1.Введение во фрактальные временные ряды

необходимых для организации жизни.

Другой пример - жидкость, нагретая снизу. На низких уровнях жидкость нафевается путем конвекции, достигая, в конечном счете, уровня равновесия максимальной энтропии. Все молекулы воды перемещаются независимо.

Существует и глобальная, и локальная случайность. Однако, как только теплота преодолевает критический уровень, независимые молекулы ведут себя когерентно, поскольку начинается конвекция. Жидкость, нагретая снизу, поднимается к верхним уровням, охлаждается и снова опускается, создавая круговорот. Отдельные молекулы начинают вести себя когерентно, как группа. Ученые знают точно, когда начнется эта конвекция (называемая конвекцией Релея-Бенара). Известно направление конвекции. Часть жидкости движется направо, а часть - налево. Никак нельзя предсказать, в каком направлении пойдет конвекция. Еще раз повторим, мы имеем глобальный детерминизм (температура, при которой начинается конвекция) и локальную случайность (направление движения конвекции).

Наконец, мы имеем развитие общества и идей. Новшества, такие как развитие САРМ, часто возникают спонтанно и независимо. Вероятность того, что любой человек создаст такое новшество, случайна, независимо от многообещающих способностей человека. Все же, для эволюционирования и развития любой системы появление таких новшеств должно ожидаться на глобальном основании - будь то в науке, правительстве, искусстве или экономике - если ожидается, что система выживет.

В мире Демиурга случайность равняется новшеству, а детерминизм объясняет, как система использует новшество. На рынках новшество - это информация, а детерминизм - это то, как рынки оценивают эту информацию.

Теперь мы подошли к третьему удару по детерминизму Ньютона: наука хаоса и фракталов, где случайность и необходимость сосуществуют. В этих системах энтропия высока, но никогда не достигает максимального состояния беспорядка из-за глобального детерминизма, как в случае с конвекцией Релея-Бенара. Хаотические системы экспортируют свою энтропию или "рассеивают" ее, аналогично тому, как механические устройства рассеивают часть своей энергии как трение. Таким образом, хаотические системы также являются рассеивающими и имеют много общих свойств с термодинамикой - особенно, стрелой времени.

ФРАКТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Все это концептуальное различие между миром Демиурга и евклидовой геометрией Блага, конечно, интересно, но может ли оно быть использовано на практике? В конце концов, главное преимущество евклидовой геометрии - ее изящная простота. С помощью евклидовой геометрии проблемы могут быть аппроксимированы и решены для нахождения оптимальных ответов. Модели могут быть легко сформированы, даже если они являются общими упрощениями. Могут ли эти постоянно усложняющиеся формы, которые мы назвали фракталами, также быть смоделированы?

Ответ - «Да». Как ни странно, они могут быть смоделированы довольно простым способом. Тем не менее, фрактальная математика часто кажется алогичной и неточной. Она кажется алогичной потому, что всех нас, даже не математиков, учили думать по Евклиду. То есть мы приближаем естественные объекты к простым формам, таким как детские рисунки сосен. Детали добавляются позднее, независимо от главной формы. Фрактальная математика кажется неточной, потому что традиционные математические доказательства трудно находить и развивать: наше понятие "доказательства" происходит, снова, из древнефеческой геометрии. Евклид создал систему аксиом, теорем и доказательства для своей геометрии. С тех пор мы распространили эти понятия на все остальные разделы математики. Фрактальная геометрия имеет свою долю доказательств, но наш основной метод для исследования фракталов - это метод, основанный на численных экспериментах. Используя компьютер, мы можем генерировать решения и исследовать импликации наших фрактальных формул. Такая "экспериментальная" форма исследования математики является новой и еще пока не заслужила уважения большинства чистых математиков.

ИГРА ХАОСА

Следующий пример математического эксперимента использовался в моей более ранней книге «Хаос и порядок на рынках капнтша» (Peters, 1991а), а также в других текстах. Первоначально он был придуман Барнсли (Barnesley, 1988), который неофициально называет его игрой хаоса.

Игра начинается с трех точек, которые очерчивают треугольник. Обозначим три точки как (1,2), (3,4) и (5,6). Это - поле для ифы, которое показано на рисунке 1.1(a). Теперь выберите точку наугад. Эта точка может быть в пределах очертания треугольника или вне его. Пометьте точку Р. Бросьте правильную игральную кость. Продвиньтесь на половину расстояния от точки Р к точке (или углу), помеченному выпавшим числом, и поставьте новую точку. Если у вас вьтала цифра б, продвиньтесь на половину расстояния от точки Р к углу С (5,6) и поставьте новую точку (Рис. 1.1(b)). Используя компьютер, повторите эти шаги 10 ООО раз. Если первые 50 точек у вас вьшали как переходные процессы, в конце у вас получится картинка, показанная на рисунке 1.1 (с). Такая фигура получила название треугольника Серпинского, и она представляет собой бесконечное число треугольников, содержащихся внутри большого треугольника. Если вы увеличите разрешение, вы увидите еще больше маленьких треугольников. Такое самоподобие является важным (хотя не единственным) свойством фракталов.

Интересно, что форма не зависит от исходной точки. Неважно, где вы начинаете, вы всегда приходите к треугольнику Серпинского, несмотря на то, что для ифы необходимы два "случайных" события: (1) выбор исходной точки и (2) выпадение кости. Таким образом, на местном уровне точки всегда расставляются в случайном порядке. Несмотря на то, что точки расставляются в разном порядке каждый раз, когда мы ифаем в эту ифу, треугольник Серпинского появляется всегда, потому что система реагирует на случайные события детерминистическим образом.

Локальная случайность и глобальный детерминизм создают стабильную структуру. Приложение 1 включает профаммную оболочку BASIC для создания треугольника Серпинского. Попробуйте эту ифу сами.

Ифа хаоса показывает, что локальная случайность и глобальный детерминизм могут сосуществовать, чтобы создать стабильную, самоподобную сфуктуру, которую мы назвали фракталом. Предсказать фактическую последовательность точек невозможно. И, тем не менее, шансы расстановки каждой точки не равны. Вероятность заполнения пустых пространств в пределах каждого треугольника, составляет ноль процентов. Грани, очерчивающие каждый треугольник, имеют более высокую вероятность появления. Таким образом, локальная случайность не равна равной вероятности всех возможных решений. Она также не приравнивается к независимости. Положение следующей точки полностью зависит от текущей точки, которая сама зависит от предыдущих точек. Из этого мы можем заключить, что "фрактальная статистика" будет отличаться от ее гауссова аналога.

А (1,2)

А(1,2)

В (3,4)

С (5,6) В (3,4)

С (5,6)

РИСУНОК 1.1 Ифа Хаоса, (а) Начните с трех точек, находящихся на равном расстоянии друг от друга, и наугад поставьте точку в пределах, заданных точками. (Ь) Предположим, что вы бросили кость, на которой выпала цифра 6; вы проходите половину расстояния до точки, помеченной как С(5,6). (с) Повторите шаг (Ь) 10 ООО раз и у вас получится треугольник Серпинского.