-Л(а-/)
J + 1
-(а + /)
[4a + l)]\.xia+i)
+ 2
2=0
А i!
i = o,i,...
Начальный коэффициент 1
90 =
(Л/)2 [
Для гамма-распределения с параметром формы г
Г(г)
i!r(r)y
= fVfVnili) ,-0 1
va+z.; j\T(r)
(3.6.4)
Получим рекуррентные формулы вычисления {qj} при времени обслуживания, подчиненном гамма-распределению. Прежде всего, из (3.6.4) следует qo = (/i/(A -\- р)У . Далее,
А r(r + i).(i-l)! Л r + j-1
Итак, при гамма-распределении
go =
A + /i
(3.6.5)
Частным случаем гамма-распределения при г = 1 является показательное распределение. При этом
Наконец, для гамма-плотности с поправочным многочленом, записываемой аналогично формуле (3.3.17) для ДФР Вейбулла, искомые вероятности
, ( У( А У 1 f ff.- r(a + i + 0
(3.6.7)
Расчет {qj} и здесь может быть организован рекуррентно, но по более сложной схеме.
3.6.4. Случайное прореживание потоков
Пусть в рекуррентном входящем потоке с ПЛС интервалов между заявками a{s) каждая заявка сохраняется в потоке с вероятностью z независимо от остальных заявок. Тогда для просеянного потока ПЛС распределения интервалов между заявками
(3.6.8)
(3.6.9)
Моменты результирующего распределения
fi = ai/z,
k-l . ч
л = [a,-Ь{l-z)J2[i]fгak-г]/z, к = 23... В частности,
/2 = [a2 + 2(l-r)/iai]/. Второй коэффициент немарковости 2 Для просеянного потока
iP = zi\ (3.6.10)
При z О коэффициент немарковости стремится к нулю, т.е. результирующий поток сходится к простейшему. Простейший поток при случайном прореживании остается простейшим - меняется только его интенсивность.
3.6.5. Регулярное прореживание потоков
«Справедливое» (циклическое) распределение поступающих заявок между 77 обслуживающими устройствами порождает для каждого из них поток с регулярным прореживанием (остается ?г-я заявка исходного потока). Соответственно распределение интервалов между заявками оказывается т?-кратной сверткой исходного распределения, а его ПЛС - /1-й степенью исходного.
Получить моменты просеянного таким образом потока можно последовательной сверткой в моментах или численным дифференцированием упомянутой ПЛС в нуле. Однако зависимость ч2(") можно вывести из элементарных соображений. Поскольку средние и дисперсии интервалов между оставшимися заявками суммируются, а второй момент равен квадрату первого плюс дисперсия, имеем
Ып) = [/2(n) + Z)(n)] 2(n)-2!
= nd/{na)- + 1 - 2 = [d/a\)ln - 1 = ь/п - 1.
Здесь V -коэффициент вариации исходного распределения. Очевидно, предел lim„ tco 2(») ~ и. совпадает со значением 2 Для вырожденного распределения, так что регулярно просеиваемый поток в указанных условиях приближается к детерминированному.
3.6.6. Суммирование потоков
Рассмотрим предложенную в [70] методику суммирования двух рекуррентных потоков. Смысл операции суммирования иллюстрирует рис. 3.5.
Е XXX-
-X-> t
-> t
Рис. 3.5. Схема суммирования потоков
Момент появления очередной заявки суммарного потока - это минимум из моментов появления ближайших заявок составляющих. Если предыдущей была заявка первого потока, то распределение времени ожидания