Европы и Сицилии и самым влиятельным государем того времени Он ратовал за абсолютную монархию и окружал себя пышнсютью приличествующей императору.

Встреча Фибоначчи и Фредерика II произош.та в 1225 году и была весьма важньш событием для Пизы. Император ехал во главе длинной процессии, состоящей из трубачей. придворньЕх, рыцарей, чиновников и жшзотных из импералюрского зверингда. Некоторые из проблем, поставленных императором перед ве.гшким математиком paccMOTjjeHbi в "Liber Abacci». По-видшюму. Фибоначш решил поставленные императором задачи, поскольку с тех пор всегда был желанным гостем при дворе. Когда в 1228 году Фибоначчи подверг ревизии "Liber АЬасс!», он посвятил исправлегшое издание Фредерику П.

Будет почти прееныпением сказать, что Леонардо Фибоначчи бы.л величайшим мате.матиком средневековья. Его перу принадлежат три выдающггхся математических труда: «Liber АЬасс!». опубликованная в 1202 и переизданная в 1228 году, «Practica Geometriae*. изданная в 1220. и «Liber Quadratorium-. Восхищенные граждане Низы в 1240 году подтверди;ш документально, что он был «благоразумным и ученым мужем», а совсем недавно Джозеф Гайз. старший редактор "Encyclopedia Britannica», заявил, что будущие исследователи со временем «воздадут должное Леонарду Пизанскому как одному из величайших в мире пионеров мысли». Его работы лишь теперь, спустя сотни лет, переведены с латьши на английский язык. Заинтересовагшые читатели могут обратиться к книге Дж. и Ф. Пшз «Леонард 11изанский и новая математика средттих веков», превосходному трактат: посвященному работам Фибоначчи и тем временам, когда они были написаны.

Несмотря на то что Фибоначчи был вешгчайшим математиком Средневековья, его памяти посвящены лишь статуя, стоящая напротив Пизанской башни на другом берегу реки Арно, и две ул1щы, носящих его имя: одна в Пизе, а другЕШ во Флоренщ1И. Кажется странным, что среди несмегных полчищ турисггов, приходящих посмотреть на ] 79-футовую мраморную башню, лишь очень немногие хотя бы слышали имя Фибоначчи или видели его статую. Фи6онач»ги был современником Б*знанны. архитектора, воздвигшего башню, строительство котоюй началось в 1174 году. Оба эти человека внесли свой вклад в мировую историю, но тот. чье влияние значительно превышало засл>ти другого, остался почти неизвестным.

последовательность

Фибоначчи

В .Liber Abacci* поставлена за,хача, из решения которой возникает последовательность чисел i, 1, 2, 3, 5.8. 13. 21. 34, 55, 89, 144 и так далее до бесконечности, сегодня известная как последовательность Фибоначчи. Задача формулируется следующим образом:

«Сколько пар кроликов, помещенных в закрытое пространство, можно полл"1ить за один год от одной пары крсликов. если каждая пара приносит каждый месяц, начршая со второго, нов\ло пару?»

В поисках решения мы обнаруживаем, что каждой паре, включая псрв\ло, требуется месяц для созревания, но, naias плодиться, она пргшосит ежемесячно новую пару. К началу второго месяца у нас по-прежнему только одна пара. Ткким образом возникает последовательность 1,1. Эта первая пара в конце концов удваивает свое количество во время второго месяца, так что в начале третьего месяца имеется две пары кроликов. После этого старшая пара приносит третью пару в следтощем месяце, так что в начале четверлюго месяца последовательность расширяется до 1, 1, 2, 3, Из этих трех

Генеалогическое дерево семьи Кроликов

Месяц 1

5 6 7 8

Пары 1

5 8 13

2 За двенадцать месяцев семья г-на и г-жи Кроликов вырастет до 144 пар

пар приносят потомство две старшие пары, а самая молодая нет

и количество пар кроликов доходит до пяти. В стедутощем месяце потомство приносят три пары, а последовательность расширяется до 1, 1, 2, 3. 5. 8 и так далее. На рис. 3-1 показано древо популяции кроликов, где видно, что популящш растет с экспоненциальным ускорением. Еачи продолжать последовательность в течение нескольких следующих лет. цифры станут астрономическтш. Через 10 месяцев, например, нам пришлось бы возиться с 3544224848179261915075 парами кроликов. Последовательность Фибоначчи, возникающая из задавши про кроликов, обладает \шо-гими интересными свойствалш. Например, отношения между ее членами, находящилшся на одинаковом расстоянии друг от друга, почти не изменяются.

