назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [ 178 ] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354]


178

Чтобы оценить стоимость опциона на акцию "Вомбата", мы взяли денежный заем и купили акцию таким образом, чтобы доход от этой комбинации точно копировал доход от опциона "колл". Количество акций, необходимых для того чтобы скопировать опцион "колл", часто называют коэффициентом хеджирования, или дельтой опциона. В нашем примере с корпорацией "Вомбат" позиция с займом и одной акцией эквивалентна трем опционам "колл". Следовательно, дельта опциона равна Д.

Как мы узнали, что опцион "колл" на акцию корпорации "Вомбат" эквивалентен позиции с займом и одной третью акции? Мы использовали простую формулу:

разброс возможных цен опциона 15 - 0 1

Дельта опциона =--z-= ----- =-.

разброс возможных цен акции 125-80 3

Вы узнали не только о том, как оценить стоимость простого опциона. Вы также узнали, что вы можете скопировать инвестиции в опцион с помошью инвестиций с использованием займа (с левериджем) в активы, лежащие в основе опциона. Таким образом, если вы не в состоянии купить или продать опцион на актив, вы можете сами создать этот опцион посредством покупки или продажи дельта акций и давая или беря взаймы оставшиеся средства.

Метод

нейтрального отношения к риску

Поясним, почему опцион "колл" на акции корпорации "Вомбат" должен быть продан за 9,09 дол. Если бы цена опциона превышала 9,09 дол., вы вполне могли бы получить прибыль, купив одну акцию, продав три опциона "колл" и сделав заем в размере 27,73 дол. Аналогично, если бы цена опциона была ниже 9,09 дол., вы также могли бы извлечь прибыль, продав акцию, купив три опциона "колл" и ссудив оставшуюся сумму В каждом случае работал бы денежный станок.

Если существует денежный станок, любой стремится воспользоваться его преимуществами. Итак, когда мы говорили о том, что цена опциона должна равняться 9,09 дол., в противном же случае должен существовать денежный станок, мы ничего не знали об отношении инвесторов к риску Цена не может зависеть от отношения инвесторов к риску, каким бы оно ни было - резко отрицательным или нейтральным.

Этот вывод подсказывает альтернативный способ оценки стоимости опциона на акцию "Вомбата". Мы сделаем вид, что все инвесторы равнодушны к риску При этом условии вычислим ожидаемую будущую стоимость опциона и затем, чтобы получить его текущую стоимость, дисконтируем будущую стоимость опциона по безрисковой процентной ставке. Давайте проверим, дает ли этот метод тот же результат

Если инвесторы равнодушны к риску ожидаемая доходность акций должна быть равна процентной ставке:

Ожидаемая доходность акций "Вомбата "= 10% годовых.

Мы знаем, что цена на акции "Вомбата" может либо вырасти на 25%, до 125 дол., либо снизиться на 20%, до 80 дол. за акцию. Следовательно, мы способны вычислить вероятность роста цены в нашей гипотетической модели с нейтральным отношением инвесторов к риску:

Ожидаемая доходность = (вероятность роста) х25 + +(1 - вероятность роста) х(-20) = 10%.

Отсюда следует:

Вероятность роста = 0,67, или 67%.



Как мы знаем, если цена акции вырастет, опцион "колл" будет стоить 15 дол.; если цена снизится, "колл" не будет стоить ничего. Поэтому ожидаемая стоимость опциона "колл" равна:

(Вероятность роста х 15) + [(1 - вероятность роста) хО] = = (0,67X 15) + (0,33X 0) = 10дол.

И текущая стоимость опциона равна:

Ожидаемая будущая стоимость 10 1 + процентная ставка 1,10

= 9,09 дол.

Тот же самый результат, который мы получили ранее! Теперь мы знаем два способа оценки стоимости опциона.

1. Найти комбинацию из инвестиций в акции и займа, которая копирует инвестиции в опцион. Поскольку две стратегии приводят к одинаковым результатам в будущем, сегодня они должны иметь одну и ту же цену

2. Допустить, что инвесторы безразличны к риску, и, таким образом, ожидаемая доходность акций равна процентной ставке. Вычислить ожидаемую будущую стоимость опциона при условии нейтрального отношения инвесторов к риску и дисконтировать ее по процентной ставке.

