ЧЕРНЫЙ ШУМ: 0,50 < Н < 1,0
Процесс Херста, который, по существу, является процессом черного шума, уже широко обсуждался. Подобно розовому шуму, кажется, что в природе существует большое количество процессов черного шума. Розовые шумы происходят в процессах релаксации, таких как турбулентность. Черный шум появляется в длительных циклических данных наблюдений, таких как уровни рек, число солнечных пятен, толщина годовых колец, а также изменения цен на фондовом рынке. Процесс Херста является одним возможным объяснением появления черного шума, но есть и другие причины существования во временном ряду персистентности. В Части 5 мы обсудим возможность "шумового хаоса". В этом разделе мы исследуем дробное броуновское движение.
Эффект Иосифа
Дробное броуновское движение (fractional brownian motion - FBM) представляет собой обобщение броуновского движения, которое долгое время использовалось как процесс диффузии "по умолчанию", как мы неоднократно говорили ранее. По существу, если изучаемый процесс неизвестен, и вовлечено большое число степеней свободы, то броуновское движение является столь же хорошим объяснением, как и любое другое объяснение. Поскольку броуновское движение и его свойства так широко и хорошо изучены, оно также делает доступным большое количество математических инструментов для анализа. Однако, как мы видели, широкая распространенность вероятностных процессов и броуновского движения - это миф. Херст обнаружил, что большинстю процессов персистентно и обладает эффектами долговременной памяти. Это нарушает предположение, которое делает процесс случайным, понижая, таким образом, надежность большинства таких инструментов. Частью проблемы является ограничительное предположение, необходимое для броуновского движения - и гауссовой статистики, которая лежит в его основе. Эго становится частным случаем, а не общим случаем. Возможно, самая широко распространенная ошибка в анализе временного ряда - предположение о том, что большинство рядов должно быть принято как броуновское движение, пока не доказано обратное. Обратное должно иметь место.
Броуновское движение первоначально изучалось как беспорядочное движение маленькой частицы, взвешенной в жидкости. Роберт Броун (Brown, 1828) понял, что это беспорядочное движение бьшо свойством самой жидкости. Теперь мы знаем, что беспорядочное движение происходит из-за столкновения молекул воды с частицей. Башелье (Bachelier, 19(Ю) выявил взаимосвязь между случайным блужданием и гауссовой статистикой.
Эйнштейн (Einstein, 1908) увидел взаимосвязь между броуновским движением и случайным блужданием. В 1923 г. Винер (Weiner, 1976) смоделировал броуновское движение как случайное блуждание, с лежащей в основе гауссовой статистической структурой. Федер (Feder, 1988) объяснил этот процесс следующим образом.
Возьмем Х(0 как положение случайной частицы во времени t. Пусть {е} будет гауссовым вероятностным процессом с нулевым средним и единичной дисперсией,
состоящим из случайного числа, помеченного как е. Изменение положения случайной частицы со времени to ко времени t задается следующим:
X(t)-X(to)==e*t-t«", fort>t« (13.5)
где И = 0,50 для броуновского движения
Как сказал Федер (Feder, 1988): "Положение X(t) находится, если дано положение X(t()), посредством выбора случайного числа е из гауссова распределения, умножая его на приращение времени t - t of и прибавляя результат к данному положению X (to)".
Для дробного броуновского движения мы обобщаем Н таким образом, чтобы оно могло варьироваться от О до 1. Если теперь мы задаем Bn(t) как положение частицы в FBM, дисперсия изменений положения изменяет масштаб во времени следующим образом:
V(t-to) = t-t<,*" (13.6)
Для Н = 0,50 это сводится к классическому гауссову случаю. Дисперсия увеличивается линейно со временем, или стандартное отклонение увеличивается как квадратньиТ корень из времени. Однако FBM имеет дисперсии, которые изменяют масштаб быстрее броуновского движения, когда 0,5 < Н < 1. Согласно (13.3) стандарттюе отклонение должтю увеличиваться со скоростью, равной Н. Таким образом, персистентный процесс черного шума будет иметь дисперсии, которые ведут себя очень подобно масштабироватшю рьшков капитала, которое мы исследовали в Главе 2. Однако те процессы действительно увеличивались медленнее П. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний изменял масштаб как 0,53 корня из времени, в то время как Н = 0,58. Аналогично, стандартное отююнение обменного курса иена/доллар изменяло масштаб как 0,59 корня из времени, в то время как Н = 0,62. Идея, стоящая за уравнением (13.6), правильна, но она нуждается в дальнейшем усовершенствовании. Мы оставляем это для будущего исследования. Тем временем, мы можем сказать, что между масштабированием дисперсии и Н существует взаимосвязь. Точный характер этой взаимосвязи остается неясным.
