Выражение "5s of98" означает, что срок погашения облигации наступает в 1998 г, а выплачиваемый годовой процент составляет 5% от номинальной стоимости облигации. Выплаты процентов называюткуионньшмвыплатами. Инвесторы в облигации сказали бы, что эти облигации имеют купонную ставку 5%. При наступлении срока погашения в 1998 г выплачиваются номинал и процент Цена каждой облигации обозначается в процентном отношении к номинальной стоимости. Поэтому, если бы номинальная стоимость равнялась 1000 дол., вы должны были бы заплатить за облигацию 852,11 дол., и ее доходность составила бы 8,78%. Обозначив 1993 г как /= О, 1994 г как /= 1 и т д., мы проводим следующие вычисления дисконтированных потоков денежных средств:

Хотя обе облигации имеют одинаковый срок погашения, они были выпущены в разное время, "5s" - когда процентные ставки были низкими, а "10s" - когда процентные ставки были высокими.

Лучше ли купить облигацию "5s of 98"? Не делает ли рынок ошибку установив цены на эти два выпуска, исходя из разных значений доходности? Единственный способ удостовериться в этом - вычислить приведенную стоимость облигаций, используя ставки "спот" для 1994 г, гдля 1995 г и т д. Вычисления приведены в таблице 23-2.

Важное допущение в таблице 23-2 состоит в том, что долгосрочные процентные ставки выше краткосрочных. Мы приняли заданное, что процентная ставка 1-го года равна 0,05%, 2-го года - 0,06% и т д. Когда поток денежных средств каждого года дисконтируется по соответствующей году ставке, мы видим, что

ТАБЛИЦА 23-2

Расчет приведенной стоимости двух облигаций, когда долгосрочные процентные ставки выше краткосрочных.

Расчет приведенной стоимости (в дол.)

"5s of98" "10s of98"

в реальной практике купонные выплаты производятся раз в полгода - владельцы "5s of98" получали бы по 25 дол. каждые 6 месяцев. Наши расчеты немного отличаются от того, что мы получили бы, используя таблицы для расчета цен облигаций, подобные таблице 23-1. Кроме того, значения доходности округлены, и поэтому не являются точными.

На дворе 1993 г. Вы намерены инвестировать средства в облигации Казначейства США. Вы просматриваете следующие котировки двух облигаций:

приведенная стоимость каждой облигации в точности равна цене котировки. Таким образом, для каждой облигации установлена справедливая цена.

Почему облигация "5s" имеет более высокую доходность? Потому что на каждый доллар, инвестированный в облигацию "5s", вы получаете относительно небольшой приток денег в первые 4 года и относительно большой приток в заключительном году Следовательно, хотя две облигации имеют одну дату погашения, основная часть потока денежных средств по облигации "5s" приходится на 1998 г В этом смысле облигация "5s" представляет собой более долгосрочные инвестиции, чем "10s". Более высокая доходность к погашению просто отражает тот факт, что долгосрочные процентные ставки выше краткосрочных.

Проблемы, связанные с доходностью к погашению

" Учитывая все вышесказанное, мы можем обобщить проблемы, связанные с доходностью к погашению.

Первая. Когда вычисляется доходность к погашению облигации, используется одна и та же ставка для дисконтирования всех платежей, поступающих держателю облигации. На самом деле держатель облигации может потребовать разные нормы доходности (г„ и т д.) для разных периодов. Если по двум облигациям предлагаются разные схемы потоков денежных средств, они скорее всего будут иметь различные доходности к погашению. Поэтому определить соответствующую доходность одной облигации, исходя из доходности к погашению другой облигации, можно только приблизительно.

Вторая. Цены облигаций не определяются доходностью к погашению. Наоборот: ставки "спот" г„ и т. д. определяются одновременно спросом компаний на капитал и предложением сбережений физическими лицами. Эти ставки затем определяют стоимость любого пакета будущих потоков денежных средств. И наконец, зная эту стоимость, мы можем вычислить доходность к погашению. Однако мы не в состоянии определить соответствующую доходность к погашению без предварительного расчета стоимости. Мы, например, не можем предположить, что у двух облигаций с одним сроком погашения должна быть одна и та же доходность, если только они случайно не имеют одинаковую купонную ставку

Доходность к погашению представляет собой сложную среднюю ставок "спот". Предположим, что больше г,. Тогда доходность двухгодичной купонной облигации должна находиться между г, и г. В этом случае доходность двухгодичной облигации дает заниженную ставку "спот" для 2 лет. И конечно, если бы оказалась меньше г„ то доходность двухгодичной облигации, наоборот, завышала бы ставку "спот" для 2 лет Иногда эти расхождения весьма значительны. Например, в Великобритании в 1977 г ставка "спот" для 20 лет (г„) составляла приблизительно 20%. А доходность облигации с высокой купонной ставкой и со сроком погашения через 20 лет составляла примерно 13%. Причина этого состояла в том, что краткосрочные процентные ставки "спот" были гораздо ниже 20%. Доходность облигации со сроком 20 лет равнялась средней из краткосрочных и долгосрочных ставок".

