согласно (3.3.9), после чего нетрудно сформировать систему линейных уравнений относительно коэффициентов поправочного многочлена Ч

3.3.3. Нормальное распределение

На рис. 3.4 приведены графики играющего важнейшую роль в теории вероятностей и математической статистике нормального распределения с плотностью /(.г) = ехр[-(.г - а)/2(7]/о-\/27г при общем среднем а = 3 и различных а . Параметр а - это среднеквадрати-ческое отклонение (квадратный корень из дисперсии). ФР нормального распределения выражается через функцию Лапласа

Ф{х)

(.3.3.10)

согласно

(3.3.11)

Рисунок наглядно иллюстрирует концентрацию значений случайной величины в окрестности среднего значения (точнее, математического ожидания) при уменьшении среднеквадратического отклонения. Площади под каждой кривой одинаковы, поскольку для любой плотности

J f[x)dx - 1 . Отличия нормального распределения от других, имею-

- ОС

щих те же среднее и дисперсию, можно охарактеризовать асимметрией S - рз/а и эксцессом е = Рл/" - 3. В этих формулах {pi] суть центральные моменты, вычисленные относительно среднего.

Эта технология ниже рассматривается для распределения Вейбулла.

1 2 3 4 5 6 Рис. 3.4. Нормальные плотности

3.3.4. Распределение Вейбулла

Основным показателем качества функционирования многих СМО является ДФР времени пребывания заявки в системе, получаемая в виде таблицы для заданных значений аргумента. Неинтегрируемость гамма-плотности вынуждает искать для вычисления ДФР по заданным моментам другую аппроксимацию. Удобно применение распределения Вейбулла

F{t) = e-. (3.3.12)

Его моменты

Л= (0r(0iy/= = W/=r(l + iA), j = l,2,..., (3.3.13)

а отношение

а = hlfl = 2кГ(2/к)/Т\1/к) = 2Т{2и)/(иТ\и)),

(3.3.14)

где и = 1/к. Воспользовавшись формулой удвоения аргумента гамма-функции, можно переписать (3.3.14) в виде

2"Г(ц)Г(ц+1/2) 2"Г(ц + 1/2)

откуда следует обеспечивающая быстро сходящийся итерационный процесс уточнения и формула

1 аГ(г/, 1 + 1) = 2Ы2 ГК,,Ч-1/2) - = •

Начальное приближение

го = 1п2а/(21п2). (3.3.16)

При необходимости учета более двух моментов можно применить ту же базовую аппроксимацию с поправочным многочленом:

F(/) = e-Vvv..,.. (3.3.17)

Моменты этого распределения

. N

fj = i = OV. (3.3.18)

Теперь ясен алгоритм подбора параметров аппроксимации (3.3.17) по моментам {/j}, j = l,N :

1) Вычислить а - /2/fi

2) Определить щ согласно (3.3.16).

3) Решить уравнение (3.3.15) методом итераций.

4) Вычислить к = 1/и, W = {fi/T{u -f 1)) .

5) Сформировать систему (3.3.18) линейных алгебраических уравнений относительно {gi}.

6) Решить эту систему любым стандартным методом.

3.3.5. Дискретные распределения

Дискретные распределения обычно задаются набором вероятностей появления допустимых значений.

Распределение Пуассона описывает вероятности редких событий:

р,-е-\ х = 0,1,... (3.3.19)