за чью-нибудь тонкую кишку. Экспоненциальная скорость роста объема сферы является мерой показателя Ляпунова. Формальное уравнение для г-го показателя Ляпунова {Li) для г-ой размерности {pi{t)) можно записать так:

Li=Limioo(lA)log2(). (11.3)

Продольный размер этой сферы растет со скоростью 2*.

Плош,адь первых двух размерностей растет соответственно со скоростью 2(1+2*. Объем трехмерной сферы увеличивается со скоростью

2iLi+L2+L3)t Для более высоких размерностей выражение для роста записывается аналогичным образом.

Уолф и др. (Wolf, et al., 1985) опубликовали на Фортране программу расчета всего спектра показателей Ляпунова для случая, когда известны уравнения движения. С помош,ью этой программы были найдены показатели Ляпунова для аттрактора Хенона: 0.42, -1.6 бит на итерацию при а = -1.4, 6 = 0.30.

Этот результат означает, что мы теряем 0.42 бита предсказательной мощности при каждой итерации. Следовательно, если мы измеряем текущие условия с точностью до 2 битов, то потеряем всю предсказательную мощность при движении во времени за 4.8 итерации (4.8 = 2/0.42).

Что мы понимаем под «битами информации»? Показатели Ляпунова были изначально предназначены для теории ин-фпрлтяттии ТТТеннпня ПРбЗ) Теория информяпии использовалась для измерения эффективности компьютеров. Поскольку большинство компьютеров - цифровые, вводимые данные записываются и хранятся в памяти в бинарном формате (в виде нулей и единиц). Эти бинарные цифры называются битами. Именно ввиду их бипарности уравнение (11.3) использует логарифм по основанию 2, а пе натуральный. Шенпон развил теорию связи для измерения неопределености получения корректного сообщения. Он использовал термодинамическую концепцию энтропии и измерял энтропию в битах. Чем больше битов информации поступает в систему, тем выше энтропия, или неопределенность системы. Я предпочитаю пользовать не энтропию, а предсказательную способность" она более релевантна при анализе рынков капитала.

«Биты точности» являются мерой нашего знания о текущих условиях. Предположим, что наибольший положительный показатель Ляпунова был 0.05 бит в день (во временных рядах мы используем «биты/день» или «биты/месяц» чаще, чем «биты/итерация» или «биты/орбита»). Это означает, что мы теряем 0.05 бит предсказательной мощности ежедневно при движении вперед. Следовательно, если мы можем измерить текущие условия с точностью до одного бита, то эта информация станет бесполезной после 1/0.05, или 20 дней. Если бы мы знали точно, какой собирается быть прибыль сегодняшнего фондового рынка, мы имели бы 0% точности предсказания прибыли через 20 дней. С другой стороны, воздействие одного бита информации диссипирует через 20 дней, и система далее не помнит его.

Известно, что наибольшие показатели Ляпунова говорят нам о том, насколько относительны наши предсказания на будущий период времени. Можно оценить надежность только такой системы, уравнения движения которой известны. Но в реальной жизни мы никогда не знаем всех переменных, с определенностью включенных в систему, и опираемся только на уравнения движения.

В следующей главе мы применим эти идеи о конструкции и анализе фазового пространства к временным рядам.

Глава 12

Динамический анализ временных рядов

Техника, описанная в гл. 11, полезна в тех случаях, когда известны уравнения движения. Однако, на практике нам редко бывают известны все релевантные переменные системы, не говоря уже об уравнениях движения. Мы можем постулировать модели и пользоваться аналитическими методами, описанными в гл. 11, для изучения различных эффектов, но большинство данных при этом порождается используемыми уравнениями. Эти методы, применимые к известным уравнениям, не очень полезны для определения того, действительно ли реальная система хаотична, или нелинейна. Тем не менее они являются исходной точкой.

Такого рода анализ систем известных уравнений - это чисто математический эксперимент. Поскольку такие системы не содержат помех, свойственных реальной жизни, мы имеем возможность изучать обратные связи, критические уровни и бифуркации. Среди критериев науки о хаосе эти системы наиболее близки к чистым формам, которые были столь дороги древним грекам.

Эмпирический анализ никогда не бывает совершенным - он всегда содержит нечеткости. Аккуратные, упорядоченные странные аттракторы теории редко встречаются в реальной жизни. Тем пе менее мы можем установить факт, что перед нами нелинейная динамическая система. Если же мы приходим к такому выводу, то можем создать модели из уравнений с целью установления закономерностей движения. Доказательство нелинейности системы - дело нелегкое, но осуществимое. Оно требует терпения и готовности к проверке различных идей, какими бы странными они ни казались.

Эмпирические исследования требуют численных экспериментов. Реальность редко согласуется с теорией.

vfill