Кроме того, корреляция между приращениями C(t) определяется следующим образом:
C(t) = 2*"">-1 (13.7)
Это уравнение выражает корреляцию изменений в положении процесса за время t со всеми приращениями времени t, которые предшествуют ему и следуют за ним. Таким образом, в рыночных терминах это была бы корреляция всех однодневных прибылей со всеми будущими и прошлыми однодневными прибылями. Это также относилось бы к корреляции всех пятидневных прибылей со всеми прошлыми и будущими пятидневными прибылями. Фактически, с теоретической точки зрения, это относилось бы ко всем приращениям времени. Это является мерой силы эффекта долговременной памяти, которая охватьшает все масштабы времени.
Когда процесс находится в броуновском движении с Н = 0,50, C(t) равно нулю. Эффекта долговременной памяти нет. Когда О < Н < 0,50, C(t) отрицательно. В данном
случае имеет место эффект инверсии, который происходит в многократных масштабах времени. Мы видели аналогичный эффект для антиперсистентного процесса розового шума. Тем не менее, когда процесс представляет собой черный шум с 0,5 < Н < 1,0, мы имеем бесконечные длительные корреляции; то есть мы имеем эффект долговременной памяти, который происходит в многократных масштабах времени, или на инвестиционных горизонтах рьшков капитала. Мы знаем, что уравнение (13.5) не совсем верно, так что мы можем ожидать, что уравнение (13.6) также нуждается в поправке. Эта проблема также оставляется для будущего исследования.
Таким образом, уравнение, определяющее FBM, использует этот эффект бесконечной памяти:
Вн(1) = [1/Г(Н + 0,50)]*[ f(t-t "-•*-t4"-")dB(t)
Н-ОД)
t-tr-"-dB(t)] (13.8)
Как и прежде, когда Н = 0,50, уравнение (13.8) сводится к обычному броуновскому движению. Если мы более внимательно исследуем (13.8), мы увидим, что в отношении FBM появляется целый ряд интересных свойств. Первое свойство заключается в том, что FBM - нестационарный процесс, который часто наблюдался в отношении рынков капитала. Однако изменения в FBM не только стационарны, но и самоподобны. Уравнение (13.8) может бьпъ упрощено, для целей моделирования, в форму, которую легче понять:
ВнО) -ВнО- 1)= [п-"/Г(Н + 0,50)]*[Х i""""* * r(,«wi)
/•=1
п*(М-\)
lan+i)"-"-"-/"-""(13.9)
где г = ряд гауссовых случайных переменных М
Уравнение (13.9) представляет собой дискретную форму уравнения (13.8). По существу, оно говорит о том же, заменяя интегралы суммированиями. Это уравнение - скользящее среднее в конечном диапазоне случайных гауссовых значений М, взвешенных степенным законом, зависящим от Н. Числовые значения на рисунке 6.6 бьши сгенерированы с использованием этого алгоритма. (Программа на языке BASIC для использования этого алгоритма бьша приведена в моей более ранней книге).
Временной ряд (или "след времени") ряда черного шума в его канонической форме становится более гладким по мере увеличения Н или Ь. В моделировании гладкость - результат процесса усреднения. Теоретически, это вызвано увеличенными корреляциями среди наблюдений. Эффект долговременной памяти вызьшает появление трендов и циклов. Мандельброт (Mandelbrot, 1972) назвал это эффектом Иосифа. Источник термина - библейская история о семи годах изобилия, за которыми