Оценка стоимости опционов со сроком более одного периода

Наш пример с опционом "колл" на акции компании "Вомбат" нереалистичен в одном важном моменте: к концу года цена на акции "Вомбата" может иметь более чем два значения. Мы могли бы сделать пример немного более реалистичным, если бы допустили два возможных изменения цены в каждом периоде по 6 месяцев. Это дало бы более широкий диапазон цен в конце года. И при этом можно было бы снова сконструировать ряд инвестиций с использованием займа в акции, которые имели бы точно такие же перспективы, как и опцион".

Нам не обязательно ограничиваться периодами по 6 месяцев. Мы могли бы взять два более коротких интервала и в каждом показать два возможных изменения цен на акции "Вомбата". В конце концов мы пришли бы к ситуации, при которой цена акций "Вомбата" изменяется постоянно и дает бесконечное количество возможных значений в конце года. Мы могли бы по-прежнему копировать опцион "колл" посредством комбинации займа и инвестиций в акции, но нам потребовалось бы постоянно корректировать степень финансовой зависимости в течение года.

Вычисление стоимости этих инвестиций с левериджем может показаться очень утомительным делом, но Блэк и Шольц вывели формулу, которая упрощает расчеты. Эта формула имеет неприглядный вид, но ее можно интерпретировать следующим образом:

Стоимость опциона = [дельта х цена акции]-[банковский заем]

Р ]-[N{d) X PV{EX)],

log[P/PV{EX)] ayfJ

В следующей главе мы рассмотрим пример с двумя периодами.



Использование Не кажется ли вам, что фомула Блэка-Шольца для оценки опционов несколь-формулы оторвана от реальности? На самом деле это соверщенно не так. Каждый день

Блэка-Шольца Дилеры на опционных биржах применяют эту формулу при соверщении огромного количества сделок. В больщинстве своем эти дилеры не смогли бы самостоятельно произвести математические вычисления по формуле; они просто используют калькуляторы со специальными программами для оценки опционов или пользуются таблицами для расчета стоимости опционов.

Таблицы 6 и 7 в Приложении помогут вам применить формулу Блэка-Шольца ко многим простым опционам. При использовании таблиц нужно выполнить следующие четыре операции.

Ш*" !• Найти произведение стандартного отклонения пропорциональных изменений стоимости актива и квадратного корня из числа периодов до истечения срока исполнения опциона. Например, предположим, что вы хотите оценить опцион со сроком 4 года на акции корпорации "Полынь" и что стандартное отклонение изменений цены акции с непрерывным начислением сложного процента составляет 40% в год.

Стандартное отклонение х V число периодов = 0,40 х 44 = 0,80.

Найти отнощение стоимости активов к приведенной стоимости цены исполнения опциона. Например, предположим, что в настоящий момент цена на акции "Полыни" равна 140 дол., цена исполнения опциона - 160 дол., и процентная ставка составляет 12,47%. Тогда:

Стоимость актива , 160 , ,

-;-7-г = 140 :-г = 1,4.

приведенная стоимость [цены исполнения) [ 1 1247)

Шаг 3. jgjgpj обратимся к таблице 6 и найдем значение, соответствующее полученным на щагах 1 и 2 числам. Вы можете видеть, что стоимость опцио-

То есть Nld) представляет собой вероятность того, что случайные переменные S с нормальным распределением будут меньше или равны d. N(dj) в формуле Блэка -Шольца равно дельте опциона. Таким образом, формула говорит нам, что стоимость "колла" равна инвестиции стоимостью N(df) в обыкновенную акцию за вычетом займа в размере N(d х PV(EX).

5 Хотя ожидаемая доходность оказывает влияние на цену акций, она не влияет на относительную стоимость акций и опциона.

=d,-o4t

N(d) - кумулятивная нормальная вероятность функции плотности*. Ю(- цена исполнения опциона; значение PV(EX) рассчитывается путем дисконтирования по безрисковой процентной ставке г; PV[ЕХ) = ЕХе~, t - количество периодов до срока исполнения опциона, Р - текущая цена акции,

а - стандартное отклонение доходности акций за период (с непрерывным начислением).

Обратите внимание, от чего зависит и от чего не зависит стоимость опциона. Желание инвесторов взять на себя риск не влияет на стоимость опциона, не оказывает влияния и ожидаемая доходность акций". Стоимость опциона возрастает с ростом цены акции {Р); она падает при снижении приведенной стоимости цены исполнения {PV(EX)), которая, в свою очередь, зависит от процентной ставки и срока исполнения опциона; и стоимость возрастает при умножении количества периодов до срока исполнения на показатель изменчивости цены акций {o4t )

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [ 178 ] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354]