Сумма любых двух соседних чисел последовательности равна следующему за ними члену: так, 1 плюс 1 равно 2, 1 плюс 2 равно 3, 2 плюс 3 равно 5, 3 плюс 5 равно 8 и так далее до бесконечности.

Золотое соотношение

После нескольких первых чисел последовательности отношение любого ее члена к [юследующему прибли.зительно равно 0.618, а к предшествутощему - 1,618. Чем больше порядковый номер члена последовательности, тем ближе отношение к числу фи (обозначается ф), являющемуся иррациональным числом и равному 0,618034... Отношение между членадш последовательности, разделенными одним числом, примерно равно 0,382. а обратное ему число равно 2,618. На рис. 3-2 приведена таблица соот1гошений всех чисел Фибоначчи от 1 до 144.

Ф является единственным числом, которое, будучи прибавленным к 1, дает обратное себе число: 1 -н 0,618 = 1 : 0,618. Это родство процедур сложения и умножения приводит к следующей последовательности уфавнений:

0,618== I -0,618 0,618 = 0,618-0,618= 0,618 = 0,618=-0.618 0.618= = 0.618-0,618 или

е-е-

«о

чиэхЕнаиенЕ

1.618== 1 +0,618 1.618= 1.618 + 0,618 1.618= 1,618 + 0,618= 1.6185= 1.618 + 0.618

Некоторые взаимосвязанные свойства этих четырех основных коэффициентов перечислены ниже:

1,618-0,618= 1 1.618x0.618= 1 1-0,618 = 0,382 0,618x0.618 = 0.382 2,618-1,618= 1 2.618 x 0.382= 1 2.618x0.618= 1.618 1.618Х 1.618 = 2.618

Если любое число Фибоначчи, кроме 1 и 2, лгмножить на четыре и прибавить к определенному числу Фибоначчи, то получится другое число Фибоначчи, так что:

3x4= 12: + 1 = 13 5x4 = 20; + 1 = 21 8 X 4 = 32; + 2 = 34 13х4 = 52; + 3 = 55 21x4 = 84;+5 = 89 ИТ д.

По мере роста новой прогрессии числа образуют третью последовательность, составлегпгую из чисел, прибавленных к произведению четверки и числа Фибоначчи. Это делается возможным в связи с тем. что отношение между членами пос.чедователь-иости, отстоягцими друг от друга на две позиции, равно 4.236. где число 0,236 является обратным к 4,236 и. кроме того, разностью между 4,236 и 4. Другие многкители приводя! к другим последовательностям, все они основаны на коэффициентах ФН" боначчи.

Мы предтагаем вашему вюгашппо cmicoK некоторых дополшг-тельных свойств, связанных с последовательностью Фибоначчи:

1 Никакие из двух последовательных чисел Фибоначчи не имеют общих делителей.

2. Если члены последовательности Фибоначчи пронумеровать Kait 1 2. 3. 4. 5, 6. 7 и т. д.. мы обнаружим, что. за исключением четвертого чтена (число 3), номер любого числа Фибоначчи, являющегося простым чистом (т. е. не имеющим иных делителей, кроме себя самого и едтши-цы), таки;е является простым чистом, Сходтгым образом, за исключе-ш1ем четвертого члена последовательности Фибоначчи (число 3). все составные номера членов последовательности (то есть те, что имеют как шптимум два делитачя за исюхючегшем себя самого и единицы), соответствуют составным числам Фибоначчи. »гго и показывает приведенная ниже таблица. Обратное пе всегда оказьгеается верным.

Простые и составные числа Фибоначчи:

П П П X п п п и

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 ХС ССС С ССС

3. Сумма любых десяти членов последовательности делится на одиннадцать.

4. Сумма всех чисел Фибоначчи до определенной точки после-довател1:.ности плюс единица равна числу Фибона1чи. отстоящему на две позиции от последнего прибавленного 1шсла.

5. Сумма квадратов любьгх последовательных членов, начгахаю-Щихся с первой 1, всегда будет равна последнему (из данной выборки) числу последовате-чьности, улшоженггому на следующий член,

6. Квадрат числа Фибоначчи минус квадрат второго члена последовательности в сторону уменьшения всегда будет числом Фибоначчи.

7. Квадрат любого числа Фибоначчи равен предыдущему члену последовательности, умноженному на следующее чисао в постедо-вательиостн, плюс или минус единица. Прибавление и вычитание единицы чередуются по мере развития последовательности.

8. Сумма квадрата числа и квадрата следующего числа Фибоначчи F, равна числу Фибоначчи Р, ,. Форм>ла F" + , = F, ,,