В главе 5 мы заявили, что одна из проблем, связанных с внутренними нормами доходности, заключается в том, что их нельзя суммировать. Другими словами, даже если вы знаете доходность А и Б, вы не можете определить в целом доходность (А+Б). Вот пример. Предположим, ваш портфель случайным образом поделен между двумя облигациями, цены обеих равны 100. Облигация А является одногодичной облигацией с купонной ставкой 10% и, следовательно, доходностью 10%. Облигация Б - это двухгодичная облигация с купонной ставкой 8%, и, таким образом, ее доходность составляет 8%. Со-

Чтобы лучше проанализировать связь между доходностью к погашению и процентными ставками "спот", см.: S.M. Schaefer. The Problem with Redemption Yields Financial Analysts Journal. 33: 59-67. July-August. 1977.

чтя, что доходность вашего портфеля равна 9%, вы совершили бы ошибку. На самом деле доходность составляет 8,68%. Иначе говоря.

200 = 1..

1,0868 1,0868

Таким образом, опасно полагаться на доходность к погашению - подобно большинству средних показателей, она скрывает значительную часть интересной информации.

* Оценка

временнбй

структуры

Если вы просто хотите быстро и приблизительно оценить общую доходность облигации, взгляните на ее доходность к погашению. Но если вы стремитесь понять, почему разные облигации продаются по различным ценам, вам нужно копать глубже и выявить процентные ставки "спот". Но как раз этим современные специалисты по облигациям отнюдь себя не утруждают Так что вот он, ваш шанс вырваться вперед.

Вернитесь к таблице 23-2, где показано, как инвесторы оценивают стоимость облигаций со ставкой 5% и сроком погашения в 1998 г За пять лет до погашения каждая облигация подобна пакету из пяти мини-облигаций. В пакет входят одна мини-облигация, по которой выплачивается 50 дол. в году /=1, другая мини-облигация, по которой выплачивается еще 50 дол. в году /=2, и т. д. до пятой мини-облигации, по которой выплачивается 1О50 дол. в году /=5.

Чтобы найти процентные ставки "спот", сначала мы определяем цены всех мини-облигаций. Например, в 1993 г вы могли бы приобрести такие пакеты:

1. Инвестировать 1704,22 дол. на покупку двух "5s of98".

2. Инвестировать 1054,29 дол. на покупку одной " 10s of98".

Каждый пакет за четыре года дает поток денежных средств в размере 100 дол. Но при погашении облигаций в году 5 первый пакет приносит 2 X 1050 = 2100 дол., а второй 1 х 1100 = 1100 дол. Таким образом, единственное преимущество в потоках денежных средств первого пакета возникает в году 5. Покупка первого пакета обходится на 649,93 дол. дороже (1704,22 - 1054,29 = 649,93 дол.), но вы выигрываете 1000 дол. в году 5 (2100- 1100= 1000 дол.).

Инвесторы, должно быть, не отдают предпочтение ни одному из двух пакетов - иначе они игнорировали бы одну облигацию и покупали бы другую, и цены на облигации изменились бы. Таким образом, дополнительные 1000 дол., получаемые в году 5, должны стоить сегодня 649,93 дол.:

PV(1000дол. в году 5) = 649,93 дол.

Но значение приведенной стоимости зависит от ставки "спот" для 5 лет, г,:

1000

PV =

- = 649,93.

Отсюда мы находим, что равна 0,09, или 9%.

В этом примере мы взяли две облигации с одним сроком погашения -5 лет, но с разными купонными ставками. Это позволило нам найти цену мини-облигации, по которой производятся выплаты только в году 5, и таким образом нашли ставку "спот" для 5 лет Чтобы установить точные цены на мини-облигации и ставки "спот" для всех других периодов, нам потребовался бы полный ряд соответствующих облигаций. В практических ситуациях нам никогда так не повезет, но если мы располагаем широким диапазоном купонных