фазовыми распределениями

3.14.1. Многофазное представление сложных СМО

Реализация любого метода расчета процессов в системе с очередями требует ее предварительной марковизации, т.е. представления текущего состояния системы параметрами, полностью определящими (в вероятностном смысле) будущее поведение процесса. Эффективным методом марковизации сложных СМО является фазовая аппроксимация составляющих распределений. Каждая комбинация распределений (и их порядков) порождает специфическую диаграмму, которая может быть представлена различными способами. Разумеется, при изображении диаграмм порядки распределений приходится конкретизировать.

На диаграмме переходов для М/Ез/2 (рис. 3.7) состояние системы идентифицируется полным количеством заявок в ней (номер яруса) и распределением проходящих обслуживание заявок по его фазам («ключ» соответствующего микросостояния). Здесь и на последующих диаграммах сумма значений позиций ключа равна числу задействованных каналов обслуживания.

О ООО

1 100-010 -001

2 200

ПО -101 020 011 - 002

3 200 -

110 -IQl 020 -! - 002

Рис. 3.7. Переходы в системе М/Е/2

Порядок следования ключей обеспечивает «вертикальность» переходов по прибытию заявки, что упрощает построение матриц интенсивностей переходов между микросостояниями ярусов. Переходы по завершению фазы обслуживания переводят заявку либо в микросостояние того же яруса, либо (если фаза последняя) - на вышележащий ярус, так как заявка считается обслуженной полностью и покидает систему.

Работа системы М/Hk/n может быть интерпретирована как процесс обслуживания неоднородного потока заявок [68], причем тип заявки определяет параметр показательно распределенного обслуживания. Теперь ключ микросостояния указывает количество находящихся в каналах обслуживания заявок каждого типа (рис. 3.8, 3.9). Суммарный входящий поток имеет интенсивность Л ; прибывающая (или выбираемая из очереди) заявка с вероятностью yi относится к г-му типу, г = 1,2. На последнем рисунке при j > п параметр потока обслуживании заявок г-го типа равен тц.1{ , где -содержимое г-й позиции ключа. Завершение обслуживания с вероятностями {у} в зависимости от типа выбранной из очереди заявки приводит в одно из микросостояний вышележащего яруса.