Временной лаг есть отношение значения орбитального периода к размерности вложения, или процент орбиты внутри каждой размерности. Это отношение обеспечивает неизменность орбитального периода в высшей размерности. Например, если период составляет 48 итераций, то в двумерном пространстве было бы использовано 24 итерации с двухточечным лагом, а в трехмерном пространстве - 16 наблюдений с трехточечным лагом. В каждом случае для анализа используется одна 48-месячная орбита, при этом однажды пересекаются все размерности реконструированного пространства.

Следуюгций вопрос: как мы можем узнать значение орбитального периода? Методом нормированного размаха {R/S-анализ) было показано в части 2, как оценить период временного ряда в качестве величины времени, по достижении которого наблюдения становятся некоррелированы. Если значение орбитального периода не обнаруживается легко с помош,ью Л/б-анализа, мы не имеем, по всей вероятности, достаточно данных.

Восстановление фазового пространства становится относительно легким. Важно помнить, однако, что приведенное выше правило есть «правило большого пальца», но отнюдь не закон. В экспериментах можно попытаться изменять это правило, наблюдая что происходит. Используя восстановленное фазовое пространство, мы можем вычислить фрактальную размерность и измерить чувствительность зависимости от начальных условий.

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

Фрактальная размерность фазового пространства мало отличается от фрактальной размерности временного ряда. Временной ряд будет иметь размерность между 1 и 2, поскольку мы имеем дело с единственной переменной. Фазовое пространство включает в себя все переменные системы. Его размерность зависит от сложности изучаемой системы.

Как было установлено в гл. 6, фрактальная размерность дает нам важную информацию относительно изучаемой системы. Целое число, непосредственно следуюгцее за числом фрактальной размерности, говорит о минимальном количестве переменных, необходимых для моделирования динамики системы. Оно задает нижнюю границу возможного количества степеней свободы. Мы также установили, что фракталь-

1оё(1/Л)

где N - количество кругов диаметра Л,

Эта мера используется для фракталов в двумерном пространстве, подобных снежинке Кох. Для высокоразмерного аттрактора необходимо использовать гиперсферы размерностью 3 и выше.

Похожим, но более практичным методом, разработанным Грассбергером и Прокаччей (Grassberger, Procaccia, 1983), является нахождение корреляционной размерности, которая использует корреляционный интеграл Cm{R)- Он представляет собой вероятность того, что две точки на аттракторе лежат в пределах расстояния R одна от другой.

Мы подсчитываем количество пар точек следующим образом. Во-первых, восстанавливаем наш временной ряд как фазовое пространство, начиная с нижней размерности вложения m = 2, как это было показано в предыдущем разделе. Затем, начиная с малого расстояния Л, подсчитываем для него корреляционный интеграл Сш(Л) в соответствии со следующим соотношением:

С(Л) = (1/Лг2) * Z{R-\Xi-Xj\), (12.2)

где Z{x) = 1, если R-\Xi-Xj\ > О, и равно О в противном слу-чяр .V -колттество наблюдений. - расстояние. C„i -корреляционный интеграл дпя размерности т. Z{x) называется функцией Хевисайда, так как она равна О, если расстояние между двумя точками Х, и Xj меньше Л, и равна 1, если это расстояние большее. Корреляционный интеграл есть вероятность того, что две точки, выбранные случайным образом, удалены друг от друга меньше, чем на расстояние Л. Если мы увеличиваем Л, то должно увеличиваться со скоростью Л. Это дает следующее соотношение:

Cm - R

log(C) =D* log(Л) -Ь const. (12.3)

ная размерность D может быть аппроксимирована покрытием фрактала кругами и выводом следующей меры:

log TV

Для размерности т мы можем вычислять Сщ при увеличении R. Находя наклон прямой на графике линейной регрессии в двойных логарифмических координатах log(Cm), log(ii), мы можем оценить корреляционную размерность D для размерности вложения т. При увеличении т, размерность D будет в конце концов сходиться к своей истинной величине. По причинам, установленным выше, тот же результат имеет место, если размерность вложения становится больше, чем фрактальная размерность. Обычно сходимость наблюдается, когда размерность вложения на три или более целых чисел выше фрактальной размерности. Фрактал, вложенный в более высокую размерность, сохраняет свою истинную размерность по причине корреляций между точками. Таким образом, корреляционная размерность Грассбергера и Прокаччи является хорошей оценкой для фрактальной размерности. Эти две размерности, как показали названные авторы, прямо соотносятся друг с другом.

В Приложении 4 приведено описание бейсик-программы для расчета корреляционных интегралов по временным рядам. Ввиду того, что должны рассчитываться относительные расстояния между всеми точками ряда, эта программа рабо-

-0.3 -0.4 -ОЛ --ОЛ -

V -0.7 V

-о.в --о.в -1

-1.)

-«.2

-1.3

-О.в

Рис, 12.2. Корреляционный интеграл: аттрактор Хенона; оценк» фрактальной размерности 1.25.