-Л(а-/)

J + 1

-(а + /)

[4a + l)]\.xia+i)

+ 2

2=0

А i!

i = o,i,...

Начальный коэффициент 1

90 =

(Л/)2 [

Для гамма-распределения с параметром формы г

Г(г)

i!r(r)y

= fVfVnili) ,-0 1

va+z.; j\T(r)

(3.6.4)

Получим рекуррентные формулы вычисления {qj} при времени обслуживания, подчиненном гамма-распределению. Прежде всего, из (3.6.4) следует qo = (/i/(A -\- р)У . Далее,

А r(r + i).(i-l)! Л r + j-1

Итак, при гамма-распределении

go =

A + /i

(3.6.5)

Частным случаем гамма-распределения при г = 1 является показательное распределение. При этом

Наконец, для гамма-плотности с поправочным многочленом, записываемой аналогично формуле (3.3.17) для ДФР Вейбулла, искомые вероятности

, ( У( А У 1 f ff.- r(a + i + 0

(3.6.7)

Расчет {qj} и здесь может быть организован рекуррентно, но по более сложной схеме.

3.6.4. Случайное прореживание потоков

Пусть в рекуррентном входящем потоке с ПЛС интервалов между заявками a{s) каждая заявка сохраняется в потоке с вероятностью z независимо от остальных заявок. Тогда для просеянного потока ПЛС распределения интервалов между заявками

(3.6.8)

(3.6.9)

Моменты результирующего распределения

fi = ai/z,

k-l . ч

л = [a,-Ь{l-z)J2[i]fгak-г]/z, к = 23... В частности,

/2 = [a2 + 2(l-r)/iai]/. Второй коэффициент немарковости 2 Для просеянного потока

iP = zi\ (3.6.10)

При z О коэффициент немарковости стремится к нулю, т.е. результирующий поток сходится к простейшему. Простейший поток при случайном прореживании остается простейшим - меняется только его интенсивность.

3.6.5. Регулярное прореживание потоков

«Справедливое» (циклическое) распределение поступающих заявок между 77 обслуживающими устройствами порождает для каждого из них поток с регулярным прореживанием (остается ?г-я заявка исходного потока). Соответственно распределение интервалов между заявками оказывается т?-кратной сверткой исходного распределения, а его ПЛС - /1-й степенью исходного.

Получить моменты просеянного таким образом потока можно последовательной сверткой в моментах или численным дифференцированием упомянутой ПЛС в нуле. Однако зависимость ч2(") можно вывести из элементарных соображений. Поскольку средние и дисперсии интервалов между оставшимися заявками суммируются, а второй момент равен квадрату первого плюс дисперсия, имеем

Ып) = [/2(n) + Z)(n)] 2(n)-2!

= nd/{na)- + 1 - 2 = [d/a\)ln - 1 = ь/п - 1.

Здесь V -коэффициент вариации исходного распределения. Очевидно, предел lim„ tco 2(») ~ и. совпадает со значением 2 Для вырожденного распределения, так что регулярно просеиваемый поток в указанных условиях приближается к детерминированному.

3.6.6. Суммирование потоков

Рассмотрим предложенную в [70] методику суммирования двух рекуррентных потоков. Смысл операции суммирования иллюстрирует рис. 3.5.

Е XXX-

-X-> t

-> t

Рис. 3.5. Схема суммирования потоков

Момент появления очередной заявки суммарного потока - это минимум из моментов появления ближайших заявок составляющих. Если предыдущей была заявка первого потока, то распределение времени ожидания