Биномиальное распределение получается при повторении независимых испытаний, каждое из которых имеет только два возможных исхода. Без потери общности эти исходы можно классифицировать как «успех» и «неудачу», наблюдаемые с вероятностями р \л 1 - р соответственно. Вероятность появления х успехов в п испытаниях равна

Рх - ,

p-(l-/>)- 0 = 0, п. (3.3.21)

Для биномиального распределения

М[Х]=1пр, D[X]np{l- р). (3.3.22)

Отрицательное биномиальное распределение

= . = 0,1,...

(3.3.23)

дает вероятности того, что потребуется ровно х -\- п испытаний для получения п успехов. Здесь

М[Х] = п(1-р)/р, D[X] = n{\-p)/p\ (3.3.24)

Геометрическое распределение является его частным случаем ( п = 1). Здесь

p, = p(l-p) ;г = 0,1,..., (3.3.25) а числовые характеристики

М[Х] = (1 -р) >, D[X] = {1-р)/р\ (3.3.26)

3.4. Преобразования распределений

Для некоторых вероятностных расчетов удобно пользоваться преобразованиями распределений. В случае непрерывных распределений

Здесь Л - интенсивность потока редких событий, at - время наблюдения. Для этого распределения

М[Х] = D[X] = М. (3.3.20)

3.4. Преобразовшия распреде.пеннй 77

это преобразование Лапласа - Стилтъеса (ПЛС)

ф) = j е-ЧР{х). (3.4.1)

Моменты распределения выражаются через ПЛС согласно

f,{-l)фfЦ,=o, k=h2,... (3.4.2)

При известном правиле вычисления ПЛС дифференцирование может быть выполнено аналитически либо с помощью многократного численного дифференцирования в нуле на основе полученной алгоритмически таблицы. Соответствующая процедура входит в состав пакета МОСТ - см. разд. 3.17.

Для дискретных распределений вводится производящая функция

P{z) = J2-pi, 0<.<1. (3.4.3)

Производящая функция пуассоновских вероятностей

P(z) = e--\ (3.4.4)

Для отрицательного биномиального распределения производящая функция

l-[l-p)z\

(3.4.5)

В задачах теории очередей и управления запасами часто приходится выполнять свертку распределений, т.е. находить распределение суммы независимых случайных величин. Примером такой задачи служит построение распределения времени пребывания заявки в системе V{t) по распределениям W{t) времени ожидания и B{t) чистой длительности обслуживания. В терминах ПЛС

iy{s) =u;{s)l3{s) (3.4.6)

(ПЛС свертки равно произведению ПЛС составляющих). Свертка может быть выполнена непосредственно в моментах на основе символического разложения

/ = (ш + 6) (3.4.7)

3.5. Задачи теории очередей

Теория очередей в русскоязычной литературе чаще именуется теорией массового обслуживания (ТМО) и здесь рассматривается потому, что является основой математического аппарата для расчета восстанавливаемого ЗИПа. Термин «массовое» предполагает многократную повторяемость ситуаций в том или ином смысле (много прибывших в систему и обслуженных заявок, большое число находящихся в эксплуатации аналогичных систем) и статистическую устойчивость картины. Выводы и рекомендации, получаемые методами ТМО, применимы лишь при наличии одного или обоих названных факторов.

Модель задачи массового обслуживания включает в себя:

• поток заявок;

• каналы обслуживания;

• организацию очереди и дисциплину обслуживания;

• показатели эффективности.

Дадим содержательное описание и перечень возможных вариантов задания этих элементов и установим математическое содержание соответствующих понятий.

в котором после развертывания бинома показатели степени переводятся ъ индексы соответствующих моментов. Простота этих соотношений - серьезный аргумент в пользу применения метода моментов.

Производящая функция суммы дискретных случайных величин (т.е. их свертки) равна произведению производящих функций слагаемых. Если производящая функция распределения слагаемого есть Pi(z) , а производящая функция числа слагаемых - Г2{) - то производящая функция суммы

P{z) = Р2(Рг(г)). (3.4.8)

Свертка дискретных распределений в моментах выполняется так же, как для непрерывных распределений. Для получения отдельных вероятностей свертки применяется формула