может быть еще более распространен и представляет гораздо большую проблему. Когда система интерпретирует шумный выход как вход, мы имеем динамический шум, потому что шум вторгается в систему. Мы будем исследовать динамический шум более подробно в Главе 17.

0.5;

РИСУНОК 6.11 Уравнение Макки-Гласса, добавлен наблюдаемый шум.

- 2

Н=0.76

Observational Noise

0.5 I 1.5 2 2.5

Log(Number of Months)

0 3

РИСУНОК 6.12 R/S-анализ, уравнение Макки-Гласса с наблюдаемым шумом.

гз г \.2 г

Г1 •

1 • :

>

0.9 г

0.8 0.7 0.6

0..5

п = 50

1 1.5 2 2.5

Log(Number of Observations)

РИСУНОК 6.13 V-статистика, уравнение Макки-Гласса: отставание наблюдения = 50.

R/S-анализ является особенно устойчивым к шуму - действительно, кажется, что с ним он процветает.

Эмпирический пример: солнечные пятна

В книге "Хаос и порядок па рынках капитала", я исследовал солнечные пятна. Я повторю это исследование здесь, используя некоторые из новых методов, описанных в этой главе.

Ряд солнечных пятен получен из работы Харлана Тру Стетсона "Солнечные пятна и их эффекты" (Stetson, 1938). Временной ряд содержит данные о ежемесячном количестве солнечных пятен с января 1749 г. по декабрь 1937 г. Ряд был записан людьми, которые ежедневно наблюдали за солнцем и подсчитывали число солнечных пятен. Интересно отметить, что если большое количество солнечных пятен располагалось близко друг к другу, они считались одним большим солнечным пятном. Как вы можете видеть, в этом ряде должна бьша юзникнуть проблема с наблюдательным шумом, даже для среднемесячного значения. Кроме того, хорошо известно, что система солнечных пятен имеет непериодический цикл, равный

Пока мы будем иметь дело с аддитивным шумом. На рисунке 6.11 показаны те же самые точки, что и на рисунке 6.7, с добавлением одного стандаргаого отклонения шума Временной ряд намного более похож на естественный временной ряд. На рисунке 6.12 представлен график R/S с Н = 0,76. Добавление одного стандартного отклонения шума уменьшило показатель Херста, как и следовало ожидать, потому что временной ряд теперь более изрезан. V-статистика на рисунке 6.13 также не затронута добавлением большого количества шума Длину цикла все еще можно оценить при п = 50.

приблизительно 11 годам. 11-летний цикл получен из наблюдений. На рисунке 6.14 показан R/S-график числа солнечных пятен. Небольшие значения п имеют сглаженный наклон, который показывает влияние наблюдательного шума при коротких частотах. Как только наклон начинает увеличиваться, мы получаем Н = 0,72 для п < 11 лет. Приблизительно в 11 лет наклон сглаживается, показывая, что длина непериодического цикла, действительно, равна приблизительно 11 годам. График V-статистики на рисунке 6,15 подтверждает, что цикл составляет приблизительно 11 лет.

11 Years

1.2 1.1 I

0.9 О.К 0.7 0.6 0.5 0.4

I 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Log(Number of Months)

РИСУНОК 6.14 R/S-анализ, солнечные пятна: январь 1749 г. - декабрь 1937 г.

0.7 ;

0.6 г

ё 0.5 f

> 0.4

0.1 -

11 Years

1 - - i

1.5 2 2.5 3 3.5

LogOumber of Months)

РИСУНОК 6.15 V-статистика, солнечные пятна: январь 1749 г. - декабрь 1937 г.