P = C + (Xo-F)*e"*

Это опять является европейским опционом пут, который дает держателю право, но не обязательство, продать 1 единицу Ai по цене исполнения Хо-

Коэффициент псевдохеджирования

Маккаллок определил коэффициент хеджирования, но задал ему важные офаничительные условия. Прежде всего, фрактальные системы, как мы обсуждали, подвержены разрывам в проекции прямой времени. Это делает арбитражную логику Блэка и Шоулса (Black and Scholes, 1973) бесполезной в самых тяжелых ситуациях (большие события, которые вызывают толстые хвосты), когда хед>кер в ней больше всего нуждается. Эта несостоятельность подхода Блэка-Шоулса привела к тому, что стратегия, названная "портфельное страхование", обеспечила только частичную защиту во время краха 1987 г,

Маккаллок действительно предложил коэффициент псевдохеджирования. По существу, риск продажи опциона колл (writing а call option) может быть частично застрахован, если занять долгосрочную позицию на базовом активе. Необходимые единицы выведены в следующем уравнении:

с i 1

(15.28)

Тем не менее, поскольку не существует средства от разрывов в проекции прямой времени рыночных прибьшей, "совершенный" хедж во фракгальной среде невозможен. Это всегда будет несовершенный хедж.

Численные значения опциона

Маккаллок вычислил несколько значений опциона в качестве примеров. Он использовал следующий аргумент для вычисления значений опциона из стандартных таблиц, таких как таблицы в Приложении 3.

Предположим, что нас интересует опцион колл на 1 единицу Аг по цене исполнения Хо, как мы определяли эту проблему в данной главе. Мы определяем С(Хо,Р,а,р,с,Г,Т) как цену досрочного выкупа. Это может быть записано следующим образом:

C(X„,F,a,p,c,r,,T) = ei**F*C

(15.29)

где:

,1,с,Дс,0,1

(15.30)

Схожее преобразование может быть выполнено для цены исполнения опциона

пут Р и Р. Кроме того, используя уравнение (15.27), мы можем вычислить Р от С:

(15.31)

Опцион пут на 1 долю Аг по цене Хо эквивалентен опциону пут на Хо акций Ai по цене исполнения 1/Хо. Значение последнего опциона в единицах Аг составляет:

1 1

Хо F

,a-j3,c,r,T

потому что форвардная цена составляет 1/F единиц Аг.

Log(l/x) = - log(x), а также имеет параметры а, -(3, с. Это может быть переформулировано как:

C{X„F,a,j3,c,r,,T) = S

Х,*Р

1 1

X, F

,а-/3,с,г,Т

(15.32)

На основе использования уравнения (15.26) это может быть сформулировано следующим образом:

+ 1-

(15.33)

Следовательно, цены опционов для комбинации различных коэффициентов могут быть рассчитаны на основе таблиц

для -- > 1.

-,сх,/3,с

в таблицах 15.2 и 15.3 мы воспроизводим две таблицы Маккаллока. Значения показаны для 100 опционов, оцененных в С (Xo/F,a,p,c). Таблицы показывают значение в количествах А для 100 акций или единиц Аг. Если опцион на IBM (Аг), подлежащий оплате в долларах (АО, таблица показывает значение стоимости, в долларах, для опциона IBM на 100$ стоимости IBM.

В таблице 15.2 С = 0.1, а Xq/F = 1.0. Поскольку Хо - цена исполнения, а F -форвардная цена, опцион имеет нулевую внутреннюю стоимость, аир могут изменяться. Уменьшение а приводит к повышению цены опциона, поскольку устойчивые распределения имеют более высокий пик в среднем, и, следовательно, более вероятно, что они, а не нормальное распределение, будут иметь нулевую внутреннюю стоимость. Когда а = 2.0, бета не оказывает никакого влияния. Однако для других значений беты цена повышается вместе с асимметрией.

В таблице 15.3, также воспроизведенной из работы Маккаллока (McCulloch, 1985), альфа и бета считаются постоянными и равными 1,5 и 0,0 соответственно; вместо них изменяются Xo/f. Как и следовало ожидать, увеличение (которое эквивалентно увеличению волатильности в формуле Блэка-Шоулса) приводит к

увеличению значений опциона. То же самое верно в отношении опциона, который имеет все более и более положительную внутреннюю стоимость.

Таблица 15.2 Фраюипьные цены опционов: с = 0,1, X(/F = 1,0

Таблица 153 Фраюипьные цены опционов: а = 1,5, р = 0,0

Xo/F

Заключение

В начале этого раздела я говорил, что фрактальное опционное ценообразование является достаточно сложным и требует всестороннего изучения. Неочевидно, что сложная методология, используемая здесь, необходима, но она, безусловно, стоит повторного рассмотрения. Огромные суммы денег направляются на рынки опционов, и знание формы исходного распределения должно приносить прибыль. Оно должно, по крайней мере, дать передышку тем, кто использует традиционный коэффициент хеджирования и ожидает, что он даст им "совершенный хедж". В этой главе мы видели, что он не может существовать.

ВЫВОДЫ

В данной главе бьша рассмотрена более ранняя работа, которая использовала устойчивые распределения в двух традиционных областях количественной финансовой экономики. Первой областью бьш выбор портфеля. Фамэ и Самуэльсон независимо разработали вариант рыночной модели Шарпа, который предусматривал