Парадокс

Для простых множеств эти определения работают прекрасно. Мы можем с определенностью провести грань между животными любимыми и нелюбимыми. Однако такое использование жестких определений может приводить к проблемам, которые называются парадоксами. Возьмем пример, который носит название парадокс кучи.

Начните с кучи песка. Переместите одну песчинку слева направо - у вас останется куча. Переместите другую песчинку, и еще одну. В конце концов, у вас останется слева одна песчинка. Это все еще куча? Если нет, то когда она перестала

"Ю быТ7,?

Вот где появляется суть нечетких множеств. Две песчинки-это куча? А одна? Возьмем другой пример. Предположим, что имеется множество высоких людей. Как мы определим такое множество? Кто-либо шести футов роста считается высоким? Тогда как насчет пяти футов одиннадцати дюймов-Если это высокий рост, то что можно сказать о пяти футах де сяти дюймах? Когда мы решаем, что кто-то высокий, а кто-т нет? Где мы применяем закон исключенного третьего?

Для четких множеств мы Дрлжны установить пределы! Следует решить, что люди шести футов роста или выше явлЯл ются «высокими». Индивиды ниже этого роста принадлежа дополнительному множеству «невысоких». Так, кто-либо ти футов одиннадцати дюймов - невысок. Но это выгл*

В нашем примере это были бы все любимые животные и все рыбы.

Дополнение множества есть множество всех объектов, не принадлежаш;их множеству. Так, дополнением множества всех животных, которые являются любимыми, было бы множество всех нелюбимых животных. По определению, пересечение четкого множества и его дополнения есть пустое множество. Такого пересечения не существует. Это называется законом противоречия. Животное не может быть одновременно любимым и нелюбимым. Объединение множества и его дополнения есть универсум. Таким образом, дополнением множества всех любимых и множества всех нелюбимых животных является множество всех животных. Это называется законом исключенного третьего. Это значит, что животное должно быть или любимым или нелюбимым.

неразумным. Как может один дюйм составить разницу между высоким и невысоким? Определенно, когда мы видим кого-то, кто обладает ростом пять футов одиннадцать дюймов, мы не можем классифицировать его как человека невысокого. Он высок, но не очень. В этом состоит затруднение. Понятие высоты очень сложно для того, чтобы оперировать с четкими множествами. Решение о том, что кто-то высок в большей степени, зависит от точки зрения. Мы, несомненно, можем распространить это и на более важные понятия, такие, как справедливость и несправедливость, точность и неточность. Даже в военных действиях - что есть война и что не война? Формально Вьетнам и Корея не были войнами, поскольку не было объявления войны. Однако для людей, которые воевали, это определенно были войны.

Четкие множества не могут оперировать с такими понятиями. Они слишком стожны. Лотфи Заде (Lotfi Zadeh, 1965) ввел понятие нечетких множеств, чтобы приспособить теорию множеств для сложных ситуаций. Надобность нечетких множеств была установлена в его законе несовместимости, который был пересказан МакНейлом и Фрейбергом (McNeill, Preiberger, 1994) следующим образом:

«С возрастанием сложности точные утверждения становятся менее осмысленными, а осмысленные утверждения теряют точность».

Таким образом, перед лицом сложных ситуаций требования точности четких множеств становятся непродуктивными. В частности, закон исключенного третьего и закон противоречия слишком точны для использования. В языке мы крутимся вокруг этих проблем, используя «лазейки», такие, как почти, вокруг, около. Мы также используем «определения» вроде зеленый, большой, быстрый.

Заде развил теорию множеств путем обобщения понятия Множества. В четких множествах объект находится или внутри множества, или вне его. В бинарном представлении такой объект равен нулю или единице. Заде ввел частичную принадлежность множеству, описываемую функцией принадлежности, функция принадлежности определяет, насколько подобен объект данному множеству. В четких множествах функция принадлежности равна или нулю, или единице. Это или Полное подобие множеству, или полное отличие от него. В Нечетком множестве функция принадлежности может находиться в диапазоне между нулем и единицей и включать все

Нечеткие множества

Как мы установили, нечеткое множество является способом описания сложных понятий. Чем больше становится их сложность, тем более нечеткими становятся сами понятия. Например, множество целых чисел от 1 до 10 есть простое четкое множество. Однако предположим, чтв-множество составляют «целые числа около шести». Пять около шести. Так же и семь, и восемь. Но что сказать относительно 11 или 16? Нечеткие множества дают нам точный способ определения этого понятия- «около 6», но он субъективен. Графически это можно представить так, как сделано на рис. 15.1.

1.0 0.8 О.б 0.4 0.2 0.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Рис. 15.1. Четкое множество: числа «около 6».

дробные величины этого промежутка. Так, человек шести фу. тов роста имеет функцию принадлежности, равную единице в множестве высоких людей, в то время как некто пяти футов одиннадцати дюймов может иметь функцию принадлежности 0.9, а некто пяти футов четырех дюймов -- функцию принадлежности 0.1. Теория множеств была обобщена, и внезапно исчезли все парадоксы. Теперь мы можем строго определить туманные понятия, такие, как например «куча». Груда в 1000 песчинок имеет функцию принадлежности 1.0 к множеству «куча». Груда в 20 песчинок имеет функцию принадлежности 0.4. Как это было в случае с фракталами, обобщение теории с включением дробных величин размерности увеличивает ее полезность и укрепляет связи с реальностью.