назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [ 57 ] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]


57

Паккард дает математическое объяснение. Я это сделаю на интуитивном уровне. Нелинейные динамические системы являются внутренне зависимыми симультантными системами. Текущие величины каждой переменной есть трансформации прошлых величин. Напомним уравнения (11-1) для отображения Хенона:

Xti = l + Yt-a*Xf, Yti=b*Xt

Af+i, так и Yf+i содержат в себе предыдущие величи-Hbi X и У. Показатель степени делает систему нелинейной, а Чмультантная природа уравнений делает ее динамической.

Рассмотрим электронную таблицу, созданную в гл. 11 для Трактора Хенона. (Если вы ее стерли - восстановите.) В

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА

В главе 11 фазовое пространство системы было исходным началом для всех измерений. Чтобы сконструировать истинное фазовое пространство, необходимо знать все переменные, релевантные системе. В реальной жизни мы обычно начинаем с одной известной динамической переменной.

Паккард и др. (Packard et al., 1980) обрисовали простой метод, развитый Дэвидом Рюэлем для восстановления фазового пространства по одной динамической переменной. Этот метод наполняет другие размерности посредством запаздываюгцих значений одной наблюдаемой переменной. Предположим, что временной ряд А из таблицы 12.1 есть исходный временной ряд. Временной ряд В есть та же реализация с отставанием на один период и временной ряд С - она же с отставанием на два периода.

Таблица 12.1. Восстановление фазового пространства со сдвигом величин.



1.4 1.2 1

0.4 0.2

-0.2 -0.4 -О.в -0.В

-1Л -1.4

-о.в

-0.2 TWE(0

Рис. 12.1. Аттрактор Хенона. Восстановленный фазовый портрет посредством сдвига X на одну итерацию.

столбец С поместим величины X, сдвинутые на одну итерацию (в ячейку С1 поместим величину из ячейки А2), и копируем их вниз до конца столбца А. Величины в столбцах В и С будут различны. На графике аттрактора Хенона в координатах X, Y поменяем местами столбец В со столбцом С, содержащим величины Y точечного графика. Как показано на рис. 12.1, результат этой операции есть копия отображения Хенона, повернутая на 90°. Если вам даны только величины в столбце А без указания уравнений (11.1) или того, что это именно отображение Хенона, вы все равно сможете получить аттрактор Хенона. Рюэль доказал математически, что такое восстановленное фазовое пространство имеет такую же фрактальную размерность и спектр показателей Ляпунова, как и «настоящее» фазовое пространство двух переменных. Восстановленное фазовое пространство может быть рассчитано просто по наблюдениям, в отсутствие уравнений движения.

Мы узнали, что аттрактор Хенона является двумерны поскольку нам были известны уравнения движения. Имея одни только наблюдения и кроме них никакой информации.



мы намного более ограниченны. Как можно заранее узнать, сколько размерностей надо использовать? Это невозможно. Как можно установить подходящий временной лаг? Непонятно. Мы должны провести эксперименты, зафиксировать данные и восстановить фазовое пространство.

Прежде всего, размерность аттрактора не изменяется, так как мы помещаем его в размерность более высокую, чем его собственная. Плоскость, выстроенная в трехмерном пространстве, остается двумерным объектом. Линия, выстроенная в двумерном или трехмерном пространстве, остается одномерной. Аттрактор, если мы действительно имеем дело с нелинейной динамической системой, сохраняет свою размерность при увеличении размерности вложения сверх фрактальной размерности. Почему? Потому что его точки коррелируют и остаются сгруппированными вместе безотносительно к размерности. Применительно к действительно случайному блужданию точки не коррелируют и заполняют любое пространство вложения, поскольку они перемещаются случайным образом.

Взглянем на случайный временной ряд как на газ и на коррелированный временной ряд как на твердое тело. Газ, помещенный в замкнутое пространство, растекается до тех пор, пока не заполнит весь объем. Отдельные молекулы в газе не связаны, они свободно перемещаются в пространстве. Положения молекул в твердом теле фиксированны, или скоррели-рованны, занимаемый ими объем не изменяется. Подобным же образом случайный временной ряд заполняет размерность вложения, так как его точки не скоррелированны. Ряд с долговременными корреляциями связан в единое целое подобно твердому те..11у и булет сохранять свою форму независим» от того, в пространство какой размерности он будет помещен, поскольку размерность вложения выше размерности ряда.

Поскольку мы восстанавливаем аттрактор в пространстве размерности более высокой, чем «истинная» размерность аттрактора, проблем с размерностью не возникает.

Подходящий временной лаг также представляет собой относительно простую проблему. Уолф и др. (Wolf et all., 1985) Нашли, что хорошая оценка может быть получена иа соотно-Ндения:

m*t = Q, (12.1)

Де m - размерность вложения, t - временной лаг, Q - значение орбитального периода.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [ 57 ] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]