с ti э

-4 -2 0 2 4
Standard Deviations
РИСУНОК 17.2b Уравнение Макки-Гласса: системньш шум.
Дпя генерирования показателя Херста, равного 0,70, было добавлено достаточно шума, как показано в Главе 16. Частотное распределение теперь представляет собой знакомое распределение с высоким пиком и толстыми хвостами. На Рисунках 17.3(a)-17.3(c) показаны различия между этими распределениями и нормальным распределением. Системы с шумом напоминают фафики индекса Доу-Джонса на Рисунках 2.4(а)-2.4(е), но фафики без шума выглядят совсем по-другому. Почему?
Добавление нормально распределенного гауссова шума, согласно нашим предшествующим исследованиям, приводит к понижению показателя Херста. Кроме того, оно смещает среднее к центру (сближая среднее и медиану), удлиняет отрицательный хвост и добавляет больше (отрицательных) значений. Положительный хвост сокращается вследствие смещения среднего и добавления меньших значений. Однако первоначальное распределение имело высокий пик и длинный положительный хвост. Откуда появился длинный отрицательный хвост?
Дпя уравнения Макки-Гласса, показанного на Рисунке 6.7, я взял уравнение (6.4) и добавил 10 к получающимся значениям. Это преобразование бьшо необходимо, потому что уравнение (6.4) производит отрицательные значения, а взять логарифм отрицательного числа нельзя. Прибавление 10 привело к передвижению всех значений в положительную область. Добавленный шум был белым гауссовым шумом. В результате шум имел большее воздействие на изменения во впадинах системы, чем на изменения в ее пиках. Отсюда и более длинный отрицательный хвост.

i I III
о i
t S 6
Standard Deviations
РИСУНОК 173a Уравнение Макки-Гласса: без шума - нормальное распределение.
4> 3
« о с «

,JJ 1 I III о
о I " i 4
Standard Deviations
РИСУНОК 173b: Уравнение Макки-Гласса: наблюдаемьш шум - нормальное
распределение.
(U 3 О"
1J и-
... L.

.,1.к...11
О 1 : Standard Deviations
РИСУНОК 173с: Уравнение Макки-Гласса: системный шум - нормальное
распределение.
При системном шуме изменение является другим. Отрицательный хвост весьма длинен - почти такой длинный, как и положительный хвост. Схожесть частотных распределений системного шума с распределениями рынка капитала, которые мы видели в Главе 2, поразительна. Фактически, это первый смоделированный ряд, отличный от ARCH и его производных, который имеет эту характеристику.
ВРЕМЕННАЯ СТРУКТУРА ВОЛАТИЛЬНОСТИ
В Главе 2 мы рассмотрели временную структуру волатильности рынков акций, облигаций и валюты. Временная структура волатильности - стандартное отклонение прибылей на различных горизонтах времени. Если рыночные прибьши определяются нормальным распределением, то волатильность должна увеличиться с квадратным корнем из времени. То есть пятидневные прибыли должны иметь стандартное отклонение, эквивалентное стандартному отклонению ежедневных прибьшей, умноженному на квадратный корень из пяти. Однако мы нашли, что акции, облигации и валюта имеют такие временные структуры волатильности, которые увеличиваются быстрее квадратного корня из времени, что согласуется со свойствами распределений бесконечной дисперсии и дробного броуновского движения (FBM). Для чистого процесса FBM такое масштабирование должно увеличиваться бесконечно. Мы нашли, что валюта, как оказалось, не имеет предела масштабирования, но